《全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编函数大题强化训练（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编函数大题强化训练（解析版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题22函数大题强化训练(省赛试题汇编)1【2018年浙江预赛】设aR，且对任意实数b均有maxx0,1x2+ax+b1，求a的取值范围.【答案】a-3【解析】解1：f(x)=x2+ax+b，对于b1f(0)1，所以只要考虑b1.（1）当-a20时，即a0，此时函数f(x)的最值在拋物线的左右端点取得，对任意b1有f(1)=1+a+bf(0)=b，所以f(1)=1+a+b1，解得a1（2）当0-a212时，即-1a0，此时函数f(x)的最值在拋物线的顶点和右端点取得，而对b=0有f(1)=1+a1，f-a2=-a241.（3）当12
2、-a21时，即-2a-1时，此时函数f(x)的最值在拋物线的顶点和左端点取得，而对b=0有f(0)=b1，f-a2=-a241.（4）当-a21时，即a-2，此时函数f(x)的最值在拋物线的左右端点取得，对任意b1有f(0)=b1，所以f(1)=1+a+b-1,解得a-3.综上或a-3.解2：设maxx0,1x2+ax+b1，则有mb，m1+a+b2mb+1+a+b1+a依题意，1+a21a1，或a-3.2【2018年山西预赛】求解函数y=x-x31+x22的最大最小值.【答案】最大值为14，最小值为-14.【解析】易知函数定义域为全体实数，由于y=x-x31+x22=122x1+x21-x2
3、1+x2，令x=tan，则2x1+x2=sin2，1-x21+x2=cos2，所以y=12sin2cos2=14sin4，因此-14y14；函数y最大值为14，最小值为-14.3【2018年福建预赛】函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之
4、一.请你解答下列问题.已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(2)=3.求f(96)的值.【答案】4750【解析】在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=b=a，得f(0)=f(0)+f(0)+0+2，于是f(0)=2. 在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=2，b=2，得f(0)=f(2)+f(2)4+2.2=f(2)_34+2，f(2)=3. 在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=n2，b=2，得f(n)=f(n2)+f(2)+2(n2)+2=f(n2)+3+2(n2)+2=f(n2)+2
5、n+l. f(n)f(n2)=2n+1.f(96)f(94)=296+1，f(94)f(92)=294+1，f(94)f(92)=294+1，上述等式左右两边分别相加，得f(96)f(2)=2(96+94+4)+47.f(96)=2(96+4)247+47+3=4750.4【2018年贵州预赛】已知函数y=3x+x2-2x，求该函数的值域【答案】-，3-226，+【解析】令u=x1，则y=3u+3+u2-1，则u1设u2-1=u-t0，则00时，y=32t+1t+3+12t+1t-t=t+2t+3由于0t1，故函数单调递减，所以y1+2+3=6当u1【解析】试题分析：（1）当a=12时，fx=
6、log1212x2-x，由12x2-x0可得函数的定义域为-,02,+，结合图象可得函数的减区间为-,0，增区间为2,+。（2）令gx=ax2-x，分两种情况考虑。当0a0；当a1时，若满足题意则gx=ax2-x在2,4上单调递增，且g(x)min=ax2-x0。由此得到关于a的不等式组，分别解不等式组可得所求范围。试题解析：（1）当a=12时，fx=log1212x2-x，由12x2-x0，得x2-2x0，解得x2，所以函数的定义域为-,02,+，结合图象可得函数的减区间为-,0，增区间为2,+。（2）令gx=ax2-x，则函数gx的图象为开口向上，对称轴为x=12a的抛物线，当0a0，即1
7、2a4g4=116a-140，此不等式组无解。当a1时，要使函数fx在区间2,4上是增函数，则gx=ax2-x在2,4上单调递增，且g(x)min=ax2-x0，即12a2g2=4a-20，解得a12，又a1， a1，综上可得a1所以实数a的取值范围为(1,+)。点睛：求函数的单调区间时容易忽视函数定义域的限制，对数型函数的单调性满足“同增异减”的性质。对于本题中的（2），同样容易忽视ax2-x0的限制条件，解题时要考虑全面，不要漏掉条件。6【2018年湖南预赛】已知函数f(x)=2x+a2x+b. (1)当a=4,b=-2时，求满足f(x)=2x的x的值； (2)若函数f(x)是定义在R上的
