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1、同步：辅助角公式及其应用 () 教学目标正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具，了解正弦定理的证明，并能熟练运用正弦定理，解决斜三角形中的相关问题.导入 “工人师傅的一个三角形的零件坏了，只剩下如下图所示的部分，A=47,B=53,AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少无法截料，你能帮师傅这个忙吗？知识梳理 1.正弦定理： （为外接圆半径）2.证明方法：证明一：（等积法）在任意斜ABC当中，SABC=. 两边同除以即得：=.证明二：（外接圆法）如图所示，AD，同理 =2R，2R.,则. 同理，从而.3.公式的变形：4.利用正弦定理解三角形时,经
2、常用到:5.正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如.典例精讲 例1（）已知ABC中， ,且,试判断三角形的形状.解：法一：（边化角），由正弦定理，可得而，由正弦定理，可得从而ABC为等腰直角三角形.法二：（角化边），由正弦定理，可得而，由正弦定理，可得从而ABC为等腰直角三角形. 注：用正弦定理解三角形时，有两种思路可供选择，一是边化角，而是角化边.【巩固练习1】1.（）在ABC中，若a = 2b sin A，则B为( )A. B. C.或 D.或解：答案为D =， ， sin B =， B =，或p.注
3、：当看见等式两边有同次的边或角关系时，可直接把边化角或角化边.需要注意的是，解出，一定要检验此时A有几种可能性.2. （）在ABC中，a15，b10，A60，则 解：答案为；依题意得，从而，故0B60，由正弦定理得得，.注：已知两边和一角时，此时如果为“SSA”形式，要考虑到此时三角形有可能不唯一,抓住条件仔细分析，确定解的情况.本题中，由“大边对大角”的性质，排除了另一种情况存在的可能性.例2（）ABC中，若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C，则ABC 是( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形解：答案为B； sin(A + B)s
4、in(A - B)= sin2 C， sin C sin(A - B)= sin2 C. C(0，)， sin(A - B)= sin C = sin(A + B). sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B， cos A sin B = 0， A =， ABC为直角三角形.注：解三角形中常用到由产生的结论：.【巩固练习2】1. （）若ABC的三内角A，B，C满足 sin A = 2sinCcos B，则ABC为 三角形.解：答案为等腰. sin A = sin(B + C)= 2sin C cos B， sin B cos C
5、+ cos B sin C = 2 sin C cos B， B，C(0，p)， B = C，即为等腰三角形.2. （）已知在ABC中，求角A、B、C的大小。解：由 ，从而，由，即故例3（）已知ABC中，则的取值范围为 解：由正弦定理，可得当时，不妨设，则需满足当时，不妨设，而，此与矛盾.故的取值范围为【巩固练习3】1. （）在中，设命题:,命题：是等边三角形.那么命题是命题的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件解：答案为：C由正弦定理，可知 是等边三角形.2. （）中，BC3，则的周长为（ ）A BC D解：答案为D由正弦定理得：， 得bc
6、sin Bsin(B)故三角形的周长为：3bc.评注：由于本题是选择题也可取ABC为直角三角形时，即B，周长应为33，故排除(A)、(B)、(C)而选(D)3. （）在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：（1）的内角和，由得 由正弦定理，知，因为， 所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值注：解三角形过程中特别注意角度的范围问题.课堂检测 1. （）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，则角A的大小为_解：答案为；由sin得sin1，所以B.由正弦定理得，所以A，而，从而A2. （）已知ABC的内角A，B及其对边a，b满
7、足，求内角C.解：由及正弦定理得，即，从而.又0AB，故AB，AB，所以C.3. （）在ABC中，C30，求的最大值.解：C30，AB150，B150A.由正弦定理，得因此的最大值为4. （）设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知，所以由此有，所以，的取值范围为回顾总结 1.正弦定理： （为外接圆半径）三角形面积公式：拓展结论：（可让学生回去后试着证明）2.正弦定理解两种类型的三角问题： (1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；（唯一解）(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.（注意解的个数） 7
