热力学与物理统计第六章03讲述

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1、第六章 近独立粒子的最概然分 布 第六章 近独立粒子的最概然分布 一 粒子运动状态的经典描述 统计物理学认为宏观物质系统是由大量的微观粒子 组成的 物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集 体表现 宏观物理量是相应微观物理量的统计平均 值 我们首先讲述一下如何描述系统的微观状态 对粒子微观状态的描述主要是从两个不同的角度描 述 第一 经典描述 第二 量子描述 第六章 近独立粒子的最概然分布 1 经典描述 如果粒子遵守经典力学的运动规律 那么对粒子状 态的描述就称为经典描述 遵守经典力学的粒子 只需要知道粒子的位置和速 度 就可以完全描述这个粒子 假设粒子的自由度为r 那么粒子在某一时刻的力 学运动

2、状态就可以用粒子的r个广义坐标q1 q2 qr和与之共轭的r个广义动量p1 p2 pr在该时 刻的数值来确定 粒子的能量可以表达为这2r个量的函数 第六章 近独立粒子的最概然分布 通常情况下 为了形象的描述粒子的运动状态 用 这2r个变量为直角坐标 建立一个2r维空间 我们 成为 空间 粒子在某一时刻的运动状态与 空间 中的一个点相对应 当粒子的运动状态随时间变化 时 粒子在 空间的代表点发生相应的移动 描画 出一条轨迹 第六章 近独立粒子的最概然分布 自由粒子的经典描述及其 空间 做三维运动的自由粒子 自由度为3 粒子位置 x t y t z t 粒子动量 常量 常量 常量 自由粒子就是不受

3、力所用而作自由运动的粒子 粒子能量 第六章 近独立粒子的最概然分布 一维自由粒子的运动状态在 空间的表示 设一维容器的长度为L 则x可 取的范围为0到L间的任何值 px原则上可以取 到 之间 的所有值 粒子的运动轨迹在 空间为一 条直线 第六章 近独立粒子的最概然分布 自由粒子的量子描述 波粒二象性 微观粒子既具有粒子性质 又具有波动性质 德布罗意关系 能量为 动量为p的自由粒子联系着圆频率为 波矢为k的平面波 并且存在 第六章 近独立粒子的最概然分布 不确定关系 如果粒子坐标q的不确定值为 q 相应的动量的 不确定值为 p 那么在量子力学中 最精确的 描述中 存在关系 量子描述的粒子不可能同

4、时具有确定的动量和坐标 如果粒子坐标完全确定 那么粒子动量将完全不确定 如果粒子动量完全确定 那么粒子坐标将完全不确定 微观粒子的运动不是轨道运动 第六章 近独立粒子的最概然分布 经典力学中 粒子同时具有确定的动量和坐标 因 此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运 动状态 量子力学中 粒子不可能同时具有确定的动量和坐 标 那么 该如何描述粒子的运动状态 在量子力学中 微观粒子的运动状态称为量子态 量子态是用一组量子数表征 且这组量子数的数目 等于粒子的自由度数 第六章 近独立粒子的最概然分布 自由粒子的量子描述 首先讨论一维自由粒子 设粒子处于长度为L的一维 容器中 那么粒子可能的运动状

5、态为 粒子运动应该满足周期性边界条件 粒子的德布罗意 波波长满足 那么 波矢满足 动量为 第六章 近独立粒子的最概然分布 能量为 nx就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数 考虑三维自由粒子 设粒子处在边长为L的容器内 第六章 近独立粒子的最概然分布 粒子的能量为 nx ny nz表征三维自由粒子的运动状态的量子数 粒子的能量不在是连续的 而是一些分立的能级 宏观尺度的运动 能级间距很小 微观尺度的运动 能级间距才是显著的 简并度 处于一个能级的量子状态的数目 能级的简并度 第六章 近独立粒子的最概然分布 能级对应着6个量子态 简并度为6 第六章 近独立粒子的最概然分布 考虑在体积V L3内

6、在px到px dpx py到py dpy pz 到pz dpz的动量范围内自由粒子的量子态数 在px到px dpx可能的px有dnx个 在py到py dpy可能的py有dny个 在pz到pz dpz可能的pz有dnz个 第六章 近独立粒子的最概然分布 体积V L3内 在px到px dpx py到py dpy pz到 pz dpz的动量范围内自由粒子的量子态数 由于不确定关系 即在体积元 h 内的各运动状态 它们的差别都在测量误差之内 即被认为是相同的 一维体系 一个量子态对应相空间一个 h 大小的体积元 第六章 近独立粒子的最概然分布 则相空间体积 中量子态数为 三维自由粒子一个量子态对应粒子

