《随机过程随机过程的基本概念ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机过程随机过程的基本概念ppt课件.ppt（78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章第二章 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 1 第2章 随机过程的基本概念 2 1 随机过程的定义 2 2 随机过程的分类和举例 2 3 随机过程的有限维分布函数族 2 4 随机过程的数字特征 2 5 两个随机过程的联合分布和数字特征 2 6 复随机过程 2 7 几类重要的随机过程 2 第2章 随机过程的基本概念 2 1 随机过程的定义 2 2 随机过程的分类和举例 2 3 随机过程的有限维分布函数族 2 4 随机过程的数字特征 2 5 两个随机过程的联合分布和数字特征 2 6 复随机过程 2 7 几类重要的随机过程 3 2 1 随机过程的定义 在客观世界中 有许多随机现象表现为带随机
2、性 的变化过程 它不能用一个或几个随机变量来刻 画 而要用一族无穷多个随机变量来描绘 这就 是随机过程 随机过程是概率论的继续和发展 被认为是概率论 的 动力学 部分 它的研究对象是随时间演变的随 机现象 事物变化的过程不能用一个 或几个 时间t 的确 定的函数来加以描述 对事物变化的全过程进行一次观察得到的结果是 一个时间t 的函数 但对同一事物的变化过程独立 地重复进行多次观察所得的结果是不同的 而且 每次观察之前不能预知试验结果 4 2 1 随机过程的定义 例2 1 1 当t t 0 固定时 电话交换站在 0 t 时间内收到的呼叫次数是随机变量 记为 X t X t 服从参数为 t的Po
3、isson分布 其中 是单位时间内平均收到的呼叫次数 且 0 如果t从0变到 t 时刻前收到的呼叫次数 需用一族随机变量 X t t 0 来表示 则该随机现象就是一个随机过程 对电话 交换站做一次实验 便可得到一个 呼叫次 数 时间函数 即呼叫次数关于时间t 的函 数 x t 5 2 1 随机过程的定义 这个 呼叫次数 时间函数 是不可能预先确定的 只有通过测量才 能得到 由于呼叫的随机性 在相同条件下 每次测量都产生不同 的 呼叫次数 时间函数 6 2 1 随机过程的定义 例2 1 2 电子元件或器件由于内部微观粒子 电子 的随机热噪声引起的端电压 称为热 噪声电压 它在任一确定时刻的值是随
4、机变 量 记为 V t 如果t 从0变到 t 时刻的热 噪声电压 需要用一族随机变量 V t t 0 来表示 则该随机变量就是一个随机过 程 对某种装置做一次试验 便可得到一个 电压 时间函数 v t 这个 电压 时间函数 是不可能预先确知的 只有通过测量才能得 到 如果在相同的条件下独立地再进行一次测 量 则得到的记录是不同的 7 2 1 随机过程的定义 所谓一族随机变量 首先是随机变量 从而 是该试验样本空间上的函数 其次形成一族 因而它还取决于另一个变量 即还是另一 参数集上的函数 所以 随机过程就是一族二 元函数 定义2 1 1 设 F P 是一个概率空间 T 是 一个实的参数集 定义
5、在 和T 上的二元函 数 X t 如果对于任意固定的t T X t 是 F P 上的随机变量 则称 X t t T 为该概率空间上的随机过程 Stochastic Process 简记为 X t t T 8 2 1 随机过程的定义 X t t T l固定t t0 T X t0 是一个随机变量 第i次试验值为xi t0 l对随机过程做一次试验 即固定样本点 得到一个参数t 的普通函数 x t 9 2 1 随机过程的定义 定义2 1 2 设 X t t T 是随机过程 则 当t固定时 X t 是一个随机变量 称之为 X t t T 在t时刻的状态 随机变量X t t 固定 t T 所有可能的取值构
6、成的集合 称为随机过程的状态空间 记为 S 定义2 1 3 设 X t t T 是随机过程 则 当 固定时 X t 是定义在上T不具 有随机性的普通函数 记为 x t 称为随机 过程的一个样本函数 其图像成为随机过 程的一条样本曲线 轨道或实现 10 2 1 随机过程的定义 例2 1 3 设X t Vcos t t 其中 为 常数 V服从区间 0 1 上的均匀分布 即 1 画出 X t t 的几条样本曲线 2 求 时随机变量X t 的概 率密度函数 3 求 时X t 的分布函数 11 2 1 随机过程的定义 解 1 取 则 取V 0 则 x t 0 取V 1 则x t cos t 这些都是 t
