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1、第一章第一章 多项式习题解答多项式习题解答 P44 1 1 17262 3999 f xg xxx 2 2 1 57 f xg x xxx P44 2 1 23 1 9xmxxxq 余式 2 1 pmxqm0 2 1 mq pq 方法二 设 32 0 1 1 mq xpxqxmxq mqp 同样 2 242 1 xmxxpxq 余式 22 2 1 m pmxqpm0 2 2 0m mp 22 1 1 mpq xpq P44 3 1 用 3g xx 除 53 258f xxx x 解 5432 2 3 30 3 175 3 495 3 667 3 327f xxxxxx P44 3 2 32 3
2、2 12 28 12 xx xii xi x 128 12 98 i xii 即余式 98i 商 2 2 52 xixi P44 4 1 5 0 1f xxx 即 5432 1 5 1 10 1 10 1 5 1 1f xxxxxx 当然也可以 55 1 1 f xxx 54 1 5 1 xx 1 P44 4 2 结果 3 42432 23 2 8 2 22 2 24 2 11f xxxxxxx 432 2 1 37f xxixi xx i 432 432 2 1 3 7 2 1 5 75 xiii xiii xiixiii xii xii xixii P45 5 1 22 1 21 1 1
3、g xxxxxx 13 1 3 xxxxf 1f x g xx 2 32 31g xxx 不可约 不可约 14 34 xxxf 1f x g x 3 122 122 110 2224 xxxxxxxf 432322 4 266 21 4 2 2 2 2 21 g xxxxxf xxxxxx 2 2 2 21f x g xxx P45 6 1 2 1 22 xxxf 22 2 1 g xxxx 22 1 1 1 2 xxxxx 1 2 2 1 2 xxf xxg x 2 1424 1 23 yxxxxxf 2 1 24 g xxxx 1 1 xfx 1 1 xg x 而 11 1 2 3 23
4、23 1 f xg xxx g xxx 111 21 1 23 1 1 33 x 1 xxgyfxg 2 122 1 1 1 333 xxf xxxg x 3 144 234 xxxxxf 2 1g xxx 2 3 2 f xg x xx 2 1 1g xxx 2 1 3 1 fg xxg 32 1 32 xf xxxxg x P45 7 2 1 1 2 f xg xt xt xur x 22 22 12 2 2 1 1 1 1 1 tttutt g xr xxxu tttt 2 由题意 r xxr xg x与g的公因式应为二次所以 0 1 3 0 1 4 3 3 2 2 2 23 u t t
5、t t ututt 0 3 0 4 3 3 1 2 23 utt ututt xrt为一次的否则 解出 当 1 4 04330 223 ttttttu时 3 2 31 4 ett或 31 1 03 0 2 t t ttu 只有时当 433 31 433 4 3 3 23 3 23 2 ttt t t ttt uututt 4 2 246 82 3 3 1 22 ttttttu 即 03 4 2 2 tt tu 2 111 t P45 8 d xf x d xg x 表明是公因式 d x 又已知 表明任何公因式整除 d xf xg x是与的组合 d x 所以 是一个最大的公因式 d x P45
6、9 证明 f x h x g x h xf x g x h x 的首系 1 h x 证 设 f x h x g x h xm x 由 f x g x h xf x h x f x g x h xg x h x f x g x h xm x f xg x h x 是一个公因式 设 d xf x g xu x f xv x g x d x h xf x g x h xu x f x h xv x g x h x 而首项系数 1 又是公因式得 由 P45 8 它是最大公因式 且 f x g x h xf x h x g x h x P45 10 已知 f xg x 不全为 0 证明 f xg x f
7、 x g xf x g x 1 证 设 d xf x g x 则 0 d x 设 1 f x f x d x 1 g x g x d x 及 d xu x f xv x g x 所以 11 d xu x f x d xv x g x d x 消去得 0d x 11 1 u x f xv x g x P45 11 证 设 11 0 f x g xd xf xf x d x g xg x d x 111 1u x f x d xu x g x d xd x u x f xu x g x 1 P45 12 设 2 111111 1 11ufvgu fv huu fufv hvgu fvu gh 11
8、11 1 uu fuv hvgufvu ghf gh 1 P45 13 g 1 ii f 固定 12 1 i if g g 12 1 in f g g g P45 14 11 1 1f gufvguv fv gff gf 同理 1g gf 由 12 题 1fg fg 令 12n gg gg 1 i if g 每个 1 1 1f f g 1 123 f f fg 注反复归纳用 12 题 1212 mn f ffg gg 1 推广 若则 1 f x g x m n有 1 mn f xg x P45 15 f x x3 2x2 2x 1 g x x4 x3 2x2 x 1 解 g x f x x 1
