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1、课程主要内容 第1章 MATLAB简介 第2章 数值运算 第3章 单元数组和结构 第4章 字符串 第5章 符号运算 第6章 MATLAB绘图基础 第7章 程序设计 第8章 计算方法的MATLAB实现 第9章 优化设计 第10章 SIMULINK仿真初探 Date1 第9章 优化设计 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技 术 它包含两个方面的内容 1 建立数学模型 即用数学语言来描述最优化问题 模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到 的目标和各种约束条件 2 数学求解 数学模型建好以后 选择合理的最优 化方法进行求解 Date2 9 1 单变量最小化 函数描述 功能 找到固定区间内单
2、变量函数的最小值 x fminbnd fun x1 x2 返回区间 x1 x2 上使fun函数 取得最小值时的x x fminbnd fun x1 x2 options 用options参数指定的 优化参数进行最小化 x fval fminbnd fun x1 x2 多输出一个最小函数值 fval x fval fminbnd fun x1 x2 options 多输出一个最小 函数值fval Date3 程序实例 x fminbnd dblzxh1 0 2 pi x 4 7124 x fval fminbnd dblzxh2 0 5 x 3 fval 1 Date4 工程实例 问题描述 边长
3、3m正方形铁板 在四角剪去相等 的正方形以制成方形无盖水槽 问如何剪能使水 槽容积最大 解题思想 假设剪掉边长x 水槽容积模型为 f x 3 2x 2x 先把求最大值转化成求最小值 本例要把求f x 的 最大值先转化成求 f x 的最小值 然后采用单变 量最小化函数求解 Date5 问题求解 x fval fminbnd dblzxh3 0 1 5 x 0 5000 fval 2 0000 结果分析 从结果中可以得知水槽容积在剪掉 0 5m时最大为2m3 Date6 9 2 线性规划 线性规划是处 理线性目标函 数和线性约束 的一种较为成 熟的方法 其 数学模型为 Date7 函数描述 x l
4、inprog f A b 求解minf x 约束A x f 5 4 6 A 1 1 1 3 2 4 3 2 0 b 20 42 30 lb zeros 3 1 x fval linprog f A b lb Optimization terminated x 0 0000 15 0000 3 0000 fval 78 0000 Date10 求解下面问题 Date11 求解程序 f 1 1 1 1 1 1 f 1 1 1 1 1 1 A 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 A 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
5、 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 b 60 70 60 50 20 30 b 60 70 60 50 20 30 lb zeros 6 1 lb zeros 6 1 x fvalx fval linprog f A b lblinprog f A b lb Date12 Optimization terminated Optimization terminated x x 41 9176 41 9176 28 0824 28 0824 35 0494 35 0494 14 9506 14 950
6、6 9 8606 9 8606 20 1394 20 1394 fvalfval 150 0000 150 0000 Date13 工程实例 问题描述 某厂生产甲乙两种产品 已知制成一 吨产品甲需用资源A3吨 资源B4m3 制成一吨 产品乙需用资源A2吨 资源B6m3 资源C7个单 位 若一顿产品甲和乙的经济价值分别为7万元 和5万元 三种资源的限制量分别为90吨 200m3 和210个单位 试决定应生产这两种产品各多少 吨才能使创造的总经济价值最高 Date14 建立模型 令生产产品甲的数量为x1 生产产品 乙的数量为x2 由题意建立如下数学模型 先把目标函数转化成求最小值 Date15 f
7、 7 5 f 7 5 A 3 2 4 6 0 7 A 3 2 4 6 0 7 b 90 200 210 b 90 200 210 lb zeros 2 1 lb zeros 2 1 x fvalx fval linprog f A b lblinprog f A b lb Optimization terminated Optimization terminated x x 14 0000 14 0000 24 0000 24 0000 fvalfval 218 0000 218 0000 由上可知 生产甲由上可知 生产甲1414吨 乙吨 乙2424吨可创造最大效益吨可创造最大效益 21821
8、8万元 万元 Date16 9 3 无约束非线性规划 函数描述 功能 求多变量无约束函数的最小值 x fminunc fun x0 给定初值x0 求fun函数的局部 极小点x x fminunc fun x0 options 用options参数中指定的 优化参数进行最小化 x fval fminunc fun x0 将解x处目标函数的值返回 到fval参数中 x fval fminunc fun x0 options 将解x处目标函数 的值返回到fval参数中 Date17 程序实例 x fval fminunc wuyueshu1 0 0 x 1 0472 2 6180 fval 2 40
