《六年级下册数学讲义思维拓展训练：第一讲构造论证二全国通用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六年级下册数学讲义思维拓展训练：第一讲构造论证二全国通用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、构造论证二课 本11 构造论证二大胆构想，严谨思维例题 2（1）能否将 1 至 15 排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？（2）能否将 1 至 15 排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？分析（1）对于 115 的数来说，能凑成平方数的情况并不多我们可以从这里入手分析同学们尝试一下看能不能得到一种合适的方案2在现实生活中，我们经常需要自己设计一些方案来解决问题，设计方案的过程就是 构造但仅仅构造出一种方案是不行的，我们还要对方案的可行性进行分析，严格的讨 论方案的正确与否，有的时候还需考虑方案是否最优，这个过程就是论证构造与论证 经常是合在一起的，没有构造出方案，也就无从论证，但仅仅构
2、造出方案也是不行的， 我们还需要证明方案是正确的很多时候，构造论证问题都和最值问题结合在一起，这时我们就需要找到最优解例题 1平面上有 5 个点，他们之间可以连 10 条线段请问：至少要去掉多少条线段，才能使其中没有以这 5 个点为顶点的三角形？分析 要破坏一个三角形，只需去掉三角形的一条边就可以了，但要求我们去掉的线段最少，那么我们就应该更多地去掉多个三角形的公共边，那么去掉多少个边才行呢？练习 1. 如图3 3 的表格中，最少去掉多少条线段，才能使图中没有正方形？很多问题中，不仅需要构造出方案，还需要讨论方案是否正确，有的时候还需要论证方案是否存在下面我们来看这样的一道问题（2）注意到除了
3、 2 以外，质数只能是奇数，那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢？练习 2. 能否将 1 至 12 重新排列，使得任意相邻两数的和都是质数？如果能请写出一组， 如果不能请说明理由例题 3一本故事书有 10 篇故事，这些故事占的篇幅从 1 页到 10页各不相同如果从书的第 1 页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？构造论证的问题中，经常会用到很多其他的知识，例如数论的分析、抽屉原理、奇偶性分析等分析 我们从第一页开始考虑如果第二篇故事是奇数页开头的，那么第一篇故事一定是偶数页的，如果第三篇故事是奇数页开头的，那么前两篇的和一定是偶数页的，
4、而故事最多有几篇是奇数页开头的，就需要考虑前面几篇的和， 最多有多少个是偶数练习 3. 一个数列有7 项，每相邻两项作差，发现所得的6 个差里面有3 个是1，3 个是2问：这个数列中最多有几个奇数，最少有几个奇数？构造与论证中有一类操作问题，需要我们对已有的对象进行操作和变化，以期得到 需要的结果，在解决这类问题的时候，一定要考虑问题是否可行，不要上来就开始操作 而在分析问题的可行性时，不变量经常是解决问题的关键3例题 4黑板上写着 8、18、28 这三个数，现在老师请一些同学上黑板对这三个数进行操作，进行一次操作是指把三个数都进行如下变化：或者减 1，或者加 2请问：能否经过若干次操作后得到
5、 6、7、8 ？能否经过若干次操作后得到 8、8、8 ？分析 首先，同学们可以尝试着变化一下，看看能不能得到想要的结果，但在变化的过程中，能发现三个数有什么是没有变化的吗？怎么能说明是否能得到8、8、8 呢？练习 4. 黑板上写着 9、18、27 这三个数，老师现在请一些同学上黑板对这两个数进行操作，进行一次操作是指把两个数都进行如下变化：或者减 2，或者加 1请问：能否经过若干次操作后得到 11、12、13 ？能否经过若干次操作后得到 8、8、8 ？下面我们来看一下构造与论证中常用的方法染色法我们举个例子来说明： 在一个 5 5 的方格表（图 1）中放入 25 枚棋子，每格 1 枚；接着将所
6、有棋子都移动到相邻方格中，且仍然每格 1 枚，能否办到？答案是不能如果用一般的方法来说明将会变得非常复杂，但如果我们将方格阵按照如图 2 的方式染色，那么将所有棋子都放入到相邻的位置中，一定是黑格的棋子进白格，白格的棋子进黑格，但是共有 13 个黑格， 只有 12 个白格，黑格的棋子不可能全部转移，所以我们的要求是达不到的 1 2通过例子，同学们对于染色法有了初步的了解但在实际的问题中，我们要根据题目的要求采用不同的染色方式，同学们一定要在做题的过程中积累不同的染色方法，这样才能做到有备无患例题 5（1）能否用 16 个如图 1 所示的“T 型”拼成一个8 8 的棋盘？（2）能否用 8 个如图
7、 2 所示的“L 型”和 8 个如图 1 所示的“T 型”拼成一个8 8 的棋盘？（3）能否用 1 个如图 1 所示的“T 型”和 15 个如图 2 所示的“L 型”拼成一个8 8 的棋盘？ 1 2分析 碰到这样的问题，我们首先要考虑的是能不能填出，而不是一上来就去试， 这时就需要我们进行染色分析了同学们可以先尝试一下黑白相间染色，论述一下是否成立？如果成立，那就需要找到一种合适的拼法练习 思考题 （1）能否用 9 个1 4 的长方形拼成一个6 6 的棋盘？（2）能否用 9 个如图 1 所示的“L 型”拼成一个6 6 的棋盘？图 155. （1）能否用 12 个如图 1 所示的“T 型”拼成一
8、个 6 8 的长方形？（2）能否用 12 个如图 2 所示的“L 型”拼成一个6 8 的长方形？（3）能否用 8 个如图 1 所示的“T 型”和 4 个如图 2 所示的“L 型” 拼成一个6 8 的长方形？ 1 2本 讲 知 识 点 汇 总一、构造合理的方案 二、奇偶性的分析方法 三、操作中的不变性 四、经典的染色问题作 业1. 如图，平面上有 9 个点，他们之间连着 16 条线段，从而围出了8 个三角形请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这 9 个点为顶点的三角形？2. 能否将 115 排成一行，使得任意相邻两数之差都为质数？第 1 题3. （1）能否将 1 7 这 7 个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不大于12 ？（2）能否将 1 7 这 7 个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不大于 12 ？4. 黑板上写着两个数 9、99，现在老师请一些同学上黑板对这两个数进行操作是指把两个数都进行如下变化：或者减 1，或者加 3请问：能否经过若干次操作后得到 11、22 ？能否经过若干次操作后得到 1、11 ？能否经过若干次操作后得到 2、22 ？5. （1） 能否用若干个图 2 的“L 型” /不重叠地拼出图 1 ？（2）能否用若干个图3 的“L 型”不重叠地拼出图 1 ？ 1 2 3第 5 题