8、奇函数，函数g(x)满足f(x)g(x)+2=2x-2-x，若对任意xR且x0,不等式g(2x)mg(x)-10恒成立，求实数m的最大值.【答案】（1）2；（2）42【解析】(1)当a=4,b=-2时，f(x)=2x+42x-2=2x.即(2x)2-32x-4=0，解得：2x=4或2x=1(舍去)，x=2； (2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-x)=-f(x)，即2-x+a2-x+b=-2x+a2x+b，即(a+b)(2-x+2x)+2ab+2=0，解得：a=1,b=-1，或a=-1,b=1经检验a=-1,b=1满足函数的定义域为R，f(x)=2x-12x+1.当x0时,函数g(
9、x)满足f(x)g(x)+2=2x-2-x，f(x)g(x)+2=2x-2-x,(x0)，则g(x)=2x+2-x，不等式g(2x)mg(x)-10恒成立，即(2x+2-x)2-2m(2x+2-x)-10恒成立，即m(2x+2-x)+82x+2-x恒成立，设t=2x+2-x，则t2，即mt+8t，t2恒成立，由对勾函数的图象和性质可得：当t=22时, t+8t取最小值42。故m42，即实数m的最大值为42.7【2018年重庆预赛】设函数f(x)=ax2+bx+c（a0）满足|f(0)|2，|f(2)|2，|f(-2)|2，求当x2,-2时y=|f(x)|的最大值【答案】52【解析】解：由题意知
10、c=f(0)4a+2b+c=f(2)4a-2b+c=f(-2)，解得c=f(0)a=f(2)+f(-2)-2f(0)8b=f(2)-f(-2)4，从而当x2,-2时，y=|f(x)|=f(2)+f(-2)-2f(0)8x2+f(2)-f(-2)4x+f(0)=x2+2x8f(2)+x2-2x8f(-2)+4-x24f(0)x2+2x4+x2-2x4+4-x22. 因为x2,-2时x2+2x4x2-2x40，从而|f(x)|x2+2x4+x2-2x4+4-x22=x2+2x4-x2-2x4+4-x22=-x22+|x|+2 易知当x0,2时-x22+|x|+2=-x22+x+252当x-2,0时
11、-x22+|x|+2=-x22-x+252得max|x|2|f(x)|max|x|2-x22+|x|+252 最后取f(x)=-12x2+x+2，则|f(2)|=|f(-2)|=|f(0)|=2故该函数满足题设条件且在-2,2上能取到最大值52因此y=|f(x)|的最大值为528【2018年贵州预赛】已知函数y=3x+x2-2x，求该函数的值域【答案】-，3-226，+【解析】令u=x1，则y=3u+3+u2-1，则u1设u2-1=u-t0，则00时，y=32t+1t+3+12t+1t-t=t+2t+3由于0t1，故函数单调递减，所以y1+2+3=6当u0时，y=32t+1t+3+12t+1t
12、-t=-2t+1t+33-22（当且仅当t=22，即x=4-324时取等号）所以函数的值域为-，3-226，+.故答案为：-，3-226，+9【2018年湖南预赛】已知二次函数f(x)=x2-16x+p+3.（1）若函数在区间-1,1上存在零点，求实数p的取值范围；（2）问是否存在常数q(q0)，使得当xq,10时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12-q.（注：区间a,b (ab)的长度为b-a）.【答案】（1）20p12；（2）存在常数q= 8或q= 9，当xq，10时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12q【解析】（1）利用零点存在性定理列出关于q的不等式，然后再利用不等式知识求
13、解即可；（2）先利用单调性求出函数的值域，再利用区间长度列出关于q的方程，求解即可。解：（1）二次函数f(x)=x2 16x+p+ 3的对称轴是x=8，函数f(x)在区间-1,1上单调递减，则函数f(x)在区间-1,1上存在零点须满足f(-1)f(1)0 2分即(1 + 16 +p+ 3)(1 16 +p+ 3)0， 解得20p12 4分 当q88-q10-8q0时，即0q6时，f(x)的值域为：f(8)，f(q)，即p61,q216q+p+ 3.区间长度为q2 16q+p+ 3 (p 61) =q2 16q+ 64 = 12 qq2 15q+ 52 = 0 q=15172，经检验q=15172不合题意，舍去6分当q88-q10-8q0时，即6q8时，f(x)的值域为：f(8),f(10)，即p 61，p 57区间长度为p 57 (p 61) = 4 = 12 qq= 8经检验q= 8不合题意，舍去. 8分当q8时，f(x)的值域为：f(q)，
