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1、2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学（理科） 2013.4本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知，则AB C D2已知复数的实部为，且，则复数的虚部是A B C D 3已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于A1B3 C5 D64. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是90110周长(cm) 频率/组距1001
2、201300.010.020.0480第4题图 A30 B60 C70 D805函数，,则A为偶函数，且在上单调递减；B为偶函数，且在上单调递增；C为奇函数，且在上单调递增；D为奇函数，且在上单调递减.6下列命题中假命题是A若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；B垂直于同一条直线的两条直线相互垂直； C若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；D若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行7直线与不等式组表示的平面区域的公共点有A 个 B. 个 C.个 D.无数个8将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（
3、如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法：OyxPBA第8题图的值域为；是周期函数；.其中正确的说法个数为:A.0 B. C. D. 来源:Zxxk.Com二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 (一)必做题(913题)9命题“R，0”的否定是 . 10. 已知向量满足, , 向量与的夹角为 .11若二项式展开式中的系数等于的系数的倍，则等于 .12已知圆经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为 . 第13题图13将集合|且中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第行第列的数记为（）,则= . (二)选做题(1415题，考生只能从中选
4、做一题)14（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与第15题图的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为 15（几何证明选讲）如图，圆的直径，直线与圆O相切于点， 于，若，设，则_三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分12分）在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限，已知.（1）若,求的值； （2）若点横坐标为,求.17（本题满分12分）乙甲丙第17题图市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同
5、一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路、上下班时间往返出现拥堵的概率都是,道路、上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到.（1）求李生小孩按时到校的概率；（2）李生是否有七成把握能够按时上班？（3）设表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求的均值.18（本题满分14分）如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上（1）证明：平面；图甲图乙第18题图（2）求平面与平面所成二面角的余弦值19（本题满分14分）在平面直角坐标系内，
6、动圆过定点,且与定直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上，且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.20（本题满分14分）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？来源:Zxxk.Com（2）第
7、一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）21（本题满分14分）设函数，记的导函数，的导函数，的导函数，的导函数，.（1）求；（2）用n表示；（3）设，是否存在使最大？证明你的结论.2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学（理科） 评分参考一、填空题 CDBCABBC二、填空题9R，0 10 11 12 1314（或） 15三、解答题16解法1、由题可知：， 1分， 2分，得 3分， 4分解法2、由题可知：， 1分， 2分， 3分， 得 4
8、分解法3、设，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分）解法1、由， 记， ，（每式1 6分 ，得（列式8分（列式10分来源:学#科#网Z#X#X#K12分解法2、由题意得：的直线方程为 6分则 即（列式 8分则点到直线的距离为 10分又，（每式1分）12分解法3、 即 （每式1分） 6分即：， ， 7分，9分（模长、角的余弦各1分） 10分则12分解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是2分所以李生小
9、孩能够按时到校的概率是； 3分甲到丙没有遇到拥堵的概率是， 4分丙到甲没有遇到拥堵的概率也是， 5分甲到乙遇到拥堵的概率是， 6分甲到乙没有遇到拥堵的概率是，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）8分依题意可以取. 9分=,=,=,11分012分布列是：. 12分18证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有1分因为平面，平面，所以平面（条件2分4分解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， 5分所以平面，则， 6分来源:学科网所以平面与平面所成二面角的平面角， 8分图甲中有，又，则三点共线，9分设的中点为，则，易证，所以，；11分（三角形
10、全等1分）又由，得，12分于是，13分图甲图乙在中，即所求二面角的余弦值为14分图丙解法2、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， 5分所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线， 6分设的中点为，则，易证，所以，则；又由，得， 7分于是，在中，8分作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、，则（坐标系、坐标、向量各1分） 11分显然，是平面的一个法向量， 12分设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则， 13分设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为 14分19由题可知，圆心到定点的距离与到定直线的距离
11、相等 2分由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线 4分（确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）所以动圆圆心的轨迹的方程为.5分解法1、设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得（中点1分，方程组2分，化简1分8分将其代入抛物线方程，得：，所以. 9分联立 ，消去，得： 11分由，得 12分来源:Zxxk.Com注意到，即，所以，即，13分因此，椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为.解法2、设 ，因为两点关于直线对称，则6分即，解之得 7分即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为9分联立 ，消去，得： 11分由，得 12分注意到，即，所以，即13分因此，椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为20由题意知或2分解得或，即 3分能够维持有效的抑制作用的时间：小时. 4分由知，时第二次投入1单位固体碱，显然的定义域为 当时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故=+=; 6分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故当时， =;7分当时， ; 8分所以 9分当时， =;当且仅当时取“=”,即（函数值与自变量值各1分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当时， ，所以为增函数; 当时，为减函数;故 =，12分又,所以当时，水中碱浓度的最大值为
