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1、 1 理解取有限个值的离散型随机变量及其 分布列的概念 了解分布列对于刻画随机 现象的重要性 2 理解超几何分布及其导出过程 并能进 行简单的应用 1 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 常用 字母X Y 表示 所有取值可以 的随机变量称为离散型随机变量 随机变量 一一列出 2 离散型随机变量的分布列 一般地 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1 x2 xi xn X取每一个值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 则表 Xx1x2 xi xn P p1p2 pipn 称为离散型随机变量X的概率分布列 简称X的分布列 有 时为了表达简单 也用等式 表 示X的分布列 P
2、X xi pi i 1 2 n 3 离散型随机变量分布列的性质 1 2 pi 0 i 1 2 n pi 1 4 常见离散型随机变量的分布列 1 两点分布列 像 这样的分布列叫做两点分布列 X01 P 1 pp 如果随机变量X的分布列为两点分布列 就称X服从 分布 而称 为成功概率 两点 p P X 1 2 超几何分布列 一般地 在含有M件次品的N件产品中 任取n件 其中 恰有X件次品 则事件 X k 发生的概率为 P X k 其中m min M n 且n N M N n M N N 称 分布列 k 0 1 2 m X01 m P 为超几何分布列 如果随机变量X的分布列为超几何分布 列 则称随机
3、变量X服从超几何分布 1 下列4个表格中 可以作为离散型随机变量分布列的 一个是 A X012 P0 30 40 5 B X012 P0 3 0 10 8 C D X1234 P0 20 50 30 X012 P 答案 C 2 袋中有大小相同的6只钢球 分别标有1 2 3 4 5 6六个号 码 任意抽取2个球 设2个球号码之和为X 则X的所有 可能取值个数为 A 36 B 12 C 9 D 8 解析 X的所有可能取值为 3 4 5 6 7 8 9 10 11共9个 答案 C 3 已知随机变量X的分布列为P X i i 1 2 3 则P X 2 A B C D 解析 1 a 3 P X 2 答案
4、 C 4 已知随机变量 的分布列为 则x 01234 P0 10 20 3x0 1 解析 0 1 0 2 0 3 x 0 1 1 x 0 3 答案 0 3 5 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛 则所选3 人中女生人数不超过1人的概率是 解析 设所选女生人数为x 则x服从超几何分布 其中N 6 M 2 n 3 则 P x 1 P x 0 P x 1 答案 1 离散型随机变量的特征是能一一列出 且每一个值各代 表一个试验结果 所以研究随机变量时 关心的是随 机变量能取哪些值 包含了哪些试验结果 基本事件 2 离散型随机变量的分布列常用表格的形式表示 其结 构为两行 n 1列 第一行表示随
5、机变量的取值 第 二行对应于随机变量的概率 设离散型随机变量X的分布列为 X01234 P0 20 10 10 3m 求 1 2X 1的分布列 2 X 1 的分布列 思路点拨 课堂笔记 由分布列的性质知 0 2 0 1 0 1 0 3 m 1 m 0 3 首先列表为 X01234 2X 113579 X 1 10123 从而由上表得两个分布列为 1 2X 1的分布列 2X 113579 P0 20 10 10 30 3 2 X 1 的分布列 X 1 0123 P0 10 30 30 3 保持题目条件不变 求P 1 2X 1 9 解 P 1 2X 1 9 P 2X 1 3 P 2X 1 5 P
6、2X 1 7 0 1 0 1 0 3 0 5 求一随机变量的分布列 可按下面的步骤 1 明确随机变量的取值范围 2 求出每一个随机变量在某一范围内取值的概率 3 列成表格 特别警示 1 解决该类问题的关键是搞清离散型随机变 量 取每一个值时对应的随机事件 然后求出 取每一个值 的概率 2 列出分布列后 要注意应用分布列的性质检验所求的分 布列或概率是否正确 袋中装着标有数字1 2 3 4 5的小球各2个 从袋中 任取3个小球 按3个小球上最大数字的9倍计分 每个小 球被取出的可能性都相等 用X表示取出的3个小球上的最 大数字 求 1 取出的3个小球上的数字互不相同的概率 2 随机变量X的分布列
7、 3 计分介于20分到40分之间的概率 思路点拨 课堂笔记 1 法一 一次取出的3个小球上的数字互不 相同 的事件记为A 则P A 法二 一次取出的3个小球上的数字互不相同 的事件记为 A 一次取出的3个小球上有两个数字相同 的事件记为B 则事件A和事件B是对立事件 因为P B 所以P A 1 P B 1 2 由题意 X所有可能的取值为2 3 4 5 P X 2 P X 3 P X 4 P X 5 所以随机变量X的概率分布列为 X2345 P 3 一次取球所得计分介于20分到40分之间 记为事件C 则 P C P X 3或X 4 P X 3 P X 4 若将题目条件中的 最大数字 改为 最小数
8、字 试解 决上述问题 解 1 同例2解法 2 由题意 X所有可能的取值为1 2 3 4 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 所以随机变量X的分布列为 X1234 P 3 一次取球所得计分介于20分到40分之间 的事件记为C 则 P C P X 3或X 4 P X 3 P X 4 超几何分布是一种很重要的分布 其理论基础是古 典概型 主要运用于抽查产品 摸不同类别的小球等概 率模型 其中的随机变量相应是正品 或次品 的件数 某 种小球的个数 如果一随机变量 服从超几何分布 那么 事件 k 发生的概率为P k k 0 1 2 m m min M n 特别警示 超几何分布描述的是不放回抽
