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1、随机过程 课程设计（论文）题 目:平稳时间序列AR(p)模型的计算 学 院： 理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学09-1班 学 生 姓 名： 楚莹莹 学 生 学 号： 2009026228 指 导 教 师： 蔡吉花 2011 年 12 月 22 日目 录任 务 书I摘 要II第1章 绪论1第2章 基本理论12.1AR(p)型的定义与性质12.2 自相关与偏相关函数22.3 各类线性模型的性质32.4 模型的阶数32.5 AR(p)模型的参数估计3第3章 问题描述及分析计算43.1 问题提出43.2 问题分析4第4章 程序内容及说明54.1 对数据进行零均值化54.2 相关函数及偏
2、相关函数的计算64.3模型的判断94.4计算模型参数94.5模型的方差及确立9第5章 结论和展望10 随机过程 课程设计任务书姓名楚莹莹 学号2009026228指导教师蔡吉花设计题目 平稳时间序列的AR(p)模型的计算理论要点 运用数理统计的方法，分析自相关函数与偏相关函数等平稳时间序列的统计规律，构造拟合它的最佳线性模型，利用模型预报时间序列的未来取值，或用来进行分析和控制。设计目标 给出平稳时间序列，通过对数据的处理与分析计算，能判断出它属于那种模型。由参数估计构造最佳线性模型，该模型具有预报功能，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并能动地控制其发展，为人类和社会进步服务。研究
3、方法步骤1 对程序进行零均值化。2 计算新数据的自相关函数及偏相关函数系数。3判定其符合的平稳时间序列模型。4求出模型的参数。预期结果 通过对已知数据的处理，求出其自相关和偏相关函数，并画出二者的将数据代入模型中，对未来值进行预测；运用Matlab编程，输入原有数据后，可根据所给数值得出其符合模型，根据模型及数据的迭代计算其预测值。计划与进步的安排课程安排一周，分四次完成：第一次（1-2天）：搜查有关的资料，确定设计方法。第二次（3-4天）：写论文的前言、摘要、以及基本原理部分。第三次(4-6天)：写论文的问题分析以及程序和其说明部分。第四次（7天）：完成实验报告及最后的审核、打印等。参考资料
4、1何书元.应用时间序列分析.北京大学出版社.20032刘次华.随机过程及其应用.高等教育出版社.20043刘次华.随机过程.华中科技大学出版社.20084林建华.MATLAB基础及数学软件.大连理工大学出版社.2003填写时间 2011年12月22日 摘 要平稳时间序列，在自然科学、工程技术及社会、经济学的建模分析中起着非常重要作用.平稳时间序列的AR(p)模型的主要分析方法是：通过分析平稳时间序列的统计规律，构造拟合它的最佳线性模型，利用模型预报时间序列的未来取值，或用来进行分析和控制.但实际应用都依赖于数理统计方法。如果要用平稳时间序列方法分析的话，首先要判断的是随机过程是否是平稳过程，这
5、就需要用假设检验的方法作出判断，这些工作是不可缺少的，它们是正确应用随机过程方法的前提。本篇论文就是基于这一前提介绍平稳时间序列的时域统计分析，利用观测或试验所得到的一串动态数据之间相互依赖所包含的信息，用概率统计方法定量地建立一个合适的数学模型，并根据这个模型相应序列所反映的过程或系统作出预报或控制。通过对已知数据的分析，承认观察值之间的依赖关系或相关性，得出平稳时间序列数据的模型。关键字：模型，平稳过程，概率统计方法 平稳时间序列的AR(p)模型的计算 第1章 绪 论 时间序列分析起源于预测，特别是市场经济的预测。这也就是说，时间序列分析本来的目的是为了预测。但是，随着对时间序列分析的理论
6、与应用这两方面的深入研究，时间序列分析应用的范围日益扩大。 目前，它涉及天文、地理、生物、物理、化学等自然科学领域，图像识别、语音通讯、声纳技术、遥感技术、核工程、环境工程、医学工程、海洋工程、冶金工程、机械工程等工程技术领域，国民经济、市场经济、生产管理、人口等社会经济领域，并已取得不少重大的成就。时间序列应用及其研究有着广阔的前途特别是再同其他学科相互交叉、相互渗透、相互结合、开拓新路方面，例如，同控制理论、灰色系统理论、人工智能等相结合，更值得注意。 时间序列是指按时间先后顺序排列的随机序列，或者说是定义在概率空间上的一串有序随机变量集合简记；它的每一个样本（现实）序列，是指时间先后顺序
