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1、1 神奇巧解高考数学选择题专题 前言 高考数学选择题 知识覆盖面宽 概括性强 小巧灵活 有一定深度与 综合性 而且分值大 能否迅速 准确地解答出来 成为全卷得分的关键 选择题的解答思路不外乎两条 一是直接法 即从题干出发 探求结果 这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能 这一般适用于题 号在前 1 6 的题目 二是间接法 即从选项出发 或者将题干与选项联合考察 而得到结果 因为选择题有备选项 又无须写出解答过程 因此存在一些特殊 的解答方法 可以快速准确地得到结果 这就是间接法 这类选择题通常用来 考核考生的思维品质 包括思维的广阔性和深刻性 独立性和批判性 逻辑 性和严谨性 灵
2、活性和敏捷性 以及创造性 同直接法相比 间接法所需要的 时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一 是节约解题时间的重要手段 然而 有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心 认为这样做 不 可靠 以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证 甚至有思 想不解放的 认为这样做 不道德 而不明白这其实正是高考命题者的真实 意图所在 高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要 手段 解选择题常见的方法包括数形结合 特值代验 逻辑排除 逐一验证 等 价转化 巧用定义 直觉判断 趋势判断 估计判断 退化判断 直接解答 现场操作 等等 考生应该有意识地积累一些经典题型 分门别类 经常
3、玩味 以提高自己在这方面的能力 下面主要就间接法分别举例说明之 并配备足够 的对应练习题 每题至少提供有一种解法 例题与题组 2 一 数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现 从而大大降低思 维难度 是解决数学问题的有力策略 这种方法使用得非常之多 例题 07 江苏 6 设函数 f x定义在实数集上 它的图象关于直线1x 对称 且当1x 时 31 x f x 则有 A 132 323 fff B 231 323 fff C 213 332 fff D 321 233 fff 解析 当1x 时 31 x f x f x的 图象关于直线1x 对称 则图象如图所示 这个图象是个示意
4、图 事实上 就算画出 1 f xx 的图象代替它也可以 由图知 符合要求的选项是 B 练习 1 若 P 2 1 为圆 22 1 25xy 的弦 AB 的中点 则直线 AB 的方程是 A 30 xy B 230 xy C 10 xy D 250 xy 提示 画出圆和过点 P 的直线 再看四条直线的斜率 即可知选 A 练习 2 07 辽宁 已知变量x y满足约束条件 20 1 70 xy x xy 则 y x 的 取值范围是 A 9 6 5 B 9 6 5 C 36 D 3 6 提示 把 y x 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率 不难求得答案 选 A 3 练习 3 曲线 2 14 2 2 yx
5、x 与直线 2 4yk x 有两个公共点时 k的取值范围是 A 5 0 12 B 1 1 4 3 C 5 12 D 53 12 4 提示 事实上不难看出 曲线方程 2 14 2 2 yxx 的图象为 22 1 4 22 13 xyxy 表示以 1 0 为圆心 2 为半径的上半圆 如图 直线 2 4yk x 过定点 2 4 那么斜率的范围就清楚了 选 D 练习 4 函数 1 xxy 在区间 A 上是增函数 则区间 A 是 A 0 B 2 1 0 C 0D 2 1 提示 作出该函数的图象如右 知应该选 B 练习 5 曲线1 3 2 yx 与直线mxy 2 有两个交点 则m的取值范围是 A 4 m或
6、4 mB 44 m C 3 m或3 mD 33 m 提示 作出曲线的图象如右 因为直线 mxy 2与其有两个交点 则4 m或4 m 选 A 4 练习 6 06 湖南理 8 设函数 1 xa f x x 集合 0Mx f x 0Px fx 若MP 则实数a的取值范围是 A 1 B 0 1 C 1 D 1 提示 数形结合 先画出 f x的图象 1 11 1 111 xaxaa f x xxx 当 1a 时 图象如左 当1a 时图象如右 由图象知 当1a 时函数 f x在 1 上递增 0fx 同时 0f x 的 解集为 1 的真子集 选 C 练习 7 06 湖南理 10 若圆 22 44100 xy
7、xy 上至少有三个不同的点 到直线 0l axby 的距离为2 2 则直线l的倾斜角 的取值范围是 A 12 4 B 5 12 12 C 6 3 D 0 2 提示 数形结合 先画出圆的图形 圆方程化为 222 2 2 3 2 xy 由题意知 圆心到直线 的距离d应该满足02d 在已知圆中画一个半 径为2的同心圆 则过原点的直线 0l axby 与小圆有公共点 选 B 练习 8 07 浙江文 10 若非零向量 a a b b 满足 a ba b b b 则 5 A 2b b a a 2b b B 2b b a a 2b b C 2a a 2a ba b D 2a a 2a b2a b 提示 关键
8、是要画出向量 a a b b 的关系图 为此 先把条件进行等价转换 a ba b b b a ba b 2 2 b b 2 2 a a 2 2 b b 2 2 2a a b b b b 2 2 a a a a 2b b 0 a a a a 2b b 又 a a a 2ba 2b 2b b 所以 a a a a 2b b 2b b 为边长构成直角三角形 2b b 为斜边 如上图 2b b a a 2b b 选 A 另外也可以这样解 先构造等腰 OAB 使 OB AB 再构造 R OAC 如下图 因为 OC AC 所以选 A 练习 9 方程 cosx lgx 的实根的个数是 A 1B 2C 3D
