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1、河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业7一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数的实部是2，则z的虚部是A. iB. 1C. 2iD. 22. 已知集合，则A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是A. B. C. D. 4. 若x，y满足约束条件则的最小值是A. B. 1C. D. 55. 若双曲线C：的一条渐近线的倾斜角比直线的倾斜角大，则C的离心率是A. B. 2C. D. 36. 若，则A. B. C. D. 7. 如图，与的夹角为，若，则A. 1B. 2C. 3D. 48. 设函数，若，则a的取值范围是A. B. C. D. 9. 已知a，b，c分别为三个
2、内角A，B，C的对边若D是AC边的中点，则A. 2B. C. D. 10. 孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是其中3根木条的三视图，记这3根木条的表面积分别为，则A. B. C. D. 11. 记函数在区间上的零点分别为2，则A. B. C. 3D. 12. 在四棱锥中，是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角是直二面角，若四棱锥的外接球的表面积是，则异面直线PA，BD所成的角的余弦值是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在的展
3、开式中，若含项的系数是15，则_14. 张先生计划在3个不同的微信群中发放4个金额各不相等的红包，则每个群都收到红包的概率是_15. 若椭圆C：的左、右焦点分别为，直线l过与C交于M，N两点，若，则椭圆C的离心率是_16. 若函数在区间上的最大值是，则a的取值范围是_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 记为数列的前n项和，求数列的通项公式；记，求的前n项和18. 如图，在三棱锥中，底面ABC是等边三角形，D为BC边的中点，平面ABC，点O在线段AD上 证明：；若，直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值19. 某高科技公司投人1000万元研发某种产品，大规
4、模投产后，每天在产品进入库房前，都需做严格的质量检验为此，检验人员从当天生产的产品中随机抽取80件，检测一项关键的质量指标值记为，由检测结果得到如下样本频率分布直方图由频率分布直方图可以认为，其中样本平均数、方差同一组数据用该区间的中点值作代表可作为，的估计值利用该正态分布，求精确到；该公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利80元；若是次品，则亏损20元记为生产一件这种产品的利润单位：元求随机变量的分布列和数学期望精确到；若该公司每天生产这种产品1000件，则多长时间可以收回研发投入的1000元？附：，20. 已知抛物线：的焦点为F，准线为l，A是
5、上一点，线段FA的中点的坐标为求的方程；点M为l上一点，P是上任意一点，若，试问直线MP与是否有其他的公共点？说明理由21. 已知函数函数的图象与x轴相切，求实数a的值；设是函效的极值点，若存在两个零点，证明并求a的取值范围22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，；以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为写出当时的普通方程及的直角坐标方程；设曲线与交于A，B两点，若，求的值23. 已知函数，求不等式的解集；若不等式有解，求a的取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】解：的实部是2，即的虚部为故选：B利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为2求得a值，
6、则虚部可求本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2.【答案】C【解析】解：，且，故选：C进行交集的运算即可考查描述法的定义，以及交集的定义及运算3.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的性质与三角函数值的求法，是基础题由奇偶性排除B，C；再由排除D，则答案可求【解答】解：函数为奇函数，图象关于原点中心对称，可排除B，C；又，故排除D，选A故选：A4.【答案】B【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；目标函数的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，所以原点到图中BC的距离即为所求，计算，所以目标函数的最小值为1；故选：B由约束条件
