《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：2.11.1利用导数研究函数的单调性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：2.11.1利用导数研究函数的单调性（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性 教材基础回顾 1 函数的导数与单调性的关系 函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间内 若f x 0 或f x 0 是f x 在 a b 内单调递增 或递减 的充分不必要条件 若f x 0不恒成立 则f x 0 或f x 0 是可导函数f x 在 a b 内单调递增 或递减 的充 要条件 教材母题变式 1 函数f x x ln x的单调递减区间为 A 0 1 B 0 C 1 D 0 1 解析 选A 函数的定义域是 0 且f x 1 令f x 0 得0 x 1 2 2016 全国卷 若函数f x x
2、 sin 2x asin x 在 上单调递增 则a的取值范围是 解析 选C 方法一 用特殊值法 取a 1 f x x sin 2x sin x f x 1 cos 2x cos x 但f 0 1 1 0时 函数f x 单调递增 此时由 不等式f x x 2 ex 0 解得x 2 答案 2 4 已知函数f x x3 ax2 x 1在R上单调递减 则实数a的取值范围是 解析 f x 3x2 2ax 1 0恒成立 所以 4a2 12 0 a 答案 母题变式溯源 题题号知识识点源自教材 1单调单调 区间间P26 练习练习 T1 2 2单调单调 性P26 练习练习 T4 3单调单调 区间间P31 A组组
3、T1 4单调单调 性P26 练习练习 T3 考向一 利用导数确定函数的单调性 典例1 2017 全国卷 改编 已知函数f x ae2x a 2 ex x 讨论f x 的单调性 世纪金榜导学号12560064 解析 f x 的定义域为 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 1 若a 0 则f x 0 则由f x 0得x ln a 当x ln a 时 f x 0 所以f x 在 ln a 上单调递减 在 ln a 上单调递增 误区警示 要特别注意的是 涉及含参数的单调性或单调区间问题 一定要弄清参数 对导数f x 在某一区间内的符号是否有影响 若有影响 则必须分类讨论 一题
4、多变 若典例中函数变为f x ex ex a a2x 试讨论f x 的单调性 解析 函数f x 的定义域为 f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 则f x e2x 在 上单调递增 若a 0 则由f x 0得x ln a 当x ln a 时 f x 0 故f x 在 ln a 上单调递减 在 ln a 上单调递增 技法点拨 讨论函数f x 单调性的方法步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 并求方程f x 0的根 3 利用f x 0的根将函数的定义域分成若干个子区间 在这些子区间上讨论f x 的正负 由符号确定f x 在该区间上的单调性 同源异考 金榜原创
5、 1 已知f x a x ln x a R 讨论f x 的单 调性 解析 f x 的定义域为 0 f x 当a 0时 x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 1 时 f x 0时 f x 1 0 a1 当x 0 1 或x 时 f x 0 f x 单调递增 当x 时 f x 2时 0 0 f x 单调递增 当x 时 f x 0 f x 单调递减 综上所述 当a 0时 f x 在 0 1 内单调递增 在 1 内单调递减 当0 a2时 f x 在 内单调递增 在 内单调递 减 在 1 内单调递增 2 已知函数f x ln x g x f x ax2 bx 其中g x 的函数图象在点 1 g
6、 1 处的切线平行于x 轴 世纪金榜导学号12560065 1 确定a与b的关系 2 若a 0 试讨论函数g x 的单调性 解析 1 依题意得g x ln x ax2 bx 则g x 2ax b 由函数g x 的图象在点 1 g 1 处的切线平行于x轴得 g 1 1 2a b 0 所以b 2a 1 2 由 1 得 g x 因为函数g x 的定义域为 0 所以当a 0时 g x 由g x 0得0 x 1 由g x 1 即函数g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 当a 0时 令g x 0得x 1或x 若 由g x 0得x 1或0 x 由g x 0得 x1 即0 a0得x 或0 x 1
7、 由g x 0得1 x 即函数g x 在 0 1 上单调递增 在 上单调递减 若 1 即a 在 0 上恒有g x 0 即函数g x 在 0 上单调递增 综上可得 当a 0时 函数g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 当0 a 时 函数g x 在 上单调递增 在 上单调递减 在 1 上单调递增 考向二 利用导数确定函数的单调区间 典例2 1 函数y x2 ln x的单调递减区间为 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 解析 选B y x2 ln x y x x 0 令y 0 得0 x 1 所以递减区间为 0 1 2 2016 北京高考 设函数f x xea x bx 曲线y f
