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1、版权归原著所有本答案仅供参考习题22-1 质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，当时，。当时，求：(1) 质点的位矢；(2) 质点的速度。解：由 ，有：，（1） 于是2秒时质点的位矢为： （2）于是质点在时的速度： 2-2 摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F= -kv2(k为正值常量)。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后，求：(1) 求速率v随时间t的变化规律；(2) 求路程x随时间t的变化规律；(3) 证明速度v与路程x之间的关系为，其中。解：（1）由牛顿运动定律得：，分离变量有，两边积分得：速率随时间变化的规律为；（2）由位
2、移和速度的积分关系：，积分有：由于此题路程和位移相等，路程随时间变化的规律为： ； （3）由， 积分有： ，其中2-3质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：又由牛顿第二定律可得：，则分离变量，可得：，两边同时积分，有：，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则：考虑到，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。2-4一条质量分布均匀的绳子，质量为、长度为，一端拴在竖直转轴
3、OO上，并以恒定角速度在水平面上旋转设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)解：考虑离轴线和间的一小段绳子（如图），它的长度为，质量 ，由于绳子作圆周运动，这小段绳子就有法向加速度，所以它的两端的张力不相等，设为和 ，其运动方程为：因为；于是有：，得：，而2-5已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。解：由题意：，再由牛顿第二定律可得：，考虑到，可推出：两边同时取积分，则：有：2-6一质量为的质点，在平面上运动，受到外力 (SI)的作用，
4、时，它的初速度为 (SI)，求时质点的速度及受到的法向力。解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由：，有：，两边积分有：，考虑到，有由于在自然坐标系中，而（时），表明在时，切向速度方向就是方向，所以，此时法向的力是方向的，则利用，将代入有，。2-7如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？ 解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。即：可得：解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为，列式有：联立得：，有：。2-8如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜
5、面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为： 可计算得到：此时的（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：可计算得到：此时的，所以：。解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中，将物体m受力沿和方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：方向：方向：考虑到，有：，解得：。的取值范围：。2-9 密度为1的液体，上方悬一长为l，密度为2的均质细棒AB，棒的B端刚好和液面
6、接触。今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：(1) 棒刚好全部浸入液体时的速度；(2) 若21/2，棒进入液体的最大深度；(3) 棒下落过程中能达到的最大速度。解：（1）由牛顿运动定律得：，考虑到，分离变量，有：，棒刚好全部浸入液体时，速度为，此时,则两边积分， 得：，。（2）由来看，棒可以全部浸入液体的条件为，即：，假若有条件，则棒不能全部浸入液体；若，设棒进入液体的最大深度为，由积分可得：，考虑到棒在最大深度时速度为零，有：。（3）由牛顿运动定律知，当时，速度最大（设为）有：，即，由积分，有：，。2-10圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转
7、时液面的形状如何？解：取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元，受重力和支持力的作用，考虑剖面，受力分析如图示。列式： ， /有：，又由导数几何意义，有： ，积分有： 当 时 所以 ，表明剖面上，形成液面的抛物线；同理，在剖面上，可得：，稳定旋转时液面是一个抛物面，综上，在立体的三维坐标上，抛物面的方程为：。2-11质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解：利用隔离体方法，设方形物相对于劈形物沿斜面下滑的加速度为，劈形物水平向左的加速度为，分析受力有：方形物受力：，（惯性力）；劈形物受力：，如图；对
8、于，有沿斜面平行和垂直的方程为： 对于，有： 将代入有：，代入，有：再将在水平和竖直两方向上分解，有： 而相互作用力：2-12一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为，求：小环平衡时距杆端点的距离。解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，所以可列式： 所以，可得：。2-13设质量为的带电微粒受到沿方向的电力，计算粒子在任一时刻的速度和位置，假定时，。其中，为与时间无关的常数，的单位分别为，。解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：，整理可得二阶微分方程：，下面分c为正负做讨论：令（1）当时，令，方程为：，可以写成：【考虑到高等数学中，对于，其通解为：】可得：
9、，即：再对上式求一次导，得到：，由初始条件：时，可知：，有，；（2）当时，令，方程为：，可以写成：【考虑到高等数学中，对于，其通解为：】可得：，即：再对上式求一次导，得到：，由初始条件：时，可知：，有，；2-14在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在时，球的速率为，求任一时刻球的速率和运动路程。 解：取自然坐标系，法向：，而： 切向：，则： ，得： 2-15 设飞机降落时的着地速度大小，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数，如果飞机受到的迎面空气阻力与速率平方成正比为Kx v2，升力为Ky v2 (Kx和Ky均为常量)，已知飞机的升阻比为，求从着地到
10、停止这段时间所滑行的距离（设飞机刚着地时对地面无压力）。解：（1）由牛顿运动定律，考虑到飞机刚着地时对地面无压力，有：则，又，有：，即：积分有：路程为： 。思考题2-1质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示设木板和墙壁之间的夹角为a，当a逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N1，方向水平向右，木板对小球的压力为N2，方向垂直于木板，小球受重力为mg，建立平衡方程： ，所以当增大，小球对木板的压力N2将减小；小球对墙壁的压力也减小。2-2质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间
11、的摩擦系数均为，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？解：由于系统在拉力F作用下做匀速运动，对A进行受力分析，知：，对B进行受力分析，知：突然撤消拉力时，对A有：，所以，对B有：，所以。2-3如图所示，用一斜向上的力 (与水平成30角)，将一重为的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数m的大小为多少？解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知： 整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明： 即：（此式中F无论为多大，总成立），则
12、可得：。2-4质量分别为和的滑块和，叠放在光滑水平桌面上，如图所示、间静摩擦系数为，滑动摩擦系数为，系统原处于静止今有一水平力作用于上，要使、不发生相对滑动，则应取什么范围？解：根据题意，分别对，进行受力分析，要使，不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：解得：， 。2-5如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？ 解：分别对A，B进行受力分析，可知：则可计算得到： 。2-6如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正
13、确的？ (A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。(B) 它的速率均匀增加。(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。(D) 它的合外力大小不变。(E) 轨道支持力的大小不断增加。解：在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B的说法不对；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。下滑过程中的和v都在增大，所以N也在增大，则E的说法正确。2-7一小珠可在半径为的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直
14、直径为轴转动当圆环以一适当的恒定角速度转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为，可列式： 所以，可得：， 。2-8几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上（如图所示）为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选(A) 60 (B) 45(C) 30 (D) 15解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为，可列式：， ，当=45时，时间最短。2-9如图所示，小球A用轻弹簧与轻绳系住；小球B用轻绳与系住，今剪断绳和绳，在刚剪断的瞬间，、球的加速度量值和方向是否相同？解：不同。对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没有变化，所以弹簧的拉力F不变，A的
