《全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编 三角函数与解三角形大题强化训练（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编 三角函数与解三角形大题强化训练（解析版）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题06 三角函数与解三角形大题强化训练(省赛试题汇编)1【2018年陕西预赛】已知函数fx=2cosxcosx+3sinx-1,xR.（1）求函数fx的单调递增区间；（2）设点P1x1,y1,P1x2,y2,Pnxn,yn,都在函数y=fx的图象上，且满足x1=6,xn+1-xn=2.求y1+y2+y2018的值.【答案】（1）-3+k,6+k,kZ；（2）0【解析】（1）fx=cos2x+3sin2x=2sin2x+6，故fx的单调增区间为-3+k,6+k,kZ.（2）设tn=2xn+6,t1=2x1+6=2,tn+1-tn=tn=n-12.yn=2sin2n-12=2,n=2k-1-2,
2、n=2kkZ,y1+y2+y2018=0.2【2018年陕西预赛】已知函数fx=2cosxcosx+3sinx-1,xR.（1）求函数fx的单调递增区间；（2）设点P1x1,y1,P1x2,y2,Pnxn,yn,都在函数y=fx的图象上，且满足x1=6,xn+1-xn=2.求y1+y2+y2018的值.【答案】（1）-3+k,6+k,kZ；（2）0【解析】（1）fx=cos2x+3sin2x=2sin2x+6，故fx的单调增区间为-3+k,6+k,kZ.（2）设tn=2xn+6,t1=2x1+6=2,tn+1-tn=tn=n-12.yn=2sin2n-12=2,n=2k-1-2,n=2kkZ,
3、y1+y2+y2018=0.3【2018年陕西预赛】已知函数fx=2cosxcosx+3sinx-1,xR.（1）求函数fx的单调递增区间；（2）设点P1x1,y1,P1x2,y2,Pnxn,yn,都在函数y=fx的图象上，且满足x1=6,xn+1-xn=2.求y1+y2+y2018的值.【答案】（1）-3+k,6+k,kZ；（2）0【解析】（1）fx=cos2x+3sin2x=2sin2x+6，故fx的单调增区间为-3+k,6+k,kZ.（2）设tn=2xn+6,t1=2x1+6=2,tn+1-tn=tn=n-12.yn=2sin2n-12=2,n=2k-1-2,n=2kkZ,y1+y2+y
4、2018=0.4【2018年甘肃预赛】已知函数，xR，将函数f向左平移个单位后得函数g，设三角形ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c.()若c，f0，sin B3sin A，求a、b的值；()若g0且，求的取值范围【答案】() a1，b3；() (0，1.【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式化简为，由，求得，由余弦定理及正弦定理可得关于的方程解方程可得的值；（2）先求得，由，求得，故，化简，根据的范围，求得的取值范围.试题解析：（） ，所以，因为，所以，所以，由余弦定理知： ，因为，由余弦定理知： ，解得： .（）由条件知，所以，所以，因为，所以，即， ，于
5、是 ，得，即.5【2018年吉林预赛】已知函数fx=4cosxsinx+76+a的最大值为2.求a的值及fx的最小正周期；求fx的单调递减区间.【答案】（1）a=1，T=（2）-3+k,6+k, kZ.【解析】fx=4cosxsinx+76+a=4cosx-32sinx-12cosx+a=-23sinxcosx-2cos2x+1-1+a=-3sin2x-cos2x-1+a=-2sin2x+6-1+a因此，当sin2x+6=-1时，fx取得最大值2-1+a=1+a.又因为fx的最大值为2，所以1+a=2，即a=1.fx的最小正周期为T=22=.由得fx=-2sin2x+6，令2x+6-2+2k,
6、2+2k，kZ.得x-3+k,6+k，kZ.因此，fx的单调递减区间为-3+k,6+k，kZ.6【2018年山东预赛】已知数列an满足：a1=3，0an3，sinan+113sin3ann2求证：sinan1n【答案】见解析【解析】设fx=x-43x30x1，则fx=1-4x2从而fx在区间0,12上单调递增，在12,1上单调递减当x=12时，fxmax=13下面用数学归纳法证明结论当n=1时，sina1=sin3=3211；当n=2，3，4时，sinan13sin3an-1131n假设当n=kk4时结论成立，即有sinak1k12，则当n=k+1时，sinak+113sin3ak=sinak
7、-43sin3ak由fx=x-43x30x1在区间0,12上单调递增，因此sinak+113sin3ak=sinak-43sin3ak1k-431k3下证1k-431kk34k，所以1k+1+kk+143k，即k+1-kk+1k+1-kkk+1=1k-1k+1从而结论对n=k+1成立由数学归纳法知，结论对任意正整数n均成立7【2018年天津预赛】设x1、x2、x3是方程x3-17x-18=0的三个根，-4x1-3且4x35.求x2的整数部分；求arctanx1+arctanx2+arctanx3的值.【答案】（1）-2（2）arctanx1+arctanx2+arctanx3=-4【解析】由于
