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1、 机械振动学机械振动学 习题解答 习题解答 一 一 1 1 4 一简谐振动频率为10 Hz 最大速度为4 57 m s 求其振幅 周期和最大加速度 解 简谐振动的位移 速度速度幅值 加速度加速度幅值 由题意 所以 圆频率 振幅周期 最大加速度 2 1 6 一台面以一定频率作垂直正弦运动 如要求台 面上的物体保持与台面接触 则台面的最大振幅可 有多大 解 对物体受力分析 要使物体保持与台面接触 必须 N 0 即 所以 又由于 所以 N mg 物体 台面 3 1 7 计算两简谐运动 和 之和 其中 如发生拍的现象 求其振幅和拍 频 解 当 时 拍振的振幅为2X 拍频为 不是 课本p 6 可变变振幅
2、 振幅为10 拍频为2Hz 拍的周期为 0 5s 不是1s 4 可变振幅 拍振的振幅为 假设X2较小 拍频为 补充 若两简谐运动振幅和频率都不同 振幅为13 拍频为1Hz 可变变振幅 5 2 2 如图所示 长度为 L 质量为 m 的均质刚性杆 由两根刚度为 k 的弹簧系住 求杆绕O点微幅振动的 微分方程 解 力法 假设杆顺时针偏转了 角 则杆受到重力 mg 和弹簧弹力 F 产生 的力矩 均为逆时针方向 其中F为两 边弹簧弹力之和 由动量矩定理 得 又由于 上式可化简为 mg F 6 能量法 设系统处于静平衡位置时势能为0 当 杆顺时针偏转 角时 势能 动能 由能量守恒原理 化简得 7 列系统微
3、分方程的一般步骤 力法 1 设系统相对于平衡位置发生了广义位移x 或 2 分析系统受到的所有力 或力矩 3 由牛顿第二定律 或动量矩定理 列方程 能量法 1 设系统相对于平衡位置发生了广义位移x 或 2 写出系统势能U 包括重力势能mgh和弹簧弹性势 能 动能V 或 耗散能P 3 由能量守恒原理 列方程 8 2 5 求图示弹簧 质量 滑轮系统的振动微分方程 解 力法 静平衡时有 为弹簧的伸长量 假设弹簧相对于平衡位置伸长x 则圆 盘沿逆时针方向转过x r角 质量m 圆盘M 联立得 mg F x M r k 考虑 若假设弹簧相对于平衡位置缩短x 会如何 FF 9 能量法 设系统处于静平衡位置时势
4、能为0 当弹簧相对于平衡位置伸长x时 势能 动能 由能量守恒原理 化简得 m x M r k 可见 计算势能时 若系统静平衡时已有弹簧 发生静变形 则参与静平衡的质量的重力势能 恰好与弹簧静变形的弹性势能抵消 可以不写 10 解 力法 静平衡时 假设此时弹簧被压缩 即m3 的力矩大于m1的力矩 假设L2杆顺时针旋转 角 由动量矩定理 化简得 2 6 图示系统垂直放置 L2杆处于铅垂位置时系统 静平衡 求系统作微振动的微分方程 刚性杆质 量忽略 11 注 阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功 即 所以 能量法 设系统处于静平衡位置时势能为0 势能 动能 耗散能 由能量守恒原理 化简得 m1和m3参
5、与静平衡 重力势能抵消了 弹簧静变形的势能 12 2 7 求图示系统的振动微分方程 刚性杆质量忽 略 解 能量法 设系统处于静平衡位置时势能为0 动能 势能 由能量守恒原理 化简得 m1参与静平衡 重力势能抵消了弹簧k1和 k2静变形的势能 圆盘转动圆盘平动质量块平动 13 2 11 求图所示系统对于广义坐标 x 的等效刚度 解 对小车m沿x方向施加作用力F 使小车产生位移 x 则弹簧k1伸长 弹簧k2伸长 小车受力 其中 所以等效刚度 F2 F F1 F2 14 2 12 一质量为 m 长度为 L 的均匀刚性杆 在距 左端O为 nL 处设一支承点 如图所示 求杆对O点 的等效质量 解 设弹簧
6、k以速度 发生变形 则杆的质心的运动 速度为 于是系统动能 而等效系统的动能 由Ve V 得 绕质心转动随质心平动 15 2 13 如图所示 悬臂梁长度为L 弯曲刚度为EI 质量不计 求系统的等效刚度和等效质量 解 当悬臂梁在自由端受到弯曲力F时 自由端的 位移为 所以悬臂梁自由端的等效刚度为 而系统的等效刚度相当于悬臂 梁的等效刚度与弹簧k串联 系统的等效质量 16 计算系统等效刚度 等效质量的方法 1 计算等效刚度的原则是利用等效前后系统弹性势 能不变 但通常只需根据刚度的定义即可算出 即 在质量上施加外力F 使其发生位移x 则ke F x 2 计算等效质量的原则是利用等效前后系统动能不
7、变 即 令弹簧以速度 发生变形 3 计算系统等效刚度时 也可 分部 计算 即 把 系统分成几个部分 计算每部分的等效刚度 再把各 个刚度串联或并联起来 17 3 1 如图所示 设杆a和杆b为质量和转动惯矩可忽 略的刚性杆 并能在图示平面内自由移动和转动 求质量m上 下振动的固有频率 解 在a点施加竖直作用力Fa 使其产生位移 xa 并设此时k1变形x1 k2变形x2 由杆a受到 的力矩平衡 知 所以a点等效刚度 ka与k3串联后的等效刚度为 b点的等效刚度计算与a点类似 于是质量m的固有频率 18 3 3 如图所示 一长度为L 质量为m的均匀刚性杆 铰接在O点 并以弹簧和粘性阻尼器支承 求 1
8、 系统作微振动的微分方程 2 系统的无阻尼固有频 率 3 系统的临界阻尼 解 1 力法 化简得 2 3 根据临界阻尼时的条件 得到 注意 临界阻尼是指阻尼元件c的 临界值 不是系统阻尼项的临界值 19 3 5 如图所示 质量为 m1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置 质量为 m2的重物从高 度为 h 处自由降落到m1 上而无弹跳 求系统的运动 规律 解 系统的运动规律为简谐振动 且系统位于平衡位置处的弹簧伸长量 所以系统的初始位移 即m1单独悬挂时的弹簧 伸长量减去平衡位置处弹簧伸长量 而系统的初始速度可根据两物体接触瞬间所满足的动量定理得到 m2 m1 k 20 5 2 一振动系统具有下列参数 质量m 17 5kg 弹簧刚度k 70 0 N cm 粘性阻尼系数c 0 70 Ns cm 求 1 阻尼比 2 有阻尼固有频率 3 对 数衰减率 4 任意二相临振幅比值 解 1 2 3 4 21 5 4 带粘性阻尼的单自由度系统 等效质量m 5 kg 等效刚度k 10 kN m 其任意两相邻振幅比为1 0 98 求 1 系统的有阻尼固有频率 2 对数衰 减率 3 阻尼系数 c 4 阻尼比 解 2 由 得 4 由 得 1 3 对数衰减率 时间 位移曲线上两相邻极大值之比再取对数 22 此课件下载可自行编辑修改 供参考 感谢您的支持 我们努力做得更好