9、样问题 随机 变量为抽到的某类个体的个数 在一次购物抽奖活动中 假设某10张券中有一等 奖券1张 可获价值50元的商品 有二等奖券3张 每张可 获价值10元的奖品 其余6张没有奖 某顾客从此10张奖 券中任抽2张 求 1 该顾客中奖的概率 2 该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列 思路点拨 课堂笔记 1 该顾客中奖 说明是从有奖的4张奖券中抽 到了1张或2张 由于是等可能地抽取 所以该顾客中奖的 概率为 P 或用间接法 即P 1 1 2 依题意可知X的所有可能取值为0 10 20 50 60 元 且 P X 0 P X 10 P X 20 P X 50 P X 60 所以X的分布列为 X01
10、0205060 P 将题目中的条件 任抽2张 改为 任抽3张 求 1 该顾客 中奖的概率 2 若抽一张券需花费9元 那么 该顾客抽2张奖券还 是抽3张奖券合算 解 1 P 1 2 用Y表示该顾客抽3张奖券后获得奖品总价值 P Y 0 P Y 10 P Y 20 P Y 30 P Y 50 P Y 60 P Y 70 E Y 0 10 20 30 50 60 70 24 E Y 3 9 3 在例3的基础上可得 E X 10 20 50 60 16 E X 2 9 2 E Y 27 E X 18 抽2张奖券更合算 以实际问题为背景 以解答题的形式考查随机变 量的概率 分布列是高考对本节内容的常规考
11、法 09年 福建高考将概率 离散型随机变量的分布列与集合 组合数的性质等相结合考查 是一个新的考查方向 考题印证 2009 福建高考 12分 从集合 1 2 3 4 5 的所有非空子 集中 等可能地取出一个 1 记性质r 集合中的所有元素之和为10 求所取出 的非空子集满足性质r的概率 2 记所取出的非空子集的元素个数为 求 的分布列 和数学期望E 解 1 记 所取出的非空子集满足性质r 为事件A 基本事件总数n 31 2分 事件A包含的基本事件是 1 4 5 2 3 5 1 2 3 4 3分 事件A包含的基本事件数m 3 P A 5分 2 依题意 的所有可能取值为1 2 3 4 5 又P 1
12、 P 2 P 3 P 4 P 5 9分 故 的分布列为 12345 P 从而E 1 2 3 4 5 12分 11分 自主体验 某中学组建了A B C D E五个不同的社团组织 为培养 学生的兴趣爱好 要求每个学生必须参加 且只能参加一个社 团 假定某班级的甲 乙 丙三名学生对这五个社团的选择是 等可能的 1 求甲 乙 丙三名学生参加五个社团的所有选法种数 2 求甲 乙 丙三人中至少有两人参加同一社团的概率 3 设随机变量 为甲 乙 丙这三个学生参加A社团的人数 求 的分布列与数学期望 解 1 甲 乙 丙三名学生参加五个社团的选法均有 5种 故共有5 5 5 125 种 2 三名学生选择三个不同
13、社团的概率是 三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为 1 3 由题意 0 1 2 3 P 0 P 1 P 2 P 3 故 的分布列为 0123 P 数学期望E 0 1 2 3 1 设随机变量X等可能取值1 2 3 n 如果P X 4 0 3 那么 A n 3 B n 4 C n 9 D n 10 解析 P X 4 P X 1 P X 2 P X 3 0 3 n 10 答案 D 2 2010 南昌模拟 随机变量 的概率分布规律为P n n 1 2 3 4 其中a是常数 则P 的值为 A B C D 解析 由题意得 1 a 1 a P P 1 P 2 答案 D 3 设某项试验的成功率是失败率的
14、2倍 用随机变量X去 描述1次试验的成功次数 则P X 0 等于 A 0 B C D 解析 设X的分布列为 X01 Pp2p 即 X 0 表示试验失败 X 1 表示试验成功 设失败 率为p 则成功率为2p 由p 2p 1得p 答案 C 4 从装有3个红球 2个白球的袋中随机取出2个球 设 其中有X个红球 则随机变量X的概率分布为 X012 P 解析 P X 2 0 3 P X 0 0 1 P X 1 0 6 答案 0 1 0 6 0 3 5 随机变量 的分布列如下 101 Pabc 其中a b c成等差数列 则P 1 解析 a b c成等差数列 2b a c 又a b c 1 b P 1 a
15、c 答案 6 2009 全国卷 某车间甲组有10名工人 其中有4名女 工人 乙组有5名工人 其中有3名女工人 现采用分层 抽样方法 层内采用不放回简单随机抽样 从甲 乙两组 中共抽取3名工人进行技术考核 1 求从甲 乙两组各抽取的人数 2 求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 3 记 表示抽取的3名工人中男工人数 求 的分布列及数 学期望 解 1 由于甲组有10名工人 乙组有5名工人 根据分层 抽样原理 若从甲 乙两组中共抽取3名工人进行技术考核 则从甲组抽取2名工人 乙组抽取1名工人 2 记A表示事件 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人 则 P A 3 的可能取值为0 1 2 3 Ai表示事件 从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人 i 0 1 2 B表示事件 从乙组抽取的是1名男工人 Ai与B独立 i 0 1 2 P 0 P A0 P A0 P P 1 P A0 B A1 P A0 P B P A1 P P 3 P A2 B P A2 P B P 2 1 P 0 P 1 P 3 故 的分布列为 0123 P E 0 P 0 1 P 1 2 P 2 3 P 3