8、x1、x2、x3是方程的根，我们有x3-17x-18=x-x1x-x2x-x3.比较两端的系数可得：x1+x2+x3=0，x1x2+x2x3+x3x1=-17，x1x2x3=18.由x1-4,-3和x34,5可知x2=-x1-x3-2,0.注意fx=x3-17x-18满足f0=-180，f-1=-20.所以fx在区间-2,-1上有一个根，即x2-2,-1.因此x2的整数部分为-2.设arctanxi=i，i=1，2，3.由知1,2-2,-4，且34,2 .因此1+2+3-34.0.注意tan1+2=tan1+tan21-tan1tan2=x1+x21-x1x2从而tan1+2+3=tan1+2
9、+tan31-tan1+2tan3=x1+x21-x1x2+x31-x3x1+x21-x1x2=x1+x2+x3-x1x2x31-x1x2+x2x3+x3x1=0-181-17=-1.这表明1+2+3=-4，即arctanx1+arctanx2+arctanx3=-4.8【2018年河南预赛】已知cos+=cos+cos，试求cos的最大值【答案】3-1【解析】由题意得coscos-sinsin=cos+cos，则cos-1cos-sinsin-cos=0记点Pcos,sin，直线l:cos-1x-siny-cos=0，则点P的轨迹方程为单位圆：x2+y2=1，且pl从而圆心O0,0到直线l的
10、距离d=-coscos-12+-sin21整理得cos2+2cos-20解得-1cos3-1，故cos的最大值为3-19【2018年河南预赛】已知ABC的三边长分别为a、b、c，且满足abc=2a-1b-1c-1，是否存在边长均为整数的ABC？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由【答案】存在边长均为整数的满足条件的ABC，其三边长分别为3、7、8或4、5、6【解析】不妨设abc，显然c2若c5，此时有1a1b1c15，由abc=2a-1b-1c-1可得12=1-1a1-1b1-1c453，矛盾故c只能取2、3、4若c=2，则ab=a-1b-1，得a+b=1，又ab2，故无解若c=3，则3ab
11、=4a-1b-1，即a-4b-4=12，又因为ab3，从而a-4=12b-4=1或a-4=6b-4=2或a-4=4b-4=3解得a=16b=5或a=10b=6或a=8b=7其中能够构成三角形的只有a=8，b=7，c=3若c=4，则2ab=3a-1b-1，即a-3b-3=6，又因为ab4，从而a-3=6b-3=1或a-3=3b-3=2解得a=9b=4或a=6b=5其中能够构成三角形的只有a=6，b=5，c=4综上，存在边长均为整数的满足条件的ABC，其三边长分别为3、7、8或4、5、610【2018年河北预赛】已知将函数g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将
12、所得到的图象向右平移2个单位长度得到函数y=f(x)的图象，且关于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)内有两个不同的解、.（1）求满足题意的实数m的取值范围；（2）求cos(-)（用含m的式子表示）.【答案】（1）(-5,5)（2）2m25-1【解析】（1）将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到y=2cosx的图象.再将y=2cosx的图象向右平移2个单位长度后，得到y=2cos(x-2)的图象.故f(x)=2sinx，f(x)+g(x)=2sinx+cosx=5sin(x+).其中sin=15,cos=25.依题意sin(x+)=m5在区间0,2)
13、内有两个不同的解、，当且仅当m51.故m的取值范围是(-5,5).（2）因为、是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解，所以sin(+)=m5，sin(+)=m5.当1m5时，+=22-，即-=-2(+).当-5m1，+=232-，即-=3-2(+).所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25-1.11【2018年河北预赛】设,0,2，证明： cos+cos+2sinsin322【答案】见解析【解析】因为cos+cos+2sinsin=2cos+2cos-2+22cos-cos+2cos+2+221-cos+=2cos+2+222-2cos2+
14、2=2-2cos2+2+2cos+2=322-2cos+2-222322当且仅当cos-2=1cos+2-22=0，即=4时等号成立，故原不等式得证.12【2016年吉林预赛】在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，b=1，且cosC+2a+ccosB=0.求（1）B；（2）SABC的最大值.【答案】（1）B=23；（2）312【解析】（1）由已知得bcosC+2a+ccosB=0sinBcosC+2sinA+sinCcosB=0sinB+C+2sinAcosB=0sinA+2sinAcosB=0 又A、B为ABC的内角，故cosB=-12B=23.（2）将b=1，B=23代入b2=a2+c2-2accosB得1
