《高中数学 3.2《立体几何中的向量》课件一 新人教A版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 3.2《立体几何中的向量》课件一 新人教A版选修2-1（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法 解题时 可用定量的计算代替定性的分析 从而避免了一些繁琐的推理论证 求空 间角与距离是立体几何的一类重要的问题 也是高考的热点之一 我们主要研究怎 么样用向量的办法解决空间角的问题 空间的角 空间的角常见的有 线线角 线面角 面面角 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角 故我们研究线线角 时 就主要求 范围内 的角 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角 再结合与面垂直 平行或在 面内这些特殊情况 线面角的范围也是 两个平面所成的角是用二面角的平面角来 度量 它的范围是 总之 空间的
2、角最终都可以转化为两相交直线所成的角 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角 异面直线所成角的范围 思考 结论 一 线线角 所以 与 所成角的余弦值为 解 以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 如图所示 设 则 所以 例一 练习 在长方体 中 简解 直线与平面所成角的范围 思考 结论 二 线面角 例二 在长方体 中 简解 所以 练习 的棱长为1 正方体 x y z 设正方体棱长为1 l 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的 夹角 如图 设二面角 的大小为 其中 D C B A 三 面面角 方向向量法 二面角的范围 例三 如图图3 甲站在水库库底
3、面上的点A处处 乙站在水坝坝斜面上的 点B处处 从A B到直线线 库底与水坝的交线 的距离AC和BD分别为 和 CD的长为 AB的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 解 如图 化为向量问题根据向量的加法法则有 于是 得 设向量 与 的夹角为 就是库底与水坝所成的二面角 因此 A B C D 所以 所以库底与水坝所成二面角的余弦值为 l l 三 面面角 二面角的范围 法向量法 注意法向量的方向 一进一出 二面角等于法向量夹角 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 设平面 方向朝面外 方向朝面 内 属于 一进一出 的情况 二面角等于法向量夹角 小结 1 异面直线所成角 2 直线与平面所成角 l
4、D C B A 3 二面角 l l 一进一出 二面角等于 法向量的夹 角 同进同出 二面角等于 法向量夹角 的补角 2 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影 的方向向量分别是 1 0 1 0 1 1 那么这条斜线与平面所成的角是 3 已知两平面的法向量分别m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的钝二面角为 练习 1 已知 2 2 1 4 5 3 则平面 ABC的一个法向量是 600 1350 4 三棱锥P ABC PA ABC PA AB AC E为为PC中点 则则PA与BE所成角的 余弦值为值为 5 直三棱柱ABC A1B1C1中 A1A 2 AB AC 1 则则AC1与截面BB1
5、CC1所成 角的余弦值为值为 6 正方体中ABCD A1B1C1D1中E为为A1D1的 中点 则则二面角E BC A的大小是 7 正三棱柱 中 D是AC的中点 当 时 求二面角 的余弦值 C A D B C1B1 A1 8 已知正方体 的边长为2 O为AC和BD的交点 M为 的中点 1 求证 直线 面MAC 2 求二面角 的余弦值 B1 A1 C1 D1 D C B A O M 解法一 如图 以C为原点建立空间直角坐标系C xyz 设 底面三角形的边长为a 侧棱长为b 则 C 0 0 0 故 则可设 1 则B 0 1 0 y x z C A D B C1B1 A1 F E 作 于E 于F 则
6、即为二面角 的大小 在 中 即E分有向线段 的比为 由于 且 所以 在 中 同理可求 cos 即二面角 的余弦值为 y x z C A D B C1B1 A1 F E 解法二 同法一 以C为原点建立空间直角坐标系 C xyz 在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一 可求 B 0 1 0 可取 1 0 0 为面 的法向量 y x z C A D B C1B1 A1 由 得 解得 所以 可取 二面角 的大小等于 cos 即二面角 的余弦值为 方向朝面外 方向朝面 内 属于 一进一出 的情况 二面角等于法向量夹角 8 证明 以 为正交基底 建立空间直角坐标系如图 则可得 8 已知正方体 的
7、边长为2 O为AC和BD的交点 M为 的中点 1 求证 直线 面MAC 2 求二面角 的余弦值 B1 A1 C1 D1 D C B A O M x y z B1 A1 C1 D1 D C B A O M x y z 习题课 例1 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方 形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 1 求证 PA 平面EDB 2 求证 PB 平面EFD 3 求二面角C PB D的大小 A B C D P E F A B C D P E F X Y Z G 解 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 连结AC
8、 AC交BD于点G 连结EG A B C D P E F X Y Z G 2 求证 PB 平面EFD A B C D P E F X Y Z 3 求二面角C PB D的大小 A B C D P E F X Y Z 例2 如图 在四棱锥S ABCD中 底面ABCD为平 行四边形 侧面SBC 底面ABCD 已知 AB 2 BC SA SB 1 求证 2 求直线SD与平面SAB所成角的正弦值 S A B C D O x y z S A B D OC 证明 1 取BC中点O 连接OA OS 2 求直线SD与平面SAB所成角的正弦值 S A B CO x y z D 所以直线SD与平面SAB所成角的正弦
9、值为 例3 如图图 在四棱锥锥P ABCD中 底面ABCD为为矩形 侧侧棱PA 底面ABCD PA AB 1 AD 在线线段BC 上是否存在一点E 使PA与平面PDE所成角的大小为为 450 若存在 确定点E的位置 若不存在说说明理由 D B A C E P x z y 解 以A为原点 AD AB AP所在的直线分 别为X轴 Y轴 Z轴 建立空间直角坐标系 设BE m 则 例4 2004 天津 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 1 证明 PA 平面EDB 2 求EB与底面ABCD所成的角的正切值 A B C D P E
10、G x y z A B C D P E G x y z 1 证明 设正方形边长为1 则PD DC DA 1 连AC BD交于G点 2 求EB与底面ABCD所成的角的正切值 A B C D P E G x y z 所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 方向朝面内 方向朝面 外 属于 一进一出 的情况 二面角等于法向量夹角 1 如图 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 SO 面OABC 且OS OC BC 1 OA 2 求 1 异面直线SA和OB所成的角的余弦值 2 OS与面SAB所成角的余弦值 3 二面角B AS O的余弦值 O A
11、B C S x y z 练习 O A B C S x y z1 如图 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 SO 面OABC 且OS OC BC 1 OA 2 求 1 异面直线SA和OB所成的 角的余弦值 O A B C S x y z 1 如图 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 SO 面OABC 且OS OC BC 1 OA 2 求 2 OS与面SAB所成角的余弦值 所以OS与面SAB所成角的余弦值为 O A B C S x y z 所以二面角B AS O的余弦值为 1 如图 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 SO 面OABC 且OS OC
12、BC 1 OA 2 求 3 二面角B AS O的余弦值 2 在如图的实验装置中 正方形框架的边长都是1 且平面ABCD与平面ABEF互相垂直 活动弹子M N 分别在正方形对角线AC和BF上移动 且CM和BN的 长度保持相等 记CM BN 1 求MN的长 2 a 为何值时 MN的长最小 3 当MN的长最小时 求面MNA与面MNB所成 二面角的余弦值 A B C D E F M N A B C D M N E 3 如图 在棱长为 的正方体 中 分别是棱AB BC上的动点 且 1 求证 2 当三棱锥 的体积取最大值时 求二面角 的正切值 O C B A O A B C E F O C B A O A B C E F 图6
