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1、数学题根（1） 评十年高考 看一个题根(2009年版) 以阿波罗圆为例问题有根吗？回答是肯定的.我们来用考题研究题根，最便于调动人的积极性，最容易展开话题讨论.因为考题能把题根的科学性与题根的功利性最紧密地结合起来.用考题研究题根，请弄明白三种关系：（1）题目与题根的关系；（2）考题与考根的关系；（3）题根与考根的关系.那么，什么是题根？我们先看高考中的题根例子（一） 考题全新 课本藏根【考题】 满足条件的ABC的面积的最大值是 【说明】这是2008年江苏卷第13题. 想当年，50万江苏考生为此题拼搏，有的胜了，有的败了；有的说繁，有的说简；有的稿纸遍地，有的一望而答！ 然而在考场内外，对此题
2、的评价一致，齐声说好：设计新颖，不落俗套！ 【点评】本题好在哪里？如实地说，本题的“新意”只是在形式上，就其考查的知识内容而言，却不是一般的“陈旧”！从题根上看，这个题目已经考了十年，只是有些人不认识它罢了。以下，我们按“考题寻根”的思路，对本题的题根进行搜索【思路1】 向三角形面积公式寻根【考题】满足条件的ABC的面积的最大值是 A B x DyC 【解法1】 设 BC =x，则，作CDAB于D，设 DB= y，则：，所以 所以所以显然当x 2 = 12，即时，三角形面积有最大值【点评】 一道5分的填空题，寻得一个“无理函数”，值得吗？【思路2】 向正弦面积公式寻根x C B A 【解法2】
3、 ABC的面积，设BC = x，得.在ABC 中得，又所以，则当时的最大值为.【点评】 殊途同归，寻得同一个“无理函数”！巧合吗？【思路3】向三边面积公式寻根x C B A 【解法3】设BC = x，得，由海伦公式（其中），得当时，的最大值为【分析】为何还是寻得同一个“无理函数”？因为你设了同一个自变量 BC = x ， 故寻得同一个函数！其结果与三种不同的“思路”（中间过程）无关！【思路4】 从函数式转向轨迹方程【解法4】建立如图的坐标系，设C(x，y)，A(-1,0)、B（1，0），由得.化得(x -3)2 + y2 = 8 (x0)，方程显示：C点的轨迹是为以（3，0）为圆心，以为半径的
4、圆. ABC 高的最大为 圆的半径.【点评】 转向方程，数形结合，运算量减少！题根何在？莫非就是这个圆？这是个什么圆？【寻根】我们寻根教材，结果找到此圆现行高中课本（必修）数学第二册（上）例题 ：已知一曲线是与两个定点O (0，0)、A（3，0）距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程.例题答案：动点的轨迹方程是(x + 1) 2 + y 2 = 4. （1）考题：满足条件AB = 2，的 ABC的面积的最大值是 答案：点 C 的轨迹方程是(x - 3)2 + y 2 = 8 （2）【研究】 方程（1）（2）中的圆兄圆弟，你们是否出自一家？追根：更换例题中的距离之比和线段长，则由例题的轨迹方程（1
5、）变得考题轨迹方程.（2）.原来，它们只是换了两个数据！请问（1）（2）：兄弟贵姓？ 答曰：阿波罗！（二） 阿波罗圆 全族集合【有请】 有请阿波罗，全族集合！轨迹问题；动点 P(x、y) 到定点F1(-c，0)、F2(c，0)的距离之比为.（c，为正数） 求 P (x、y) 的轨迹方程 .【探求】依题意，由距离公式得化简后【讨论】方程的图形是什么？（1）=1时，得 x = 0 , 即阿波罗直线；（2）1时，可以判定方程的轨迹是圆：阿波罗圆.【欣赏】 阿波罗轨迹的和谐美阿波罗圆； 动点 P 到两定点F 1、F 2 距离之比为定值（c，为正数）. 则动点 P 的轨迹是阿波罗圆（线）.圆锥曲线； 动