9、4 提示 在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象 如图 由两个函数图象的交点的个数为 3 知应选 C 6 练习 10 06 江苏 7 若 A B C 为三个集合 ABBC 则一定有 A AC B CA C AC D A 提示 若ABC 则 ABA BCBA 成立 排除 C D 选项 作出 Venn 图 可知 A 成立 练习 11 07 天津理 7 在 R 上定义的函数 f x是偶函数 且 2 f xfx 若 f x在区间 1 2 上是减函数 则 f x A 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是增函数 B 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是减函数 C
10、在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是增函数 D 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是减函数 提示 数形结合法 f x是抽象函数 因此画出其简单图象即可得出结 论 如下左图知选 B 练习 12 07 山东文 11 改编 方程 32 1 2 x x 的解 0 x的取值区间是 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 提示 数形结合 在同一坐标系中作出函数 32 1 2 x yxy 的图象 则立 刻知选 B 如上右图 7 二 特值代验 包括选取符合题意的特殊数值 特殊位置和特殊图形 代入或者比照选项 来确定答案 这种方法叫做特值代验法 是一种使用频率很高的方法 例题 9
11、3 年全国高考 在各项均为正数的等比数列 n a中 若 56 9a a 则 3132310 logloglogaaa A 12B 10C 8D 3 2log 5 解析 思路一 小题大做 由条件有 4529 56111 9 a aa q a qa q 从而 101 2929 510 1231011 3a a aaaqa q 所以原式 10 312103 log log 310a aa 选 B 思 路 二 小 题 小 做 由 564738291 10 9a aa aa aa aa a 知 原 式 510 3563 log log 33a a 选 B 思路三 小题巧做 因为答案唯一 故取一个满足条件
12、的特殊数列 56 3 1aaq 即可 选 B 练习 1 07 江西文 8 若0 2 x 则下列命题中正确的是 A 2 sin xx B 2 sin xx C 3 sin xx D 3 sin xx 提示 取 6 3 x 验证即可 选 B 练习 2 06 北京理 7 设 4710310 22222 n f nnN 则 f n A 2 81 7 n B 1 2 81 7 n C 3 2 81 7 n D 4 2 1 7 n n 提示 思路一 f n 是以 2 为首项 8 为公比的等比数列的前4n 项 的和 8 所以 4 4 2 1 8 2 1 1 87 n n f nn 选 D 这属于直接法 思路
13、 2 令0n 则 3 4 47104 2 1 2 2 0 2222 81 1 27 f 对照选项 只有 D 成立 练习 3 06 全国 1 理 9 设平面向量 a a1 1 a a2 2 a a3 3的和 a a1 1 a a2 2 a a3 3 0 如果 平面向量 b b1 1 b b2 2 b b3 3满足 b bi i 2 2 a ai i 且 a ai i顺时针旋转30 以后与 b bi i同向 其中 i 1 2 3 则 A b b1 1 b b2 2 b b3 3 0B b b1 1 b b2 2 b b3 3 0C b b1 1 b b2 2 b b3 3 0D b b1 1 b
14、b2 2 b b3 3 0 提示 因为 a a1 1 a a2 2 a a3 3 0 所以 a a1 1 a a2 2 a a3 3构成封闭三角形 不妨设其为正 三角形 则 b bi i实际上是将三角形顺时针旋转30 后再将其各边延长 2 倍 仍为 封闭三角形 故选 D 练习 4 若 0 1 x f xaaa 1 2 0 f 则 1 1 fx 的图象是 A B C D 提示 抓住特殊点 2 1 2 0f 所以对数函数 1 fx 是减函数 图象往 左移动一个单位得 1 1 fx 必过原点 选 A 练习 5 若函数 1 yf x 是偶函数 则 2 yfx 的对称轴是 A 0 x B 1x C 1
15、2 x D 2x 提示 因为若函数 1 yf x 是偶函数 作一个特殊函数 2 1 yx 则 9 2 yfx 变为 2 21 yx 即知 2 yfx 的对称轴是 1 2 x 选 C 练习 6 已知数列 an 的通项公式为 an 2 n 1 其前 n 和为 S n 那么 Cn 1S 1 Cn 2S 2 Cn nS n A 2 n 3n B 3 n 2 n C 5 n 2 n D 3 n 4 n 提示 愚蠢的解法是 先根据通项公式 an 2 n 1 求得和的公式 Sn 再代 入式子 Cn 1S 1 Cn 2S 2 Cn nS n 再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解 有些 书上就是这么做的 其实这
16、既然是小题 就应该按照小题的解思路来求做 令 n 2 代入式子 再对照选项 选 B 练习 7 06 辽宁理 10 直线2yk 与曲线 2222 918k xykx 1kR k 的公共点的个数是 A 1B 2C 3D 4 提示 取1k 原方程变为 2 2 1 1 9 y x 这是两个椭圆 与直线2y 有 4 个公共点 选 D 练习 8 如图左 若 D E F 分别是 三棱锥 S ABC 的侧棱 SA SB SC 上的点 且 SD DA SE EB CF FS 2 1 那么平 面 DEF 截三棱锥 S ABC 所得的上下两部分 的体积之比为 A 4 31B 6 23 C 4 23D 2 25 提示 特殊化处理 不妨设三棱锥 S ABC 是棱长为 3 的正三棱锥 K 是 FC 的中点 12 V V 12 V V分别表示上下两部分的体积 10 则 2 2228 33327 S DEFS DEF SABCSABC VSh VSh 1 2 844 278423 V V 选 C 练习 9 ABC 的外接圆的圆心为 O 两条边上的高的交点为 H OHm OAOBOC 则m的取值是 A 1B 1C 2D