7、相空间体积元 采用动量空间的球极坐标表示 第六章 近独立粒子的最概然分布 体积V L3内 在p到p dp 到 d 到 d 的动 量范围内自由粒子的量子态数 考虑到球极坐标中 动量空间的体积元为 体积V L3内 在p到p dp动量范围内自由粒子的量 子态数 第六章 近独立粒子的最概然分布 体积V L3内 在 到 d 能量范围内自由粒子的量子 态数 D 单位能量间隔内可能的状态数 称为态密度 第六章 近独立粒子的最概然分布 一维线性谐振子的经典描述及其 空间 质量为m的粒子在弹性力F Ax的作用下 将沿x轴 在原点附近做简谐振动 称为线性谐振子 振动 的圆频率为 粒子运动状态有坐标x和与之共轭的动

8、量p来描述 粒子的能量为 第六章 近独立粒子的最概然分布 对于一确定的能量 粒子在 空间的轨迹为 椭圆面积 半长轴 半短轴 在经典力学范围内 振子能量原则上可以取任何 正值 第六章 近独立粒子的最概然分布 一维线性谐振子的量子描述 圆频率为 的线性谐振子 能量的可能值为 n是表征振子的运动状态和能量的量子数 粒子的能量值是分立的 分立的能量称为能级 线性谐振子的能级是等间距的 相邻两能级的能 量差为 其大小取决于振子的圆频率 第六章 近独立粒子的最概然分布 三维转子的经典描述及其 空间 质量为m的质点A被具有一定长度的轻 杆系于原点O所做的运动 质点的能量就是其动能 直角坐标系 坐标x y z

9、 与之共轭的 动量为px py pz 在球坐标系中 粒子坐标r 第六章 近独立粒子的最概然分布 轻杆 OA距离不变 因此r不变 第六章 近独立粒子的最概然分布 粒子位置用 表示 称为为广义义坐标标 与 相对应对应 的动动量 称为为广义动义动 量 引入转动惯量I mr2 经典力学中 的取值值范围为围为 0 的取值值范围围 为为 0 2 考虑转子所受外力矩为零的情况 转子的角动量守恒 常矢量 此时 转子 质点 做二维平面内的 惯性转动 转子为 二维转子 则有 2 p 0 转子能量 第六章 近独立粒子的最概然分布 三维转子的经典描述及其 空间 第六章 近独立粒子的最概然分布 转子的能量为 I为转动惯

10、量 M为角动量 经典力学中M可以取 任意值 量子力学中 对于一定的l 角动量在其本征方向 z轴 的投影 Mz 自由度为2的转子 其运动状态有l m两个量子数表 征 第六章 近独立粒子的最概然分布 转子的能量为 量子数为l的转子 能量为 l 将简并度为2l 1 第六章 近独立粒子的最概然分布 粒子的自旋 自旋是粒子的内禀属性 用自旋角动量S表述 其中s称为自旋量子数 可以是整数或半整数 例如电子的自旋量子数为1 2 对自旋状态的描述还需要知道自旋角动量在其 本征方向 z轴 上的投影Sz 共2s 1个可能的值 对于电子 有2个可能值 第六章 近独立粒子的最概然分布 质量为 m 电荷为 e 的电子

11、其自旋磁矩 与自旋角动量 S 大小的比值为 自旋角动量与自旋磁矩 当存在外磁场时 自旋角动量的本征方向沿外 磁场方向 以z表示外磁场方向 B为磁感应强 度 电子自旋角动量在z投影为 第六章 近独立粒子的最概然分布 自旋磁矩在z投影为 电子在外磁场中能量为 第六章 近独立粒子的最概然分布 三 系统微观运动状态的描述 系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态 这 里讨论由全同和近独立粒子组成的系统 全同粒子 具有完全相同的内禀属性 相同的质量 电荷自旋等等 近独立粒子 指系统中粒子之间的相互作用很弱 相互作用的平均能量远小于粒子的平均能量 因而 可以忽略粒子间的相互作用 因此整个系统的能量 可以表

