《连续型随机变量及其概率密度函数ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续型随机变量及其概率密度函数ppt课件.ppt（85页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 随机变量及其分布 连续型随机变量及其分布 1 有关要点回顾 1 离散型随机变量 随机变量所取的可能值是有限 多个或无限可列个 叫做离散型随机变量 离散型随机变量的分布律为 1 2 非负性 归一性 其中 2 在这个意义 上 我们说 对于离散型随机变量 如果知道了它的分布列 也就知道了该随机变量取值的概率规律 离散型随机变量由它的分布列唯一确定 3 2 连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以 连续地充满某个区间 叫做连续型随机变量 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间 对连续型随机变量 不能象离散型随机变量那样 以指定它取每个值概率的方式 去给出其概率分布 而是通过给出所谓 概率密度
2、函数 的方式来描述其 概率分布 下面 我们将向大家介绍另一种类型的随机变量 连续型随机变量的描述方法 4 第三讲 连续型随机变量及其概率密度 连续随机变量 密度函数及其性质 均匀 指数与正态分布 5 设离散型随机变量X在 a b 内取n个值 x1 a x2 x3 x4 xn b X 即小矩形的面积为 取对应点的概率 x1 a P x2x3 s1 s2 s3 sn xn b 折线下面积之和 X的概率 直方图 1 定义的引出 6 若X为连续型随机变量 由于X在 a b 内连续 取无穷多个值 折线将变为一条光滑曲线 而且 X a P b 由此推出连续 型随机变量 的定义 7 P A 0 A 简称为
3、概率密度或密度 对于随机变量 X 的分布函数 F x 若存在非负 可积函数 f x 使得对任意实数 x 有 则称 X 为连续型随机变量 由定义 称 f x 为 X 的概率密度函数 定义1 P40 定义 密度函数的基本特性 1 f x 0 1 0 1 2 3 4 5 0 判定一个函数 f x 为 某连续型随机变量的 概率密度的充要条件 独点 概率 非负性 规范性 可微性 概率 公式 y O x y f x 面积为1 x1 x2 若 f x 在点 x 处连续 则 P X x0 0 P a X b P a X b P a X b P a X b 几乎不可能事件几乎必然事件 P B 1 B X 取值于
4、 x x x 的概率 其 密度在此区间上的积分 可积 连续型的分布函数必连续 一 连续随机变量及其分布密度 P x11000 所以 不可能事件的概率为零 但概率为零的事件不一定是 不可能事件 同样 必然事件的概率为1 但概率为1的事件不一定是必然 事件 12 若X是连续型随机变量 X a 是不可能事件 则有 若 X 为离散型随机变量 注意 连 续 型 离 散 型 13 分布函数F x 的函数值表示随机变量 X 在右闭无穷 区间 x 上的取值概率 即 只要函数 F x 是随机变量 X 的分布函数 那就必有 不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数 连续变量的分 布函数却是实轴上处处连续的函数 要
5、点 重 申 14 连续随机变量的点概为零 即连续型随机变量 X 在其任一可取点处的取值概率恒等于零 但 离散随机变量 的点概不尽为零 因为后者在其任一可取之点处的取值概 率肯定不为零 并且概率密度 f x 也满足所谓的归一性 也就是 只有连续型随机变量 X 才存在概率密度 f x 它与 分布函数 F x 的相互关系是 要 点 重 申 15 连续变量的点概为零说明 不可能事件的概率为零 但概率为零的事件不尽为不可能事件 连续随机变量 X 在任何区间上的取值概率与区间 的开闭与否无关 它恒等于概率密度在该区间上的积分 即 但离散随机变量 X 在区间上的取值概率与区间的开 与闭有关 区间开时应去掉开
