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1、Weierstrass 定理定理 定理定理 设 baCxf 则对任何0 总存在一个代数多项式 xp 使 xpxf 在 ba上一致成立 定义 n 阶伯恩斯坦多项式定义为 n k knkk nn xx n k fCxfB 0 1 其中 knk n C k n 为二项式展开系数 引理引理 1 设1 0 h xh 1 2 2 xh 则 00 hhBn 11 hhBn 2 2 2 1 h n x x n n hBn 引理引理 2 伯恩斯坦算子 n B是一个正线形算子 即 n B满足 线形性 gBfBgfB nnn 正性 对任何0 f 0 fBn 推论推论 设gf 则gBfB nn 引理引理 3 设 ba
2、Cxf 则对任何0 存在常数 C 使 2 yxCyfxf 证明 首先 baCxf 则 xf在 ba上一致连续 即对任何0 存在0 使得当 yx时 yfxf 另外 函数 2 yx yfxf 是一个在紧集 yxbayxyx 连续的函数 取 2 max yx yfxf C 则对任何 bayx 2 yxCyfxf Weierstrass 定理的证明 不妨设 1 0 ba 以下证明0 fBf n 首先设 y 是任 意一个固定的数 由引理 3 对任何0 存在常数 C 使 2 2 2 222 yxyxCyxCyfxf 根据引理 1 2 我们知道 2 1 2 2 222 yxy n x x n n CyxCB
3、yfxfB nn 特别 令yx 2 2 1 2 222 n yy Cyy n y y n n CyfyfBn 取 4C N 则当Nn 时 yfyfBn 由于 y 是任意一个固定的数 N 的选取与 N 无关 所以 ffBn 命题得证 用用fBn逼近逼近f的思考的思考 1 非插值 非插值 2 收敛速度慢 没有实用计算价值 收敛速度慢 没有实用计算价值 以以 2 xxf 为例很容易看出这两条性质可以 这两条性质可以 1 1 2 22 nO n xx x n x x n n ffBn 且仅当10 x时 xfxfBn 3 一致收敛 一致收敛 不会出现插值问题的龙格现象 4 高阶导数的一致收敛性高阶导数的
4、一致收敛性 若 baCxf n 则对任何nk 0 fB k n 一致收 敛于 k f 5 类似于插值问题解的插值基表示类似于插值问题解的插值基表示 设 knkk nkn xxCxP 1 则 n k knn xP n k fxfB 0 0 xP kn n k kn xP 0 1 注意 Lagrange 插值基不具备恒正性 6 计算简单计算简单 可以仿照秦九韶算法求fBn 参见以下代码 double Bernstein double x int n double func double int i double C 1 double sum f 0 for i 1 i n i C x n i 1 i sum 1 x sum func double i n C return sum 7 算法包含 5n 次乘除法和 n 1 次函数值的计算 计算复杂性低 程序的主要问题是 二项式系数增长过快而导致的溢出问题和计算稳定性问题