12、示为单个粒子的能量之和 第六章 近独立粒子的最概然分布 i是第i个粒子的能量 N是系统的粒子总数 且 i只 是第i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数 与 其它粒子的坐标和动量无关 近独立粒子之间相互作用很弱 但仍然有相互作用 对于服从经典力学的全同和近独立系统 粒子的自 由度为r 该如何描述它的微观运动状态 第六章 近独立粒子的最概然分布 第i个粒子的运动状态可以用r个广义坐标和与之 共轭的r个广义动量来完全描述 当N个粒子在某一时刻的力学状态完全确定时 整 个系统在该时刻的微观运动状态也就完全确定了 确定系统的运动状态需要2Nr个变量 一个粒子在某一时刻的运动状态可以用 空间中 的一个点表

13、示 那么由N个全同粒子组成的系统在 某一时刻的微观运动状态可以用 空间的N个点来 表示 第六章 近独立粒子的最概然分布 经典物理中 全同例子是可以分辨的 经典物理中 粒子的运动是轨道运动 原则上是 可以被跟踪的 只要确定每一个粒子的初始时刻 的位置 原子上就可以确定每一粒子在以后任一 时刻的位置 尽管全同粒子的属性完全相同 原 则上仍然可以辨认 既然可以辨认 那么交换两 粒子的运动状态 系统的运 动状态是不同的 第六章 近独立粒子的最概然分布 对于服从量子力学的全同和近独立系统 该如何描 述它的微观运动状态 微观粒子全同性原理 全同粒子是不可以分辨的 在含有多个全同粒子的系统中 将任何两个全

14、同粒子加以对换 不改变整个系统的微观运动状 态 这与经典粒子的情况是完全不同的 原因是 经典粒子的运动是轨道运动 原则上可以跟踪经 典粒子的运动而加以辨认 微观粒子具有波粒二象性 它的运动不是轨道运 动 原则上不可以跟踪量子粒子的运动 第六章 近独立粒子的最概然分布 假设在t 0时 确知两个粒子的位置 由于与这两 个粒子相联系的波动迅速扩散而相互重叠 在t 0 时在某一地点发现粒子时 已经不能辨认到底是 第一个还是第二个粒子 第六章 近独立粒子的最概然分布 既然全同粒子不可分辨 那么该如何描述由全同近 独立粒子组成的系统的微观状态呢 确定在每一个个体量子态上的粒子数 对于三维自由粒子 只需要确

15、定由每一组量子数 nx ny nz所表征的个体量子态上各有多少个微观 粒子就可以了 根据自旋量子数可将微观粒子分为 费米子 自旋量子数为半整数 例如电子 质子 中子自旋量子数都是1 2 玻色子 自旋量子数为整数 如光子的自旋量子 数为1 第六章 近独立粒子的最概然分布 在原子核 原子和分子等复合粒子中 凡是有玻 色子构成的复合粒子时玻色子 由偶数个费米子 构成的复合粒子为玻色子 由奇数个费米子构成 的复合粒子为费米子 1H原子 2H核 4He核 4He原子等式玻色子 2H原子 3H核等是费米子 费米系统 由费米子组成的系统 遵从泡利不相 容原理 玻色系统 由玻色子组成的系统 第六章 近独立粒子

16、的最概然分布 泡利不相容原理 由多个全同近独立的费米子的系 统中 一个个体量子态最多能容纳一个费米子 玻尔兹曼系统 由可分辨的全同近独立粒子组成 且处在一个个体量子态上的粒子数不收限制的系统 举例说明三个系统的区别 系统含有两个粒子 粒子的个体量子态有3个 第六章 近独立粒子的最概然分布 玻尔兹曼系统 粒子可以分辨 每一个量子态能够 容纳的粒子数不受限制 因为可以分辨 粒子记为A B 9 32个不 同状态 第六章 近独立粒子的最概然分布 波色系统 粒子不可分辨 每一个量子态能够容纳 的粒子数不受限制 因为不可分辨 粒子记为A A 6个状态 费米系统 粒子不可分辨 每一个量子态只能够容 纳一个粒子 因为不可分辨 粒子记为A A 第六章 近独立粒子的最概然分布 3个不同的微观状态 第六章 近独立粒子的最概然分布 四 等概率原理 宏观系统是用一些宏观物理量描述 如对于孤立系 统 用粒子数N 体积V和能量E就可以完全表征系 统的平衡态 其余的热力学函数可以表示为这些物 理量的函数 对于具有确定粒子数N 体积V和能量E的体系 系 统可能的微观状态数是大量的 例如 系统含有两个粒子 粒子的个体量子