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1、1 3 正弦定理与余弦定理 第1章 三角计算及其应用 创设情境 兴趣导入 C B A ca b 我们知道 在直角三角形ABC 如图 中 即 由于 所以 于是 所以 动脑思考 探索新知 A B C y ab cx 当三角形为钝 角三角形时 不妨设角A为钝 角 如图所示 以A为 原 点 以射线AB的方向为x轴正方向 建立直角坐标系 则 两边取与单位向量j的数量积 得 由于 设与角A B C相对应的边长分别为a b c 故 即 所以 即 动脑思考 探索新知 当三角形为锐角三角形时 同样可以得到这个结论 于是得到 正弦定理 在三角形中 各边与它所对的角的正弦之比相等 即 利用正弦定理可以求解下列问题
2、1 已知三角形的两个角和任意一边 求其他两边和一角 2 已知三角形的两边和其中一边所对角 求其他两角和一边 巩固知识 典型例题 例1 已知在中 求b 解 由于 所以 巩固知识 典型例题 例2 已知在中 求B 解 由于 所以 由 知 故 所以或 巩固知识 典型例题 例3 已知在中 求B 解 由 知 故 所以或 已知三角形的 两边和其中一边的 对角 利用正弦定 理求另一边的对角 时 要讨论这个角 的取值范围 避免 发生错误 运用知识 强化练习 1 已知中 b 求C和a 2 已知中 a 12 b 8 求B 精确到 动脑思考 探索新知 B A C 如图所示 在 ABC中 所以 即 同理可得 动脑思考
3、探索新知 余弦定理 三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其 夹角余弦乘积的两倍 即 1 8 显然 当时 有 这就是说 勾股定理是余弦定 理的特例 动脑思考 探索新知 公式 1 8 经变形后可以写成 1 9 利用余弦定理可以求解下列问题 1 已知三角形的两条边和它们的夹角 求第三边和其他的 两个角 2 已知三角形的三边 求三个角 巩固知识 典型例题 例4 在 中 求 分析 这是已知三角形的两条边和它们的夹角 求第三边的 问题 可以直接应用余弦定理 解 所以 巩固知识 典型例题 例5 在中 a 6 b 7 c 10 求 ABC中的最大角 和最小角 精确到 分析 三角形 中大边对大 角 小边对 小角 解 由于a b c 所以C最大 A最小 由公式 1 9 有 所以 所以 运用知识 强化在 ABC中 B a 3 c 2 求b 2 在 ABC中 三边之比 求三角形最大内角 理论升华 整体建构 正弦定理 余弦定理的内容 自我反思 目标检测 学习习行为为 学习习效果 学习习方法 自我反思 目标检测 在 ABC中 a 20 b 29 c 21 求角B 继续探索 活动探究 读书部分 阅读教材相关章节 书面作业 教材习题1 3 必做 学习与训练1 3 选做 实践调查 编写一道有关余弦定 理或正弦定理的习题