6、点 P 到定点F与定直线 L 的距离之比为定值. 则动点 P 的轨迹是二次曲线线.阿波罗圆（线）有四美：（1）直线与圆的统一美；（3）两族曲线的对应美；（2）量变质变的运动美；（4）解几图形的完整美.【初试】 阿波罗圆实现“小题小作”. 江苏第13题本是一道填空小题：满足条件AB = 2，的 ABC的面积的最大值是 大作不值：5分的填空题，搬动无理函数 ：中作尚可：5分的填空题，搬动轨迹方程：(x - 3) 2 + y 2 = 8小作恰当； 阿波罗圆的圆心在直线 AB 上， 拿线段 AB 的内、外分点的连线段为直径 .因此，阿波罗圆的问题可以从平面退到轴上解决！【简解】 阿波罗圆的轴上解决动点
7、C 到定点A ( - 1，0 ) 和B（1，0）距离之比为 则有 得为内分点，为外分点.圆半径为，即为三角形高的最大值.ABC 高的最大值是.【说明】阿波罗圆的“轴上解决”，可以实现2008年江苏卷第13题.的“一望而答”！【赞歌】 题根不只看外观，由表及里到内涵，此题出得内外好，题是三角根是圆。（三） 十年离散 一朝相聚【寻亲】阿波罗圆 “全族同根” , 以下是阿波罗圆的“考场寻亲”! 看十年考场，何等兴旺！寻亲1： 设 A( -3，0)，B ( 3，0) 为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离为定比12，则P点的轨迹图形所围得的面积是（ ）. （1999年全国卷）寻根1 ：对照课本例题
8、，定比1 2未变，但两定点间的距离由3变成了6.寻亲2：已知两定点 A (-2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足| PA | =2| P B|，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ）（2006年四川卷）A. B.4 C.8 D.9 寻根2 ：定比12变成2，但两定点间的距离变.寻亲3： 设 A ( -c，0)，B ( c，0) ( c0 )为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a (a 0)，求P点的轨迹方程及图形. （2003年北京卷）寻根3 ： 定比与定距已经一般化，图形要讨论.略解 (1-a 2 ) x2 + (1-a 2 ) y 2 + 2c (1 + a 2 ) x
9、+ (1 -a 2) c 2 = 0（1）当 a =1时，得 x = 0.图形是直线.（2）当 a1时，方程化为轨迹图形是以为圆心，以为半径的圆.寻亲4： 阿波罗伸向圆的切割线如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2 = 4，过动点P分别作圆O1、O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得. 试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.寻根4：两定点用两定圆替换，距离之比用切线长之比替换.略解 即 (x -6)2 + y2 = 33轨迹是以（6，0）为圆心，以为半径的圆.点评 至此，阿波罗圆与圆幂问题链接.寻亲5： 阿波罗圆伸向角的平分线 ABC中，角C的平分线交 AB于点 T， 且 AT
10、= 2， TB = 1. 若AB上的高线长为2， 求 ABC的周长. 寻根5 定比 21，定距为3.略解 按角分线的性质 有C AC B = ATT B = 21，点C 的轨迹是直径为4的圆. 圆的半径 2 为三角形的高线.（再勾股定理求C A 、C B的长度)点评 至此，阿波罗圆与角的平分线（内、外）链接.寻亲6：C 阿波罗圆伸向定比分点 已知定点 B (3，0)，点 A 在圆 x2 +y2 =1 上运动，AOB的平分线交 AB于点 M，则点 M 的轨迹方程是 .略解 BMMA = OBOA = 31，设 M (x，y)，解得A点的坐标：代入x 2 + y 2 =1，这就是点 M 的轨迹方程.点评 与定比分点链接，完成了阿波罗圆“身与魂的合一”.图示 AB定长，CA、CB定比, 顶C的轨迹是阿波罗圆.2D134ATBC 作C的内外角平分线CT、CD.线段TD是阿波罗圆的直径.