7、画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是解答的前提，利用目标函数求最值是关键5.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查两角和的正切公式，考查化简运算能力，属于中档题求得双曲线的渐近线方程，运用两角和的正切公式可得一条渐近线的斜率，再由离心率公式，计算可得所求值【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为，直线的倾斜角设为，可得，双曲线的一条渐近线的斜率为，则，故选：C6.【答案】A【解析】解：由，得，故选：A由已知分别求得，再由诱导公式及倍角公式求解本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查诱导公式及同角三角函
8、数基本关系式的应用，是基础题7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题由可得，结合向量的数量积的性质，代入即可求解【解答】解：，与的夹角为，若，则，故选B8.【答案】D【解析】解：分析题意，可知：为对数的底数，只能取和两个范围又由题意，而当时，在时单调递减趋向不满足题意，舍去只有的情况合适当时，函数在时的表达式在上单调递增，且在时取最小值由题意，必须有，即：而在上，是递减的一次函数此时在x趋向于1时，趋向于最小值，解得：综上所述，可得：故选：D本题先根据a为对数的底数确定a只能取和两个范围，再根据题意舍去，留下的情况，在考虑函数在时的表达式在时取
9、最小值得出然后根据得出x趋向于1，趋向于最小值，最终得出a的取值范围本题主要考查含参数分段函数的参数取值范围问题，还考查了一次函数和对数函数的性质，本题属中档题9.【答案】B【解析】解：；又，在中，设，由余弦定理得，解得，或舍负；在中，由余弦定理得，解得舍负故选：B根据题意由和差公式分析可得，求出A值；其次再运用余弦定理公式可计算求出a值本题考查了正弦定理以及余弦定理得应用，关键是求出A的值，属于基础题10.【答案】A【解析】解：由题意可知几何体是正四棱柱去掉部分棱柱的几何体，由题意可知；，这3根木条的表面积分别为，满足故选：A判断三视图对应几何体的形状，然后就是几何体的表面积即可本题考查三视
10、图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键11.【答案】D【解析】解：由得，设，则关于对称，也关于对称，作出图象如下：由图象可知两个图象有7个交点，其中6个交点两两关于对称，第7个交点横坐标为；设6个交点的横坐标从小到大为a，b，c，d，e，f，则对应两点的横坐标a，f满足，即；故选：D分别判断出两个函数关于对称，作出函数图象，由图象可知有7个交点，结合点的对称性进行求解即可本题考查了函数与方程的应用，根据条件判断函数关于对称，以及利用数形结合确定交点的个数，属于中档题12.【答案】C【解析】解：设O为四棱锥的外接球的球心，取AB的中点G，取AC，BD的交点为E，作，连接OB，令，由四棱
11、锥的外接球的表面积是，所以，则，解得，即，建立如图所示的空间直角坐标系可得：0，0，所以，设，夹角为，则，即异面直线PA，BD所成的角的余弦值是，故选：C先利用已知条件求出边长AD的长度，再建立空间直角坐标系求异面直线PA，BD所成角的余弦值即可得解本题考查了四棱锥的外接球及异面直线所成角的求法，属综合性较强的题型13.【答案】1【解析】解：，故它的展开式中，若含项的系数是，则，故答案为：1把按照二项式定理展开，可得的展开式中含项的系数，再根据系数为15，求出a的值本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14.【答案】【解析】解：张先生计划在3个不同的微
12、信群中发放4个金额各不相等的红包，基本事件总数，每个群都收到红包包含的基本事件个数，则每个群都收到红包的概率故答案为：基本事件总数，每个群都收到红包包含的基本事件个数，由此能求出每个群都收到红包的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.【答案】【解析】解：如图，由，可知M在椭圆的短轴的一个端点上，不妨设为，又，则，直线l的方程为，联立，得，即，即，解得故答案为：由题意画出图形，写出直线l的方程，与椭圆方程联立求得N点坐标，结合向量等式求解本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题16.【答案】【解析】解：，令，则，当或时，函数开口向上，即，
13、有最大值，则，故答案为：利用二倍角公式将转化为cosx的一元二次函数，再换元cosx求出范围本题考查了二次函数的性质、三角函数恒等变换、三角函数图象，是基础题17.【答案】解：为数列的前n项和，当时得，即常数，当时，数列的奇数项和偶数项各为公差为2的等差数列，则由于，所以所以【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18.【答案】解：证明：过O作于E，于F，连接PE，PF平面ABC，OE，OF，AB，平面ABC，底面ABC是等边三角形，D为BC边的中点，是的角平分线，OE，平面POE，平面POE，又平面POE，同理可得：，解：，直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为，连接OB，则，又，是AD的中点，过点O作，交AB于G，则，以O为原点，OG为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，0，设平面PAB的法向量y，则，取，得，设平面PBC的法向量y，则，取，得，设二面角的平面角为，则二面角的平面角的余弦值为【解析】本题考查两角相等的证明，考查二面角的正弦值
