应力和应变状态

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1、第八章 应力和应变状态 强度理论 一 应力状态概述 二 二向应力状态 解析法 三 二向应力状态分析 图解法 四 三向应力状态和最大剪应力 五 位移与应变分量 六 平面应变状态分析 七 广义虎克定律 八 强度理论概述 九 四个常用的强度理论及其强度条件 九 莫尔强度理论 十 构件含裂纹时的断裂准则 十一 关于强度失效分析的现状 一 应力状态概述 1 一般性结论 1 受力构件上应力随点的位置变化而变化 2 即使在同一点应力也是随截面的方向变化而变化 2 一点处的应力状态 通过受力构件内的一点的各个方位截面上的应力 集合 3 研究方法 4 主平面 0 的平面 主应力 主平面上的正应力 一般来说 过受

2、力构件的任意一点都可找到 三个互相垂直的主平面 因而每点都有三个相互 垂直的主应力 1 2 3 应力状态 1 单向 一向 应力状态 2 平面 二向 应力状态 3 空间 三向 应力状态 5 二向 三向应力状态的实例 1 二向应力状态 薄壁圆筒 t D L 属二向应力状态 2 三向应力状态 二 二向应力状态 解析法 在二向应力状态下 已知通过一点的某些截面上的应力 互相垂直的截面 后 如何确定通过这一点的其它斜截面 上的应力 从而确定该点的主平面和主应力 1 斜截面上应力 正负号规定 拉 压 使单元体绕其内部一点有顺时针转动趋势时为正 逆时针为负 从x轴正方向逆时针转到 角终边 则为正 顺时 针为

3、负 2 主平面 主应力 刚好是剪应力为零 的截面 4 两个导出公式 3 最大剪应力 例1 已知如下单元体的应力状态 求图示斜截面上的应力和 max min max min及主平面和最大剪应力所在平面的方位 解 1 取坐标轴 2 已知条件命名 3 计算 30 30 4 计算 max min及主平面方位角 5 计算 max min及其所在 平面的方位角 例2 解 1 求主应力 主平面并画出主应力单元体 2 求最大剪应力及其作用面 1 取坐标轴 2 已知条件 3 主平面方位角 y x 4 主应力 5 最大剪应力 例3 图示简支梁由36a工字钢制成 P 140kN L 4m A点位于集中力 P左侧截面

4、上的下翼缘与腹板的交界处 试求 1 A点处图中指 定斜截面上的应力 2 A点处的主应力及主应力单元体 解 1 外力分析 2 内力分析 Q M图 3 A点横截面上的 4 在单元体上 5 斜截面上的 60 60 6 A点处的主应力及方位 6022 三 二向应力状态分析 图解法 1 应力圆 则 圆心 半径 圆心 半径 则单元体任意截面上的正应力 剪应力 必将位于此 圆上 2 应力圆与它的单元体之间的对应关系 1 点面对应关系 圆上任一点的纵 横坐标值对应 着单元体上某截面上剪 正应力值 2 圆上每一条半径对应着应力单元体上某截面的外 法线 3 夹角关系 圆上某两条半径夹角等于单元体上对 应截面外法线

5、夹角的两倍 且转向相同 3 应力圆的应用 1 确定单元体上任一斜截面上的正应力 剪应力 2 确定两个主应力的大小和方位 3 确定两个最大最小剪应力的大小和方位 例1 x 60MPa xy 20 6MPa y 0 用图解法求 1 该点的主应力和主平面的方位 2 求与轴线方向成 450的应力 450 450 20MPa x 60MPa xy 20 6MPa 解 按比例作应力圆 y 0 yx 20 6MPa 得两点 D 60 20 68 D 0 20 68 20MPa 测量 按比例作应力圆 得两点 D 60 20 68 D 0 20 68 例2 两相交于一点处的斜截面上的应力如图 试用应力圆求该点

6、的主应力 并画出主应力单元体 解 得两点 CD1顺时针转2400到CD2 由此可画出应力 圆 由应力圆可计算出 例3 已知受力构件的A点处于平面应力状态 过A点两斜截面上 的应力圆如图 试用应力圆求该点的主应力 主平面和最大剪应 力 100 解 四 三向应力状态和最大剪应力 1 三向应力圆 已知 1 2 3 l m n 求 该截面上的应力 n n 1 三向应力圆 由和 经推导可得 2 n n 的范围 D点 3 三向应力状态下的 max 和 max min 例1 某三向应力状态单元体如图所示 求主应力与最大剪应力 20 解法2 五 位移与应变分量 1 平面应变状态 平面应力所对应的应变状态 2

7、位移与应变分量的关系 M的位移函数 六 平面应变状态分析 1 已知 求平面内任意一个方向上的线应 变和剪应变 符号规定 2 主应变及其方向 3 应变圆 4 应变的实例 例1 已知 求该点处的主应变及其方向 解 1 取坐标系 90 为x方向 2 已知条件 3 计算 y x y 4 主应变及主方向 5 应变圆 七 广义虎克定律 应用条件 p 小变形 和各向同性材料 1 简单应力状态下虎克定律 正应力仅引起线应变 正应变 剪应力仅引起自身平面内的剪应变 2 复杂应力状态下的广义虎克定律 某点在某方向上的线应 变与其三个互相垂直方 向的正应力有关 三个互相垂直的平面 各平面内的剪应变仅与 该平面内的剪