7、 的 确定函数 即随机过程的样本函数 12 2 1 随机过程的定义 2 当t 0时 X 0 V 故X 0 的概率密度函 数就是V的概率密度函数 即 当 时 故 的概 率密度函数为 13 2 1 随机过程的定义 当 时 故 的概率密度函数为 当 时 故 的概率密度函数为 14 2 1 随机过程的定义 3 当 时 不论V 取何值 均有 因此 从而 的分布函数为 15 第2章 随机过程的基本概念 2 1 随机过程的定义 2 2 随机过程的分类和举例 2 3 随机过程的有限维分布函数族 2 4 随机过程的数字特征 2 5 两个随机过程的联合分布和数字特征 2 6 复随机过程 2 7 几类重要的随机过程
8、 16 2 2 随机过程的分类和举例 随机过程可以根据参数集 T 和状态空间 S 是 离散集还是连续 集分为四大类 1 离散参数 离散状态的随机过程 这类过 程的特点是参数集是离散的 同时固 定t T X t 是离散型随机变量即其取值也 是离散的 l例 2 2 1 贝努利过程 考虑抛掷一颗骰子 的试验 设Xn是第n n 1 次抛掷的点数 对于 n 1 2 的不同值 Xn是不同的随机变量 因 而 Xn n 1 构成一随机过程 称为贝 努利过 程 其参数集T 1 2 状态空间 S 1 2 3 4 5 6 17 2 2 随机过程的分类和举例 l例 2 2 2 设有一质点在x轴上作随机游动 在t 0时
9、质 点处于x轴的原点O 在t 1 2 时质 点可以在x轴上正向或反向移动一个单 位 作正向移动一个单位的概率为p 作反 向移动一个单位的概率为q 1 p 在t n时 质点所处的位置为Xn 则 Xn n 1 2 为一随机过程 其参数集T 0 1 2 状 态空间S 2 1 0 1 2 18 2 2 随机过程的分类和举例 2 离散参数 连续状态的随机过程 这类过程的特点是参数集是离散的 对于 固定的t T X t 是连续性随机变量 l例 2 2 3 设Xn n 2 1 0 1 2 是相互独 立同服从标准正态分布的随机变量 则 Xn n 2 1 0 1 2 为一随机过程 其参 数集T 2 1 0 1
10、2 状态空间 S 19 2 2 随机过程的分类和举例 3 连续 参数 离散状态的随机过程 这类过 程的特点是参数集是连续 的 而对 于固定的t T X t 是离散型随机变量 l例2 2 4 Possion过程 设X t 表示在期间 0 t 内到达服务点的顾客数 对于t 0 的不同值 X t 是不同随机变量 因 而 X t t 0 构成一随机过程 其参数集 T 0 状态空间S 0 1 2 20 2 2 随机过程的分类和举例 4 连续 参数 连续 状态的随机过程 这类过 程的特点是参数集是连续 的 而对 于固定的t T X t 是连续 型随机变量 l例2 2 5 设X t Acos t t0 是常
11、数 服从区间 上的均匀 分布 则 X t t 是一随机过程 其参数集T 状态空间S A A 21 第2章 随机过程的基本概念 2 1 随机过程的定义 2 2 随机过程的分类和举例 2 3 随机过程的有限维分布函数族 2 4 随机过程的数字特征 2 5 两个随机过程的联合分布和数字特征 2 6 复随机过程 2 7 几类重要的随机过程 22 2 3 随机过程的有限维分布函数族 定义 2 3 1 设 X t t T 是一个随机过程 对于任意固定的t T X t 是随机变量 称 F t x P X t x x R t T 为随机过程 X t t T 的一维分布函数 对于任意固定的t1 t2 T X t
12、1 X t2 是两个 随机变量 称 F t1 t2 x1 x2 P X t1 x1 X t2 x2 x1 x2 R t1 t2 T 为随机过程的二维分布函数 23 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 一般地 对于任意固定的t1 t2 tn T X t1 X t2 X tn 是n个随机变量 称 F t1 t2 tn x1 x2 xn P X t1 x1 X t2 x2 X tn xn xi R ti T i 1 2 n 为随机过程 X t t T 的n维分布函数 24 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 定义 2 3 2 设 X t t T 是一随机过程 其 一维分布函数 二维分布函数 n维