7、对，所反映的具体随机现象或系统进行观测或试验所得到的一串动态数据。所谓时间序列分析，就是根据有序随机变量或者观测得到的有序数据之间相互依赖所包含的信息，建立一个合适的数学模型，并根据这个模型对相应序列反应的过程或系统作出预报或进行控制。本篇论文主要介绍AR(p)模型。 第2章 基本理论2.1 AR(p)模型的定义与性质设是零均值的实平稳时间序列，阶数为的自回归模型定义为其中 是白噪声，常数p叫作阶数，常数p叫做阶数，常数系数 叫做参数，且 称（1）式为p阶自回归模型。简记为AR(p)。2.2 自相关与偏相关函数一、平稳时间序列的自相关函数时间序列为平稳时间序列 有1、 自协方差函数： 2、自相
8、关函数为： 3、自协方差函数与自相关函数性质：二、偏相关函数零均值序列：中取出k+1个量记采用最小二乘法确定系数使均方偏差达到最小 采用求极值的方法，两边对偏导，令其为零，并化简得： = 称为尤尔-瓦尔克方程。从中解出，即为偏相关函数。 2.3 各类线性模型的性质 模型 拖尾 截尾在 k=p 处 拖尾 截尾在k=p 处 拖尾 拖尾2.4 模型的阶数 对于具有AR(P)模型的平稳序列，当n很大时样本偏相关函数（kp）近似服从正态分布：N（0，1/n）。 由于截尾指： 当kp时，而并不为0.由于，即由定理得到一般认为当kp时，平均20个中至多有一个使，就可以认为结尾在k=p处。2.5 AR(p)模
9、型的参数估计估计参数,由尤尔-瓦克尔方程 =，解得 设是零均值的实平稳时间序列， AR(p)模型：p,1,2,p,。p在确定其阶数时已经确定了，所以此时只要确定1,2,p,，利用yule-walker方程，利用Toeplitz矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数因为计算量是很大的，可以采用递推公式计算，计算量要小一些。在计算样本偏相关函数时，同时也计算了自回归模型的参数值，因此AR(p)模型的参数值不必作专门的计算，只要在样本偏相关函数计算的记录中取出样本参数值即可。此时1,2,p,都已经确定了，那如何确定。事实上，经过推理我们可以得到：0jj因而，只需用相应的样本计算值带入上式即可得出
10、。此时， AR(p)模型的参数估计完成。 第3章 问题描述及分析计算3.1 问题提出 某商场在每天的同一时间连续统计了59天的客流量数据（人）如下：1660 996 1140 1160 1180 1088 1085 1190 981 1096 1320 851 964 738 781 982 1540 844 824 743 1200 834 1026 629 1013 848 798 1065 826 975 1090 831 1004 831 985 884 1170 719 1061 858 1099 715 925 703 998 718 1063 1049 334 1210 609
11、1190 749 1360 764 843 776 1100 1030，求出这组数据的自相关函数和偏相关函数,画图判别平稳时间序列符合AR(p)模型,并进行参数估计。3.2问题分析 首先对程序进行零均值化，将原数据在不改变其自相关函数系数及偏相关函数系数的前提下，化成便于计算的新数据。在计算新数据的自相关函数及偏相关函数系数，并根据所给数据对该数据允许的误差范围进行判定，确定其符合的时间序列模型，求出模型中的参数。 第4章 程序内容及其说明4.1 对数据进行零均值化z=1660,996,1140,1160,1180,1088,1085,1190,981,1096,1320,851,964,73
12、8,781,982,1540,844,824,743,1200,834,1026 ,629 ,1013,848,798,1065,826,975,1090,831,1004,831,985,884,1170,719,1061,858,1099,715,925,703,998,718,1063,1049,334,1210,609,1190,749,1360,764,843,776,1100,1030; m=mean(z)m = 966.8421for k=1:59X(k)=z(k)-m; %z的标准化endXX =Columns 1 through 12 693.1356 29.1356 173.1356 193.1356 213.1356 121.1356 118.1356 223.1356 14.1356 129.1356 353.1356 -115.8644Columns 13 through 24 -2.8644 -228.8644 -185.8644 15.1356 573.1356 -122.8644 -142.8644 -223.8644 233.1356 -132.8644 59.1356 -337.8644 Columns 25 through 36 46.1356 -118.8644 -168.8644 98.1356 -140.864
