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1、直线与圆锥曲线的位置关系 焦半径公式 椭圆 双曲线 抛物线 特别地 抛物线的焦点弦长为 返回 P在右支上 1 直线和圆锥曲线的位置关系及判断 运用设直线l的方程 为 Ax By C 0圆锥曲线方程为 f x y 0 由 若消去y后得ax2 bx c 0 若f x y 0表示椭圆 则a 0 为此有 1 若a 0 设 b2 4ac 0时 直线与圆锥曲线相交于不同两点 0时 直线与圆锥曲线相切于一点 0时 直线与圆锥曲线没有公共点 2 若a 0 当圆锥曲线为双曲线时 直线l与双曲线的渐近线平行 或重合 当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴平行或重合 Ax By C 0 f x y 0 消元 x或
2、y 4 直线与抛物线的位置关系 直线斜率存在 知识指要 抛物线 例 如图所示 过双曲线 的右焦点F2 倾斜角为 30 的直线线交双曲线线于A B两点 求 AB F1F2x y O A B 法二 设直线AB的方程为 与双曲线方程联立消y得5x2 6x 27 0 由两点间的距离公式得 设A B的坐标为 x1 y1 x2 y2 则 x y O P A B 点差法 验证 y x o 1 1 B N M y x o 2 假设存在这样的弦 不存在这样的弦 k不存在显然不合题意 设弦所在的直线方程为 并且交双曲线于C x1 y1 D x2 y2 3 点差法求方程要注意检验 如果点在双曲线内部 图中的阴 影部
3、分 那么以该点为中点的弦一 定存在 如果点在双曲线外部 图中的另 外部分 那么以该点为中点的弦不 一定存在 必须检验 xo y 例 中心在原点一个焦点为 的椭 圆的截直线 所得弦的中点横坐 标为 求椭圆的方程 椭圆测试 10 12 解 设所求椭圆的方程为 由 得 把直线方程代入椭圆方程 整理得 设弦的两个端点为 则由 根与系数的关系得 又中点的横坐标为 由此得 解解 得 得 变式2 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且 斜率为1的直线交抛物线于A B两点 若线段AB 的中点的纵坐标为2 求该抛物线的准线方程 法一 解 设A x1 y1 B x2 y2 AB y x 代入y2 2px得 y
4、2 2py p2 0 y1 y2 2p 由题意知 y1 y2 4 p 2 抛物线的方程为y2 4x 其准线方程为x 1 A B 变式2 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且 斜率为1的直线交抛物线于A B两点 若线段AB 的中点的纵坐标为2 求该抛物线的准线方程 法二 解 设A x1 y1 B x2 y2 y12 2px1 y22 2px2 两式相减得 p 2 抛物线的方程为y2 4x 其准线方程为x 1 A B 椭圆 的两个焦点为F1 F2 过左焦点作 直线与椭圆交于A B 两点 若直线AB的倾角为30度 求 AB F2 的面积 例2优化154页 3 x y B x1 y1 F1F2
5、o x2 y2 A 法一 利用 d 联立方程组 d 2 过 作到直线AB的垂线 设距离为d 法二 利用 分割思想 x y B x1 y1 F1F2 o x2 y2 A AB 直线和圆锥曲线的位置关系 例2 是否存在 使直线 与曲线 相交 于A B 两点 且以AB 为直径的圆过原点 若存在 求出a 的值 若不存在 请说明理由 o x y C A B 解 设 以AB 为直径的圆过原点 把 代入 化简得 由韦达定理得 以AB 为直径的圆过原点 1 求圆锥曲线的最值 常用哪些方法 例1 选择题 1 点P在抛物线y2 x上 定点 A 3 0 则 PA 的最小值是 方法一 建立目标函数 设P x y 则y