8、应力有关 若单元体是主单元体 即各面上的应力为主应力 各方向的主应变为 各平面的剪应变为零 例1 测得A点处的 x 400 10 6 y 120 10 6 已知 E 200GPa 0 3 求A点在x和y方向上的正应力 解 1 应力状态图 2 平面应力状态 解得 讨论题 若知该点的截面位置及其在截面上的位置 如 何推算外力P 要测出 xy 又将如何做 例3 设在筒内无内压作用时 两端以刚性壁无初应力地夹住 当筒承受内压 时 试求圆筒作用于刚性壁上的力 设材料的E 已知 解 1 2 解得 讨论题 若要使筒不掉下 应有 什么条件 例4 圆轴直径为 受到扭转力偶和轴向外力的共同作用 材 料常数 已知

9、现测得 aa 及 bb 方向的线应变分别为 45 及 45 求该轴所受外力偶矩Te和轴向力 的大小 解 在测点取单元体 如图所示 其中 此时 作业 P342 8 26 8 27 8 28 3 主单元体的体积应变 体积虎克定律 m 变形前 V dx dy dz 变形后 V1 1 x dx 1 y dy 1 z dz 4 复杂应力状态下的变形比能 单位体积内的变形能 歪形能 总变形 体积改变形状改变 八 强度理论概述 目的 建立危险点处于复杂应力状态下的强度条件 1 两类材料两类失效形式及其失效因素的准则 脆性材料 断裂失效 塑性材料 屈服失效 横截面断裂 沿450方向断裂 屈服 450滑移线 横

10、截面屈服 max 或 max max max 或 max max 2 简单应力状态下的强度条件 3 用强度理论建立处于复杂应力状态下危险点的强度条 件 强度理论 关于材料强度失效主要原因的假说 材料无论处于复杂应力状态还是处于简单应力 状态 引起失效的因素是相同的 与应力状态无关 这样 一方面由简单应力状态 拉压 的实验 测出引起材料失效的那 个因素的极限值 另一方面计算实际受力构件上处于复杂应力状态下的 危险点处的相应因素 从而建立材料处于复杂应力状态下的强度条件 简单应力状态复杂应力状态 失效因素 实验测量fjx计算fmax 失效条件Fmax fjx 用强度理论建立复杂应力状态下的强度条件

11、的 方法可用示意图表示 选用相应的 强度理论计算 相当应力 九 四个常用的强度理论及其强度条件 或或 相当应力 例1图示应力状态 试根据第三 第四强度理论建立相应的 强度条件 解 1 求单元体的主应力 2 建立强度条件 按第三强度理论 按第四强度理论 例2 某铸铁构件危险点处的应力状态如图所示 且已知 35MPa 120MPa 试选择强度理论校核其强度 解 1 主应力 2 以拉为主的脆性材料 选 第I强度理论 3 强度满足 例3 试对N020a工字梁进行全面强度校核 已知 150MPa 95MPa Iz 2370cm4 Wz 237cm3 Iz Sz 17 2cm 解 i 外力分析 ii 内力

12、分析 iii 危险点 K1 K4 K2 K3 危险横截面C和D K1与K4点属单向应力状态 K1 K3点属纯剪切应力状态 注 若按第四强度理论 C截面K3点 强度也满足 K2点属二向应力状态 C截面K2点 选用第四强度理论 整个梁的强度不能满足要求 作业 P249 10 20 10 22 P250 10 27 九 莫尔强度理论 例4 某铸铁构件危险点处的应力状态如图 且 35MPa 120MPa为已知 试用莫尔强度理论校核其强度 前例 2 解 十 构件含裂纹时的断裂准则 2 材料的断裂韧性 抵抗裂纹扩展的能力 KIC 材料的固有性能 3 失稳扩展的强度条件 1 应力强度因子 是表征裂纹尖端附近

13、区应力强弱程度的 力学量 十一 关于强度失效分析的现状 a 四个常用强度理论和莫尔理论 b 疲劳强度设计准则 c 断裂强度设计准则 d 以损伤理论为基础的耐久性设计准则 习题课 1 薄壁圆筒 D 300mm 内压p 0 5MPa t 1mm 求沿焊缝斜面上的正应力和剪应力 解 1 焊缝处的应力状态 2 焊缝截面上的 和 已知 P 20kN T 600N m d 50mm 2mm 试求 1 A点在指定斜截面上的应力 2 A点的主应力和方向 3 若 170Mpa 用第三强度理论校核危险点的强度 习 题19 解 1 载荷分组 拉 扭 2 A点处的应力状态 2 2 A点处的应力状态 y 3 取x Y轴

14、如图 4 A点处斜截面上的应力 60 60 5 主应力 主平面 6 y 3 d 60mm T 2 5kN m E 210GPa 0 28 试求 30 解 1 任一点的应力状态 为纯剪应力状态 2 3 讨论 用广义虎克定律可求 30 吗 4 30 30 x 0 y 0 1 计算 30 和 60 2 用广义虎克定律求 30 4 在刚性槽内无间隙地放入一块边长为10mm的立方体 已知 E 70GPa 0 33 在立方体上面施加力P 6kN 求立方体的3 个主应力和各边长度的改变 解 建立参考系如图所示 x y z 由 得 4 在刚性槽内无间隙地放入两块边长为a的立方体 已知 E1 E2 1 2 在 1 的立方体上面施加力P 求立方体 的3个主应力和主应变值 已知 d 30mm 0 500 10 6 90 426 10 6 E 210GPa 0 28 求M1和M2 已知 E A 且 求P 解 两式相加 P P