6、点的点概 区间闭时应包括 闭点的点概 例如 P x1 X x2 P x1 X x2 F x2 F x1 P X x1 P x1 X x2 F x2 F x1 要 点 重 申 16 例1 设 求常数K 解由性质 解之得得 17 例2 设连续型随机变量 X 具有概率密度 求 常数A 概率 分布函数 解 18 例3 设连续随机变量 X 的概率密度 解 试求概率 1 2 19 解 练习 得 20 21 22 练习 设随机变量具有概率密度 1 确定常数 2 求的分布函数 3 求 23 解 由得 解得于是的概率密度为 设随机变量具有概率密度 1 确定常数 练习 24 解由得 解得于是的概率密度为 其它 2
7、5 设随机变量具有概率密度 2 求的分布函数 练习 26 解 27 设随机变量具有概率密度 3 求 解 或 练习 28 例4 设随机变量 K 的概率密度为 试求方程 有实根的概率 解 方程要有实根 则根的判别式 0 即有 可见 或 于是 所求的概率为 29 密度函数 例5 连续随机变量X 的分布函数为 解 F x 显然应是 x 的连续函数 于是 由函数在0和1处的 连续性即得 A B B 1 A 可见 A B 1 2 概率 P X 1 3 Aex x 0 F x B 0 x 1 1 Ae x 1 x 1 试求 A B的值 X 的密度函数 P X 1 3 1 P X 1 3 1 F 1 3 1
8、1 2 1 2 ex 2 x 0 0 0 x 1 e x 1 2 x 1 30 练习 31 故有 解 1 因为 X 是连续型随机变量 32 33 34 例6 某药品的有效期 X 以天计算 其概率密度为 解 分布函数 20000 x 100 3 x 0 f x 0 其它 试求 X的分布函数 有效期至少为200天 的概率 35 有效期至少为200天 的概率 P X 200 1 P X 200 1 P X 200 1 F 200 1 9 分布函数法 例6 某药品的有效期 X 以天计算 其概率密度为 20000 x 100 3 x 0 f x 0 其它 试求 X的分布函数 有效期至少为200天 的概率
9、 36 有效期至少为200天 的概率 1 9 密度函数法 P X 200 例6 某药品的有效期 X 以天计算 其概率密度为 20000 x 100 3 x 0 f x 0 其它 试求 X的分布函数 有效期至少为200天 的概率 37 三 三大连续分布密度 指数分布 E 在寿命 可靠性与排队理论中应用广泛且富 无记 忆性 从而赢得 永远年轻 之美誉的分布 均匀分布 R a b 或 U a b 在区间 a b 的任何子区间 c d 内 取值概率 直接等于子区间与母区间的长度比的分布 正态分布 N 2 理论与实践中应用最广 且任何大容量的独立随 机变量之和必然近似服从的理论分布 三大连续分布的名称与
10、符号 38 显然 不同的均匀分布是根据两分布参数 a 和 b 的不同取值加以区分的 1 均匀分布 R a b 若连续随机变量 X 的密度函数具有形式 三 三大连续分布密度 那么就称该随机变量 X 服从均匀分布 也称 X 为均匀分布变量 简称均匀量 并记为 39 特征 区间 a b 上的均匀量 X 落在该区间上 任何长度为 l 的子区间内的概率皆为 O x a b 密度函数 f x 的图象 f x l 任取子区间 40 容易求出 均匀随机量 X 的分布函数为 F x 分布函数F x 的图象 Ox F x a b 1 F x x a b a F x 1 F x 0 41 均匀分布常见于下列情形 如
11、在数值计算中 由于四舍五 入 小数点后 某一位小数引入的误差 例如对小数点后第一位进 行四舍五 入时 那么一般认为误差服从 0 5 0 5 上的均匀分布 再者 假定班车每隔a分钟发出一辆 由于乘客 不了解时间表 到达本站的时间是任意的 具有等 可能性 故可以认为候车时间服从区间 0 a 上 的均匀分布 42 例 某公共汽车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即 7 00 7 15 7 30 7 45 等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间 X 是7 00 到 7 30 之间的均匀 随机变量 试求他候车时间少于5 分钟的概率 解 依题意 以7 00为起点0 以分为单位 43 为使候车时间X少
