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1、第四章 图形的相似一 本章知识点1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长 度的比相等， 即 （或a：b=c：d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 注：在ab=cd中，a叫做第一比例项，b叫做第二比例项，c叫做第三比例项，d叫做第四比例项。 如果ab=cd，那么ad=cb。特别地，若ab=bd，即b2=ad，则b叫a，d的比例中项，3、基本性质：ad=cb 比例式与乘积式互化： 如果a:b=c:d，那么ad=bc；反之亦成立；如果a:b=b:
2、c，那么b2=ac；反之亦成立 *等积式先变4个比例式上下颠倒或左右互换如果ad=bc，那么； 更换内项；更换外项； 同时更换内外项；4、合比定理： (在分子上进行加或减)（了解） 如果，那么得 5、等比定理：6、比例尺：比例尺，即图上距离实际距离比例尺。7、平行线分三角形两边成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 【如图，DEBC， 及其变形书写】8、 黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且满足AC2=ABBC(或BC2=ACAB)，则点 C即为线段AB的黄金分割点，AC:AB=BC:AC(或BC:AB)即为黄金比.9、相似三角形的判定 预备定理：平行于
3、三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)，所得的三角形与原三角形相似. 应用格式：DEBC，ADEABC 作EFAB，证口BDEF，DE=BF； 判定定理1: 两角对应相等，两个三角形相似. 判定定理2：三边对应成比例，两三角形相似. 判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定结论4：斜边、直角边对应成比例，两直角三角形相似.10、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方.注：相似多边形有类似的性质11、利用相似三角形测高 1.
4、利用阳光下的影子测物体的高度测量工具：皮尺测量方法：量出观侧者的身高以及同一时刻观测者和被测物体的影子的长度。测量数据：观测者身高、影长和被测物体的影长测量原理：由太阳光线是平行线得出两个直角三角形相似。优点：除观测者外不需要其它工具，简单易行，好操作。缺点：受太阳光的限制，只能在有太阳光时进行操作。 2.利用标杆测物体的高度测量工具：标杆（高度要高于观测者的身高），皮尺。测量方法：观测者的眼睛要与标杆的顶端和被测物体的顶端在一条直线上。测量数据：观测者的眼睛到地面的距离、观测者与标杆的距离、标杆与被测物体的距离。测量原理：由标杆和被测物体平行得出两个直角三角行相似。优点：只需要标杆和观测者即
5、可，不受太阳光的限制。缺点：计算量大。 3.利用镜子的反射测物体的高度测量工具：小镜子、皮尺。测量方法：在镜子上做标记，使被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。测量数据：观测者的眼睛与地面的距离、观测者和镜子的距离、镜子和被测物体的距离。测量原理：由入射角等于反射角得出两个直角三角形相似。优点：只需要镜子和观测者即可，不受太阳光的限制。缺点：操作过程稍显复杂。12、位似：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。13、图形的放大（缩小）所谓图形的放大与缩小，实际上就是画原图形的相似图形。方法有：位似图形法、平行
6、线法、测量法、格点法等。位似图形法：1.确定位似中心；2.连接并延长对应点；3.连接关键点。14、平面直角坐标系中的图形的位似在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k(k0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k。15、证明等积式(比例式)策略1、直接法：通过证明三角形相似 观察比例式分子中两条线段(三个顶点字母)与分母中两条线段是否在两个(相似)三角形 中；变化：等号同侧的分子与分母组成三角形2、间接法： 3种代换 等线段代换； 等比代换； 等积代换；创造条件 添加平行线创造“A”字型、“X”字型 先证其它三角形相似创造边、角条件二 规律
7、与方法1 基本图形及变化图给出一对角相等证相似 给出一对角相等证相似ADE=ABC 或AED=ACB，证平行得相似或：根据所给条件(同上)加上隐含条件(公共角或对顶角相等)证相似几个重要模型重要模型1双垂直 （射影定理）如图ACB=90，CDABACDCDBABC几个重要结论：（1）ACDCDBAC:BC=AD:CD=CD:BDCD2=ADBD（2）ACDABCAC:AB=AD:AC=CD:BCAC2=ADAB（3）CDBABCCD:AB=BC:AC=BD:BCBC2=BDAB（4）得AC2:BC2=AD:BD（5）面积法得ABCD=ACBC比例式（6）特殊图形ACD=B(A=A)ABCACD
8、CD:BC=AC:AB=AD:ACAC2=ADAB“双垂直”中的计算：例 如图，在RtABC中,ACB=90，CDAB于D.(1) 已知AB=29，AD=4，求CD和AC； (2)已知BC=5， CD=4，求AD和BD；(3)已知BC=10，AD=6，求BD和AC(4)已知CD=10，AD=4，求BC和AC.重要模型2“一线三等角” （图1） （图2）例（1）如图1：已知三角形ABC中，AB=AC,ADE=B,那么一定存在的相似三角形有（2）如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,DEF=B,那么一定存在的相似三角形有见多识广：其他常见的一线三等角图形等腰三角形中底边上一线三等角等腰梯形中底边
9、上一线三等角三垂型 直角坐标系中一线三等角 矩形中一线三等角例：如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为DC边上的动点，EFAE交BC于F，连结AF. 在ADE与CEF、ADE与ABF、ADE与AEF中，(1)如果一定相似，请证明； (2)如果一定不相似，请说明理由；(3)如果不一定相似，请指出当点E在什么位置时相似.重要模型3三角形内(外)角平分线定理及应用：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比1、已知：如图所示，AD是ABC的内角BAC的平分线，求证： BA/AC=BD/DC;
10、 按下列提示证一证：过D作DEAC交AB于E过B作BEAC交AD的延长线于E 过C作CEAD交BA的延长线于E，2、已知：如图所示，AD是ABC中BAC的外角CAF的平分线。求证： =典型例题一 选择题 1.下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）A B C D 2下列线段能构成比例线段的是 （ ） A1cm,2cm,3cm,4cm B1cm,cm,cm,2cm Ccm,cm,cm,1cm D2cm, 5cm, 3cm, 4cm3梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（） （A）（B）（C）（D） 4如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上
11、，且，AEBE，则（）（A）AEDBED（B）AEDCBD（C）AEDABD（D）BADBCD 题4 题6 题75P是RtABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与 ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条6如图，ABDACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2（B）3（C）4（D）57如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP与ECP相似的是（）（A）APBEPC（B）APE90（C）P是BC的中点（D）BPBC238如图，ABC中，ADBC于D，且有下列条件：（1）BDAC90；
12、（2）BDAC；（3）；（4）AB2BDBC其中一定能够判定ABC是直角三角形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个 题8 题9 题109如图，将ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90，得ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AEAF（B）EFAF1（C）AF2FHFE（D）FBFCHBEC10如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）ABE的周长CDE的周长BCE的周长（B）ABE的面积CDE的面积BCE的面积（C）ABEDEC（D）ABEEBC11如图，在ABCD中，E为AD上一点，DECE23，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEFSEBFSABF等于（）（A）41025（B）4925（C）235（D）2525 题11 题12 题1312如图，直线ab，AFFB35，BCCD31，则AEEC为（）（A）512（B）95（C）125（D）3213如图，矩形纸片ABCD的长AD9 cm，宽AB3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）（A）4 cm、 cm（B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm（D）5 cm、2 cm题1414某学生想测量学校旗杆的高度，如图已知测得学生身高和其影子长均为1.75m，影子长为13.8m，则学校旗杆的高度约为（）
