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1、用定义或判定定理 证明线面垂直 例1 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中 点 证明 1 CD AE 2 PD 平面ABE 1 证明 1 在四棱锥P ABCD中 因为PA 底面ABCD CD 平面ABCD 故PA CD 又因为AC CD PA AC A 所以CD 平 面PAC 而AE 平面PAC 所以CD AE 2 由PA AB BC ABC 60 得 ABC 是等边三角形 故AC PA 2 因为E是PC的中点 所以AE PC 由 1 知 AE CD 且PC CD C 所以AE 平面PCD 而PD 平面PCD 所
2、以AE PD 又因为PA 底面ABCD 所以PA AB 由已知得AB AD 且PA AD A 所以AB 平面PAD 又PD 平面PAD 所以AB PD 因为AB AE A 所以PD 平面ABE 3 本题考查直线与直线垂直 直线与平面垂 直等基础知识 考查空间想象能力和推理论证 能力 立体几何的证明关键是学会分析和掌握 一些常规的证明方法 如 已知中点证明垂直 时要首先考虑等腰三角形中的 三线合一 已 知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来 充分进行计算 从而发现蕴含的垂直等关系 已知线面垂直时会有哪些结论 是选择线线 垂直还是选择面面垂直 要证明结论或要得到 哪个结论 就必须满足什么条件等
3、4 变式练习1 如图 E F分别为直角三角形ABC的直角 边AC和斜边AB的中点 沿EF将 AEF折 起到 A1EF的位置 连结A1B A1C 求证 1 EF 平面A1EC 2 AA1 平面A1BC 5 6 用线面垂直的性质 定理证明线线垂直 7 证明 如图 ACB 90 所以BC AC 又在直三棱柱ABC A1B1C1 中 CC1 平面ABC 所以BC CC1 而AC CC1 C 所以BC 平面AA1C1C 所以BC AM 连结A1C 可以证明Rt ACM Rt AA1C 所以AM A1C 而A1C BC C 所以AM 平面A1BC 所以 A1B AM 8 证明线线垂直常构造一个 平面经过一
4、条直线与另一条直 线垂直 从而达到由线面垂直 证明线线垂直的目的 9 10 11 12 通过计算证明线 线垂直 例3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是BB1的中点 O是底面正方形ABCD的中心 求证 OE 平面ACD1 13 14 要证线面垂直可找线线垂 直 这是几何中证明线面垂直 时常用的方法 在证明线线垂 直时 要注意从数量关系方面 找垂直 如利用勾股定理等 15 变式练习3 直棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD 是直角梯形 BAD ADC 90 AB 2AD 2CD 2 求证 AC 平面 BB1C1C 16 17 1 有下列四个命题 若一条直线垂直于一个平面内
5、无数条直线 则 这条直线与这个平面互相垂直 若两条直线互相垂直 其中一条垂直于一个平 面 则另一条直线与该平面平行 若两条直线同时垂直于同一个平面 则这两条 直线互相平行 若一条直线和一个平面不垂直 则这个平面内 不存在与该条直线垂直的直线 其中错误的命题是 18 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长 为2 M是AD1上任意一点 M到平面 BCB1的距离是 2 19 3 如图 在正方形SG1G2G3中 E F分别是G1G2 G2G3的中 点 D是EF的中点 现沿SE SF及EF把这个正方形折成 一个几何体 使G1 G2 G3三点重合于点G 这 样 下列五个结论 SG 平面EFG SD
6、 平面EFG GF 平面SEF EF 平面GSD GD 平面SEF 其中正确的是 20 21 22 5 如图 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 2 若 PDA 45 求证 MN 平面PCD 23 证明 1 连结AC 取其 中点O 连结NO MO 并 延长MO交CD于R 因为N为PC的中点 所以NO为 PAC的中位线 所以NO PA 而PA 平面ABCD 所以NO 平面ABCD 所 以NO CD 又四边形ABCD是矩形 M为AB的中点 O为 AC的中点 所以MO CD 而MO NO O 所以CD 平面MNO 所以 CD MN 24 2 连结NR
7、则 NRM PDA 45 又O为MR的中点 且NO MR 所以 MNR为等腰三角形且 NRM NMR 45 所以 MNR 90 所以MN NR 又MN CD 且NR CD R 所以 MN 平面PCD 25 1 在线面垂直的定义中 一定要 弄清楚 任意 与 无数 这两个术语内涵 的差异 后者存在于前者中 任意 的理解最终转化为 两条相交直线 证明时此条件不可缺少 26 27 3 面面垂直的性质的理解中三个条 件也不可缺少 即 两个平面垂直 其中一个平面内的直线 垂直于交线 所以无论何时见到已知两 个平面垂直 都要首先找其交线 看是否 存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助 线 这样就能目标明确 事
8、半功倍 28 1 已知四棱锥P ABCD的顶点P在底面的 射影恰好是底面菱形ABCD的两条对角线 的交点 若AB 3 PB 4 则PA长度的 取值范围为 29 30 31 解析 中n可能在 内 n与m可以垂 直 由线面垂直与面面垂直知 是正确 的 答案 选题感悟 本题呈现的是空间中的线线 线面 面面之间的位置关系 能有效的考 查考生的空间想象能力和推理能力 32 3 如图所示 在四棱锥P ABCD中 ABC ACD 90 BAC CAD 60 PA 平 面ABCD E为PD的中点 PA 2AB 2 1 求四棱锥P ABCD的体积V 2 若F为PC的中点 求证 PC 平面AEF 3 求证 CE 平面PAB 33 34 2 证明 因为PA CA F为PC的中点 所 以AF PC 因为PA 平面ABCD 所以PA CD 因为AC CD PA AC A 所以CD 平面PAC 所以CD PC 因为E为PD中点 F为PC中点 所以EF CD 则EF PC 因为AF EF F 所以PC 平面AEF 35 36 此课件下载可自行编辑修改 供参考 感谢您的支持 我们努力做得更好