12、于 5 分钟 乘客必须在 7 10 到 7 15 之间 或在7 25 到 7 30 之间到达车站 所求概率为 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1 3 从上午7时起 每15分钟来一班车 即 7 00 7 15 7 30等时刻有汽车到达汽车站 44 例 设随机变量X R 1 6 求一元二次方程 t 2 Xt 1 0有实根的概率 解 当 X2 4 0时 方程有实根 所求概率为 而X的密度函数为 从而 45 另解 46 例 设随机变量 X 在 2 5 上服从均匀分布 现对 X 进行三次独立观测 试求至少有两次观测值大于3 的 概率 X 的分布密度函数为 设 A 表示 对 X 的观测值大于 3 Y 表
13、示3次独立 观测中观测值大于3的次数 解 则 因而有 47 显然 不同的指数分布仅靠一个分布参数 的不 同取值相互区分 2 指数分布 E 三 三大连续分布密度 若连续随机变量 X 的密度函数具有形式 那么就称该随机变量 X 服从指数分布 也称 X 为指数分布变量 简称指数量 并记为 48 O x 指数分布 密度函数 的图象 指数分布 分布函数 y F x 的图象 O x F x 1 49 当产品的失效是偶然失效时其寿命服从指数分布 在排队论中它被 广泛地用于描绘等待时间 如电话通话时间 各种随机服务系统的服 务时间 等待时间等 在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时 间 指数分布是伽玛分布和
14、威布尔分布的特殊情况 有些系统的 寿命分布也可用指数分布来近似 指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间 如电子产品或动物寿命的分布 一般地 当随机质点流在长 t 的时间内出现的质点数服从参数为 t 的泊松分布时 其相继出现两个质点的事件间就服从参数为 的指 数分布 50 电子元件的寿命X 年 服从参数为3的指数分布 1 求该电子元件寿命超过2年的概率 2 已知该电子元件已使用了1 5年 求它还能使用超过 2年的概率为多少 解 指数分布 Forever Young 51 另例 某元件的寿命服从指数分布 已知其参数 求 3 个这样的元件使用 1000 小时 至 少已有一个损坏的概率 解 由题
15、设知 的分布函数为 由此得到 各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的 用 表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数 52 某元件的寿命服从指数分布 已知其参数 求 3 个这样的元件使用 1000 小时 至 少已有一个损坏的概率 解 各元件的寿命是否超过1000小时是独立的 用 表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数 所求概率为 则 另例 53 显然 不同的正态分布是根据两个分布参 数 和 2 的不同取值加以区别的 3 正态分布 N 2 三 三大连续分布密度 那么就称该随机变量 X 服从正态分布 也称 X 为正态分布变量 简称正态量 并记为 若连续随机变量 X 的密度函数具有
16、形式 54 但每个因素 所起的作用不大 经济学中的股票价格 产品的销量等等 都服从 或近似服从正态分布 正常条件下各种产品的 质量指标 如零件的尺寸 纤维的强度 射击目标的水平或垂直偏差 测量误差 从直方图 我们可以初步 看出 年降雨量近似服从正态分布 用上海99年降雨量的数据画出了频 率直方图 下面是我们用某大学男大学生的身 高的数据画出的频率直方图 可见 男大学生的身高应服从正态分布 除了上面提到的年降雨量和某地区成年男 子的身高 体重外 农作物的产量 小麦的穗长 株高 在自然现象和社会现象中大量的随机变量 都服从或者近似服从正态分布 生物学中同一群体的形态指标 电子元器件的信号噪声 电压 电流 拟合的正态 密度曲线 有很多分布还可以用正态分布近似 而正态分布自身还有很多良好的性质 若影响某一数量指标的随机因素很多 每一因素独立 服从正态分布 55 正态分布密度的性质 1 在 x 处取到最大值 故 f x 以 为对称轴 令 x c x c c 0 分别代入f x 可得 且 f c f c f c f f c f x 为 f x 的两个拐点的横坐标 2 正态分布的密度曲线位于 x 轴