6、2 x B 2 变式 1 若P为抛物线y2 x上一动点 Q为圆 x 3 2 y2 1 上一动点 则 PQ 的最小值为 见图 4 例3 求点 到椭圆 上点的最大距离 并求出此时椭圆上的点的坐标 本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐 标 然后根据两点间的距离公式借助于二次函数 求出此最大值 并求出点的坐标 分析 解 设点 Q x y 为椭圆 上的任意一点 则 又因为x2 4 4y2 所以 1 y 1 椭圆的参数方程 椭圆 1的参数方程为 x acos y bsin 应用 用作三角代换 把关于x y的二元函数 转化为一元的三角函数 此时 所以 的最大值为 即此时Q的坐标为 思考 我们能否通过椭
7、圆的参数方程去求 1 练习2 L x y P 解 设点P的坐标为 x y 则点P到直线L的距离为 例2 如图 已知点P在椭圆x2 8y2 8上 求点P 到直线L x y 4 0 距离的最大 最小值 例2 如图 已知点P在椭圆x2 8y2 8上 求点P 到直线L x y 4 0 距离的最大 最小值 x y L P 解法二 过点P作平行于L的直线L 当直线L 平移至与椭圆 相切的位置时点P到直线 L x y 4 0 距离达到 最大 最小值 L1 L2 L 设L 的方程为 x y m 0 由 得 9x2 16mx 8 m2 1 0 由 0 得 m 3 当m 3时 d 当m 3时 d 例3 设P为抛物
8、线 y x2上的一动点 求P点到 直线L 3x 4y 6 0的距离的最小值 解法1 设P x x2 P到直线L 3x 4y 6 0的距离d P x x2 d 8 解法二 当L平移到与抛物线y x2只有一个公共 点时 设此时的直线为L1 其方程为3x 4y b 0 则L与L1的距离即为所求 由 3x 4y b 0 y x2 代入 可得 4x2 3x b 0 3 2 4 4 b 0 可得 b 9 16 见图 L1 3x 4y b 0 复习 两平行线L1 Ax By C 1 0 L 2 Ax By C 2 0 的距离 d 9 圆锥曲线中的最值问题 O y x 换 元 法 判别式法 O B A y x
9、 C D O y x l P O y x A B P 圆锥曲线中的最值问题 知 识 迁 移 变 题 O B A y x C D 如图所示 1 抛物线焦点为F 1 0 准线方程为x 1 P点到准线x 1的距离等于P点到F 1 0 的距离 问题转化为 在曲线 上求一点P 使点P到 A 1 1 的距离与P 到F 1 0 的距离 之和最小 显然P是AF 的连线与抛物线的交 点 最小值为 AF 设P是抛物线y2 4x上的一个动点 1 求点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之 和的最小值 优化151页 例1 已知定点M 3 2 F是抛物线y2 2x的焦点 在 此抛物线上求一点P 使 PM P
10、F 取得最小值 求点 P的坐标 抛物线上的点到焦点的距离与到 准线的距离相等 即 PF PN PM PF PM PN 当 M P N三点共线 时距离之和最小 F M 练习2 如图 由抛物线的定义 分析 F M P N 解 如图所示 P F P N 即 P F P M P N P M P M P N PM PN PM PF 又 点P的纵坐标等于点M的纵坐标 即y 2 所以 点P的坐标为 2 2 在抛物线 y2 2x上任取一点 P x y 作P N 准线L 作MN L MN交抛物线于P x y 由抛物线的定义得 当P 和P重合时 即PN L N P M三点共线 F M P N P N 例1 已知
11、动点P在抛物线x2 4y上 点A 12 6 则P到A的距离与到x轴的距离之和的最小值是多少 x y o P F G Q H 简析 应用抛物线的几何性质 将P到x轴 的距离 转化 成到准线的距离 进而 转化 成到焦点的距离 Pmin A 例2 已知 A 4 0 B 2 2 M是椭圆9x2 25y2 225 上的动点 求 MA MB 的最值 x y o Mmax Mmin 简析 MA MB 2a MA1 MB 2a MB MA1 应用三角形的三边关系 即可求得取得最值时的M点的位置 A1 M A B 利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决 取值范围156页 3 155页 例