13、 分布函数 的全体 F F t1 t2 tn x1 x2 xn xi R ti T i 1 2 n n N 称为随机过程 X t t T 的有限维分布函 数族 容易看出 随机过程的有限维分布函数族 具有对称性和相容性 25 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 1 对称性 设 i1 i2 in 是 1 2 n 的任一排列 则 事实上 26 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 2 相容性 设m n 则 事实上 27 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 定义 2 3 3 设 X t t T 是一随机过程 对于任意固定的t1 t2 tn T X t1 X t2 X tn 是n个随机变量 称 ui
14、 R ti T i 1 2 n j 为随机过程 X t t T 的n维特征函数 28 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 称 为随机过程 X t t T 的有限维特征函数 族 例 2 3 1 设X t A Bt t 0 其中A 和B 是相 互独立的随机变量 分别服从正态分布 N 0 1 试求随机过程 X t t 0 的一维和二维分布 29 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 l解 先求一维分布 是正态随机变量 因为 E X t EA tEB 0 D X t DA t2DB 1 t2 所以X t 服从正态分布N 0 1 t2 从而 X t t 0 的一维分布为 X t N 0 1 t2 t
15、0 再求二维分布 从而 30 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 又A B相互独立同服从正态分布 故 A B 服 从二维正态分布 从而 X t1 X t2 也服从二 维正态分布 E X t1 0 E X t2 0 D X t1 1 t12 D X t2 1 t22 cov X t1 X t2 E X t1 X t2 E X t1 E X t2 E A Bt1 A Bt2 1 t1t2 故 X t1 X t2 的均值向量为0 0 0 协方差 矩阵为 31 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 所以随机过程 X t t 0 的二维分布为 X t1 X t2 N 0 B t1 t2 0 32 2
16、3 随机过程的有限维分布函数 族 例 2 3 2 令X t Acost t 其中A是 随机变量 其分布律为 P A i i 1 2 3 试求 1 随机过程 X t t 的一维分布 函数 2 随机变量 X t t 的二维分布 函数 33 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 l解 1 先求 由于 因此 的可能取值为 并且 34 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 于是 再求 由于 因此 只能取0值 于是 35 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 2 因为 36 2 3 随机过程的有限维分布函数 族 所以 37 第2章 随机过程的基本概念 2 1 随机过程的定义 2 2 随机过程的分类和举例 2 3 随机过程的有限维分布函数族 2 4 随机过程的数字特征 2 5 两个随机过程的联合分布和数字特征 2 6 复随机过程 2 7 几类重要的随机过程 38 2 4 随机过程的数字特征 1 随机过程的均值函数 设 X t t T 是一随机过程 是一个随机变量 如果 E X t 存在 记为 mX t 则称mX t t T为 X t t T 的均 值函数 l如果 X t t T 的一维分布函数为F