8、x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 世纪金榜导学号12560066 求a b的值 求f x 的单调区间 解析 f x ea x xea x b 由切线方程可得 解得a 2 b e f x xe2 x ex f x 1 x e2 x e 令g x 1 x e2 x 则g x e2 x 1 x e2 x e2 x x 2 令g x 0得x 2 当x 2时 g x 2时 g x 0 g x 单调递增 所以x 2时 g x 取得极小值 1 也是最小值 所以f x g x e e 1 0 所以f x 的增区间为 无减区间 技法点拨 利用导数求函数单调区间的方法 1 当导函数不等式可解
9、时 解不等式f x 0或f x 0求出单调区间 2 当方程f x 0可解时 解出方程的实根 按实根把函数的定义域划分区间 确定各区间 f x 的符号 从而确定单调区间 3 若导函数的方程 不等式都不可解 根据f x 结构特征 利用图象与性质确定f x 的符 号 从而确定单调区间 提醒 所求函数的单调区间不止一个 这些区间之间不能用并集 及 或 连接 只能用 和 字隔开 同源异考 金榜原创 1 若幂函数f x 的图象过点 则函数g x exf x 的单调递减区间为 A 0 B 2 C 2 1 D 2 0 解析 选D 设幂函数f x x 因为图象过点 所以 2 所以f x x2 故g x exx2
10、 令 g x exx2 2exx ex x2 2x 0 得 2 x 0 故函数g x 的单调递减区间为 2 0 2 已知函数f x 其中a R 且曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线y x 世纪金榜导学号12560067 1 求a的值 2 求函数f x 的单调区间 解析 1 对f x 求导得f x 由f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线y x 知f 1 a 2 解得a 2 由 1 知f x 则f x 令f x 0 解得x 1或x 5 因x 1不在f x 的定义域 0 内 故舍去 当x 0 5 时 f x 0 故 f x 在 5 内单调递增 考向三 利用导数及函数的单调性
11、 比较大小或求参数的取值范围 典例3 已知函数f x x3 ax 1 世纪金榜导学号12560068 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 在R上为增函数 求实数a的取值范围 解析 1 f x 3x2 a 当a 0时 f x 0 所以f x 在 上为增函数 当a 0时 令3x2 a 0得x 当x 或x0 当 x 时 f x 0时 f x 在 上单调递增 在 上单调递减 2 因为f x 在 上是增函数 所以f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x R恒成立 因为3x2 0 所以只需a 0 又因为a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在R上是增函数 所以a 0 即实数a的取值
12、范 围为 0 一题多变 1 函数f x 不变 若f x 在区间 1 上单调递增 求a的取值范围 解析 因为f x 3x2 a 且f x 在区间 1 上单调递增 所以f x 0在 1 上恒成立 即3x2 a 0在 1 上恒成立 所以a 3x2在 1 上恒成立 所 以a 3 即a的取值范围为 3 2 函数f x 不变 若f x 在区间 1 1 上单调递减 试求a的取值范围 解析 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2在 1 1 上恒成立 因为 1 x 1 所以3x2 3 所以a 3 即当a的取值范围为 3 时 f x 在 1 1 上单调递减 3 函数f x 不变 若f x 在区
13、间 0 1 上不单调 求a的 取值范围 解析 因为f x x3 ax 1 所以f x 3x2 a 由 f x 0 得x a 0 因为f x 在区间 0 1 上不单调 所以0 1 得0 a0 或f x 0 即f x 在R上单调递增 若a 0 ex a 0 所以ex a x ln a 因此当a 0时 f x 的单调增区间为R 当a 0时 f x 的单调增区间是 ln a 2 因为f x ex a 0在 2 3 上恒成立 所以a ex在x 2 3 上恒成立 又因为 2 x 3 所以e 2 ex e3 只需a e3 当a e3时 f x ex e3在x 2 3 上 f x 0 求函数f x 的单调区间
14、 3 设函数g x f x 2x 且g x 在区间 2 1 内存在单调递减区间 求实数a的取值范围 解析 1 f x x2 ax b 由题意得 2 由 1 得 f x x2 ax x x a a 0 当x 0 时 f x 0 当x 0 a 时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 0 a 3 g x x2 ax 2 依题意 存在x 2 1 使不等式g x x2 ax 2 0成立 即x 2 1 时 a 当且仅当x 即x 时 等号成立 所以满足要求的a的取值范围是 2 核心素养系列 十四 逻辑推理 分类与整合思想研究函数的单调性 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨
15、论 常见有以下几种可能 方程f x 0 是否有根 若f x 0有根 求出根后是否在定义域内 若根在定义域内且有两个 比 较根的大小是常见的分类方法 典例 2016 全国卷 已知函数f x x 2 ex a x 1 2 讨论f x 的单调性 解析 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 1 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 2 设a 则ln 2a 0 当x ln 2a 1 时 f x 0 所以f x 在 ln 2a 和 1 上单调递增 在 ln 2a 1 上单调递减 若a1 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 所以f x 在 1 和 ln 2a 上单调递增 在 1 ln 2a 上单调递减