12、3 例1 已知抛物线y2 4x 以抛物线上两点 A 4 4 B 1 2 的连线为底边的 ABP 其顶点P 在抛物线的弧AB上运动 求 ABP的最大面 积及此时点P的坐标 动点在弧AB上运动 可以设出点P的坐标 只要求 出点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段 AB的最大距离 也就求出了 ABP的最大面积 要使 ABP的面积最大 只要点P到直线AB的距离d最大 设点P 解 由已知 AB 2x y 4 0直线AB 解题过程如下 分析 d 由已知 2 y 4 dmax 此时 y 1 x d 点的坐标为 1 Smax 我们可以连接AB 作平行AB的直线L与抛物线相切 求出直线L的方程 即可
13、求出直线L与AB间的距离 从 而求出 ABP面积的最大值和点P的坐标 分析 y2 2y 2m 0 设直线L与抛物线 y2 4x相切 直线AB 2x y 4 0 直线L的方程为 2x y m 0 4 8m 0 m 此时 y 1 x 直线L的方程为 2x y 0 两直线间的距离d 另解 把 代入抛物线的方程得 其他过程同上 例题一 给定双曲线 1 过点A 2 1 的直线l与双曲线交于两点M N 如 果A点是弦MN的中点 求l的方程 2 把点A改为 1 1 具备上述性质的直线是否存 在 如果存在求出方程 如果不存在 说明理由 4x y 7 0不存在 例1 双曲线 1 过它的右焦点 作倾斜角 为的弦
14、求 2 过 的直线与双曲线交于 求 中点的轨迹方程 解 1 设 法一 法二 直线与双曲线两支相交于两点 2 法一 分析 当直线 的斜率不存在时 中 点为 当直线 的斜率存在时 设直线 的方程为 消去参数k 得 法二 设 中点 点的轨迹方程为 例2 已知某椭圆的焦点是 过点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为B 且 椭圆上 有不同的两点 满足条件 成 等差数列 1 求该椭圆的方程 2 求弦AC中点的横坐标 3 设弦AC的中垂线方程为 求 的取值范围 解 1 由题意知 椭圆方程为 2 成等差数列 的中点的横坐标为4 3 法一 在椭圆上 设 在 直线 上 法二 的方程为 下同法一 在 椭圆内部 三
15、 课堂小结 1 直线和圆锥曲线的位置关系可以通过判断两方程组成的 方程组消去某个变量后所得方程根的情况来研究 特别要 注意对最高次项系数的讨论 2 平行于抛物线对称轴的直线与抛物线仅有一个交点 平行于双曲线渐近线的直线与双曲线仅有一个交点 3 直线被圆锥曲线所截得的弦长 涉及到焦点弦的问题 还可以利用圆锥曲线的统一定义来 研究 直线和圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线与直线的关系 利用 判定圆锥曲线与直线的位置关系 椭圆 0是直线与椭圆只有一个交点的充要条件 双曲线 0或直线平行于渐近线时仅有一个交点 抛物线 0或直线与对称轴平行时仅有一个交点 当 0时 直线与圆锥曲线有两个交点 圆锥曲线弦的中点是
16、圆锥曲线常见题型 常常用到违达定理 一般地 如果K为弦AB的斜率 点p x0 y0 为弦AB的中点 则 椭圆 y2 b2 1 x2 a2 有 k b2x0 a2y0 双曲线 x2 a2 y2 b2 1 有 k b2x0 a2y0 抛物线 y2 2px 有 k p yo 相关 习题 经典习题 1 过 0 2 的直线 与抛物线仅有一个交点 则 满足条件的直线L共有 条 设直线L为y kx 2 联立方程得 k2x2 4 k 1 x 4 0 k 0时有一公共点 k 0时 由 0得一解 当L垂直x轴时 适合题意 共三解 2 直线y 2x m与椭圆 x2 9 y2 4 1有两个交点 则实数 m的取值范围 联立方程组得40 x2 36mx 9m2 36 0 由 0 得 2 10 m 2 10 3 不论k为何实数 直线y ax b与椭圆 总有 x2 9 y2 4 1 公共点 则实数b的取值范围是 x y ob y ax b 运用数形结合思想 由题意 点 o b 在 椭圆 上或内部 x2 9 y2 4 1 下课下课 三 答案 答案 答案 2 2 提示 提示 提示 1 直线y x 3与曲线 交 点个数 A
