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1、第六讲 三角形知识梳理知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。知识点2.三角形的分类重点：三角形分类的依据 难点：三角形分类的划分三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形（1） 按角分类底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形等腰三角形不等边三角形三角形(2) 按边分类例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角
2、的4倍，那么这个三角形一定是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。答案B练习：如图，已知OA，P是射线ON上一动点（即P可在射来源:Zxxk.Com线ON上运动），AON600，填空：（1）当OP 时，AOP为等边三角形；（2）当OP 时，AOP为直角三角形；（3）当OP满足 时，AOP为锐角三角形；（4）当OP满足 时，AOP为钝角三角形。答案：（1）；（2）或；（3）OP；（4）0OP或OP知识点3.三角形三条重要线段重点：掌握三角形三条重要线段的概念难点：三角形三条重要线段的运用三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、
3、中线和高线。这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点：（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心
4、，三条高的交点叫做三角形的垂心。例1、在ABC中，AC5，中线AD7，则AB边的取值范围是（ ）A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB19解题思路：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。选D例2、如图，ABC中，AB=AC，BAC和ACB的平分线相交于点D，ADC=130，求BAC的度数解题思路：因为AB=AC，AE平分BAC，所以AEBC(三线合一) 因为ADC=130，所以CDE=50，所以DCE=40，因为CD平分ACB，所以ACB=2DCE=80，所以B=ACB=80，BAC=180
5、-B+ACB=20练习1、如图，在ABC中，A960，延长BC到D，ABC与ACD的平分线相交于，BC与CD的平分线相交于，依此类推，BC与CD的平分线相交于，则的大小是多少？来源:Zxxk.Com2、如图，CE平分ACB，且CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD的周长为28 cm，则DB 。答案1、30 2、8cm知识点4. 三角形的主要性质 重点：三角形的三边关系及外角的性质难点：三角形的主要性质的灵活运用(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边 (2)三角形的三个内角之和等于3600 (3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和
6、来(4)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角 (5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变例1已知一个三角形中两条边的长分别是、，且，那么这个三角形的周长的取值范围是（ ）A、 B、C、 D、解题思路：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案：B例2如图，已知ABC中，ABC450，ACB610，延长BC至E，使CEAC，延长CB至D，使DBAB，求DAE的度数。解题思路：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出DE的度数，即可求得DAE的度数。略解：ABDB，ACCE来源:学科网 DABC，EACB DE（
7、ABCACB）530 DAE1800（DE）1270练习1.若ABC的三边分别为、，要使整式，则整数应为 。2.纸片ABC中，A650，B750，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内（如图），若1200，则2的度数为 。3.在ABC中，ABAC，D在AC上，且BDBCAD，则A的度数为（ ）A、300 B、360 C、450 D、720答案1. 偶数2. 600 3.B知识点5. 全等三角形 重点：全等三角形的判定难点：根据不同条件来判断三角形的全等1定义 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角 2性质 两全等三角形的对
8、应边相等，对应角相等 3判定公理 (1)判定公理1(简称“边角边”或“SAS”) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2)判定公理2(简称“角边角”或“ASA”) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3)判定公理3(简称“边边边”或“SSS”) 有三边对应相等的两个三角形全等 (4)判定4(推论，简称为“角角边”或“AAS”) 来源:学科网ZXXK有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (5)判定5(斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“HL”) 有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形题型例析一、选择条件型例1如图，在ABC与DEF中，给出以下六
9、个条件中（1）ABDE（2）BCEF（3）ACDF （4）AD（5）BE（6）CF，以其中三个作为已知条件，不能判断ABC与DEF全等的是（）（1）（5）（2）（1）（2）（3）（4）（6）（1）（2）（3）（4）解题思路：根据全等三角形的识别方法及给出的四个答案，一一加以辨别，因为用（SAS）识别法中，两边对应相等的话，一定要夹角对应相等，所以答案（）不能判断ABC与DEF全等二、补充条件型例2如图所示，在ABC和DCB中，ABDC，要使ABODCO，请你补充条件_（只要填写一个你认为合适的条件）解题思路：由AB=DC以及图形隐含的对顶角相等：AOB=DOC可知，要使ABODCO，根据（AA
10、S）识别法，直接可补充A=D或ABODCO间接可补充：ACDB评注：本题是一道结论开放性试题，由于全等三角形的识别方法有（SSS）（SAS）（ASA）（AAS）和直角三角形的（HL）识别法，因此，这类题目具有答案不唯一的特点在添加条件时，要结合图形，挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件三、结论选择型例3如图EF90，BCAEAF，给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN其中正确的结论是 （注：将你认为正确的结论都填上）解题思路：根据已知“EF90，BCAEAF”可得ABEACF，因此有EABFAC，BECF，ACAB，所以、正确；因为CABBAC，BC ，ACAB，所以ACNAB
11、M，故也正确；根据条件，无法推出CDDN，故不正确所以，正确的结论是、评注：将多项选择以填空题的形式出现，是近几年出现的新题型，因答案的不唯一，加大了问题的难度，我们只有对所给的选项一一排查，才能得到正确的答案四、结论探究型例4如图，已知CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC，那么图中全等三角形共有 对解题思路：在ADO与AEO，根据条件：CDAB，BEAC，AO平分BAC及隐含的条件AOAO（公共边），得到ADOAEO（AAS）；从而得到ADAE，故RtADCRtAEB（HL）；进一步可推得ABOACO（SAS），BDOCEO（AAS），因此，图中全等三角
12、形共有4对五、自编组合型例5如图，在ABC和DEF中，D，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF已知：求证：证明：解题思路：题中给出的四个等量关系，以其中三个为条件，另一个作为结论，总共可组成的命题（不论真假）有：共4个命题，其中真命题有2个，或，选择其中一个，不难完成题目的解答解：如证明：BECFBCEF又ABDE， ACDFBACDEF（SSS）ABCDEF六、运动变化型例6在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点
13、C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=ADBE；CBAED图1NMABCDEMN图2ACBEDNM图3（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明证明：（1） ACD=ACB=90，CAD+ACD=90 ，BCE+ACD=90，CAD=BCE，AC=BC，ADCCEBADCCEB，CE=AD，CD=BE，DE=CE+CD=AD+BE（2）ADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE ，又AC=BC，ACDCBE，CE=AD，CD=BE，DE=CECD=ADBE（3）当MN旋转到图3的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关