9、19 Date18 fminsearch函数描述 功能 求解多变量无约束函数的最小值 该函数 常用于无约束非线性最优化问题 x fminsearch fun x0 给定初值x0 求fun函数的局 部极小点x x fminsearch fun x0 options 用options参数中指定 的优化参数进行最小化 x fval fminsearch fun x0 将解x处目标函数的值 返回到fval参数中 x fval fminsearch fun x0 options 将解x处目标函 数的值返回到fval参数中 Date19 程序实例 x fval fminsearch wuyueshu1 0
10、 0 x 1 0472 2 6180 fval 2 4019 Date20 9 4 二次规划 如果某非线性规划的 目标函数为自变量的 二次函数 约束条件 全是线性函数 就称 这种规划为二次规划 其数学模型为 Date21 函数描述 x quadprog H f A b 返回向量x 最小化上述函数 x quadprog H f A b Aeq beq 增加约束Aeq x beq 若没有不等式约束 则A b x quadprog H f A b Aeq beq lu ub 增加约束x的下 界lb和上界ub 若无等式约束 则Aeq beq x quadprog H f A b Aeq beq lu
11、ub x0 设置初始值 x0 x quadprog H f A b Aeq beq lu ub x0 options 用 options指定的优化参数进行最小化 x fval quadprog 多返回解x处的函数值 Date22 程序实例 求解下面的最优化问题 Date23 求解程序 H 1 1 1 2 f 2 6 A 1 1 1 2 2 1 b 2 2 3 lb zeros 2 1 x fval quadprog H f A b lb Optimization terminated x 0 6667 1 3333 fval 8 2222 Date24 9 5 有约束最小化 求多变量有约束非线
12、性函数的最小值 数学模型 为 Date25 函数描述 x fmincon fun x0 A b 返回向量x 最小化上述函 数 x fmincon fun x0 A b Aeq beq 增加等式约束 若 无不等式约束 则A b x fmincon fun x0 A b Aeq beq lu ub 增加约束x的 下界lb和上界ub 若无等式约束 则Aeq beq x fmincon fun x0 A b Aeq beq lu ub nonlcon 其中 nonlcon中提供非线性不等式c x 或等式约束ceq x x fval fmincon 多返回解x处的函数值 Date26 程序实例 求下面的
13、最优化问题 约束条件 目标函数 Date27 求解程序 x0 10 10 10 A 1 2 2 1 2 2 b 0 72 x fval fmincon youyueshu11 x0 A b x 24 0000 12 0000 12 0000 fval 3 4560e 003 Date28 工程实例 问题描述 求侧面积为常数150的体积最大的长方 体体积 解题思路 设长方体的三个边长分别为x1 x2 x3 建立上面问题的数学模型 Date29 求解程序 x0 4 5 6 lb zeros 3 1 x fval fmincon youyueshu21 x0 lb yo uyueshu22 x 5
14、0000 5 0000 5 0000 fval 125 0000 Date30 工程实例 问题描述 试设计一压缩圆柱螺旋弹簧 要求其 质量最小 弹簧材料为65M 最大工作载荷 Pmax 40N 最小工作载荷为0 载荷变化频率 ft 25Hz 弹簧寿命为104h 弹簧钢丝直径d的取值 范围为1 4mm 中径D2的取值范围为10 30mm 工作圈数n不应小于4 5圈 弹簧旋绕比C不应小于 4 弹簧一端固定 一端自由 工作温度50摄氏度 弹簧变形量不小于10mm Date31 Date32 Date33 数学模型 经过上面的 分析步骤 可以把上面 的问题抽象 到如下的数 学模型 Date34 求解程
15、序 A 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 b 1 4 4 5 50 10 30 x0 2 0 5 0 25 0 lb zeros 3 1 warning off x fval fmincon youyueshu31 x0 A b lb you yueshu32 Date35 x 1 6564 4 5000 16 1141 fval 0 0055 结果分析 考虑实际问题 可取钢丝直径1 6 工 作圈数5 中径16 带入质量公式之后得到最小质 量基本等于0 0055kg Date36 function f youyueshu31 x f 0 192457 1e
16、 4 x 2 2 x 1 2 x 3 function c ceq youyueshu32 x c 1 350 163 x 1 2 86 x 3 0 86 c 2 10 0 4 0 01 x 1 4 x 2 x 3 3 c 3 x 2 1 5 x 1 0 44 0 01 x 1 4 x 2 x 3 3 3 7 x 3 c 4 375 0 356 1e6 x 1 x 2 1 x 3 2 c 5 4 x 3 x 1 ceq Date37 9 6 目标规划 前面介绍的最优化方 法只有一个目标函数 是单目标最优化方 法 但是 在许多实 际工程问题中 往往 希望多个指标都达到 最优值 所以它有多 个目标函数 这种问 题成为多目标最优化 问题 求解多目标达 到问题 其数学模型 为 Date38 函数描述 x fgoalattain fun x0 goal weight 试图通过变化x来 使目标函数fun达到goal指定的目标 x0为初始值 weight参数指定权重 x fgoalattain fun x0 goal weight A b 增加线性不等 式约束A x goal 20 12 weigh