9、 2 x2 x 1 f x x2 x 1 x 1 即 f x g x x2 x 1 令 x2 x 1 0 得 2 31 2 31 21 ii f x 与g x 的公共根为21 P45 16 判断有无重因式 5432 57248f xxxxxx 344 24 xxxxf 解 4421205 234 xxxxxf 32 5 1 3 25412 f xfx xxxx 2 322 1549 25412 5 44 22 fxxxxxxx 32 44 12452 223 xxxxxx 故有重因式 xf 3 2 x 484 3 xxxf 32 21 233 f xxxxxx 1311 32 332 2 xx
10、xxxf 2 66 11 233 1113 2 33 1111 xxxx 13 1 xfxf P45 17有重因式 有重根 13 23 txxxxft时 解 txxxf 63 2 3 62 1 3 txtxxfxf 如则 有重因式 3 重因式 3 t 1 3 xfx 如则 3 t 2 15 2 2 15 3 22 2 txxf 此时必须4 15 t 有重因式 4 2 1 2 xxxf P45 18 求多项式有重根因式的条件 qpxxxf 3 证 pxxf 2 3 2 3 3 23f xxp xpx q 0 p 2 2 22 3327 3 23 244 aq xppxqxp ppp 32 427
11、pq0 p45 19 令 422 1 1 1 f xAxBxxf xxfx 因为所以 即 1 24 23 cbxaxxBxAxxf 4 0 2 0 aA ba cbB c 02 24 BA BbaA 又 1 1 23 dxcxbxaxxfxfx 0 1 aA ba cb d 0 Bb ab Aa 1 01 BA 2 1 BA P46 20 证 2 1 2 n xx f xx n 无重因式 重根 证 n x fxf x n y x fff n 1 f x 1 n f xf x 无重因式 P46 21 g x 1 2 f x f a 2 xa fxfx g a 0 又 g a 0 111 0 22
12、22 xa gxfxfxfxfxxa fxg a 4 1 22 xa gxfxfx ax gx gx gx 是g根 且使g x 的k 1重根 a是g x 的k 3重根 P46 22 必要性显然 见定理 6 推论 1 若x0是f x 的t重根 t k 由定理 f k x0 0 若t k 1 0 0 k fx 所以矛盾 P46 23 例如 1 0 1 mm f xxxfxmxm 则是的 重根 根 0 xf x 但不是的 P46 24 若 1 1 nnn xf xxf x 则 证若 1 2 f xxg xr 由上节课命题 1 0 nnn f xxg xrg xrr 所以 1 nn xfx P46 2
13、5 证明 设x2 x 1 的两个根 3 12 1 i 2 12 33 11121 33 22222 1 0 0 xxxx ff ff 112 122 1 1 0 1 1 0 ff ff 即 21 1 0 1 0ff 12 1 xf xfx P46 26 分解 1 n x 0 22 1cossin 0 1 2 k kk ik nn 1n 设 11 01 221 11 1 2 1 2 1 22 1 1 cossin 1 1 1 2 21 1 2cos1 2 2 1 1 1 2cos1 nn n i ik mm n kk kk m k m n k kk ixxxxi nn iinxxxxxx k n
14、mxxx n k nmxxxxx n 在 中 在 中 为奇 当时 1 n k p46 27 求有理根 1 x3 6x2 15x 14 f x 解 有理根可能为 1 2 7 14 当 a 0 时 f a 0 所以 f x 的有理根是可能 1 2 7 14 f 1 4 0 f 2 0 f 7 140 0 f 14 1764 0 只有一个x 2 2 4x4 7x2 5x 1 f x 解 有理根可能为 1 2 1 4 1 f 1 9 0 f 1 1 0 f 2 1 5 f 2 1 0 f 4 1 264 43 f 4 1 64 11 所以f x 只有一个有理根x 2 1 3 f x x5 x4 6x3
15、 14x2 11x 3 f x 解 可能有有理根为 1 3 f 1 32 f 1 0 f 3 0 f 3 96 故 f x 有两个有理想 1 3 P46 28 x2 1 解 y y 1 x2 1 y2 2y 2 不可约 解取P 2 由Eisenstein判别法 不可约 432 812xxx 2 1 x 6 x3 1 解令x y 1 则 x 6 x3 1 y6 6y5 15y4 21y3 15y2 9y 3 取P 3 即可 x p px 1 为奇素数 解 取y x 1 x 3 px 1 yp 1 1 1 p ip ii p i c yp y y p 2 1 1 2 p iip i p i cyp
16、y p 取 p 素数 即可 x4 4kx 1 k为整数 解 令x y 1 则f x x4 4kx 1 y4 4y3 6y2 4 4k y 4k 2 取p 2 则 p2 4k 2 即可由Eisenstein判别法 f x 于上不可约 P47 1 证 1111 f gf gc xf gc xf c xg 都是的组合 所以若是的公因式 则必有 11 f g为的公因式 即 11 CD f x g xCD f x g x 反过来 得 1111 11 f xdf xbg xg xcf xag x adbcadbc 11 f gf g 也是的组合 同上理 有 11 CD f x g xCD f x g x 即 11 ffg与g和 与 的公因式一致 最大公因式也一致 那 11 f xg xf x g x 注 不可约多项式也称既约定多项式 0 fxaf x 则不是既约 则称f x 可约 P47 2 证 d1 x f x v1 x g x f x g x d x f x fi x d x g x gi x d x u1 x fi x v1 x g1 x 1 带余除法 令u1 x q1 x g1 x u x
