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1、数学分析电子教案 1 小学奥数平面几何五大定律 1 等积模型 2 鸟头定理 3 蝴蝶定理 4 相似模型 5 燕尾定理 2 一 等积模型 等底等高的两个三角形面积相等 两个三角形高相等 面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等 面积比等于它们的高之比 如右图 夹在一组平行线之间的等积变形 如右图 反之 如果 则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等 长方形和正方形可以看作特殊的 平行四边形 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 两个平行四边形高相等 面积比等于它们的底之比 两个平行四边形底 相等 面积比等于它们的高之比 3 二 鸟头定理 l 两个三角形中有一个角相等
2、或互补 这两个三角形叫做共角三角形 l 共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角 两夹边的乘积之比 l 如图在 ABC中 D E分别AB AC是上的点如图 或D在BA的延长线上 E在 AC上如图 2 则 图 1 图 2 4 三 蝴蝶定理 l 任意四边形中的比例关系 蝴蝶定理 l 梯形中比例关系 梯形蝴蝶定理 l l l S的对应份数为 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型 一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系 另一方面 也 可以得到与面积对应的对角线的比例关系 或者 5 四 相似模型 l 相似三角形的一切对应线段的长度成比例 并且这个
3、比例等于它们的相似比 l 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方 l 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型 给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里 出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 一 金字塔模型 二 沙漏模型 所谓的相似三角形 就是形状相同 大小不同的三角形 只要其形状不改变 不论大小怎样改变它们都相似 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下 6 五 燕尾定理 l 在三角形ABC中 AD BE CF相交于同一点O 那么 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段
4、因为 ABO和 ACO的形 状很象燕子的尾巴 所以这个定理被称为燕尾定理 该定理在许多几何题目 中都有着广泛的运用 它的特殊性在于 它可以存在于任何一个三角形之中 为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 7 8 9 例 2 长方形的面积为36 E F G为各边中点 H为AD 边上任意一点 问阴影部分面积是多少 解析 特殊点法 找的特殊点 把点H与点D重合 那么图形就 可变成上右图 这样阴影部分的面积就是 DEF的面积 根据鸟头定理 则有 即 10 例 3 如图所示 长方形ABCD内的阴 影部分的面积之和为70 AB 8 AD 15 四边形EFGO的面积为多少 解析 利用图形中的包
5、含关系可以先求出三角形AOE DOG和 四边形EFGO的面积之和 以及三角形AOE和DOG的面积之和 进而求出四边形EFGO的面积 由于长方形ABCD的面积为15 8 120 所以三角形BOC的面积为 120 4 30 所以三角形AOE和DOG的面积之和为 又三角形AOE DOG和四边形EFGO的面积之和为 所以四边形EFGO的面积为30 20 10 11 例 4 如图 已知CD 5 DE 7 EF 15 FG 6 线段AB将 图形分成两部分 左边部分面积是38 右边部分面积是65 那么 三角形ADG的面积是多少 解析 连接AF BD 根据题意可知CF 5 7 15 27 DG 7 15 6
6、所以 于是 可得 故三角形ADG的面积是40 可得 故三角形ADG的面积是40 12 13 例 6 如图 平行四边形ABCD BE AB CF 2CB GD 3DC HA 4AD 平行四边形ABCD的面积是2 求平行四边 形ABCD与四边形EFGH的面积比 解析 连接AC BD 根据共角定理 所以 又 同理可得 所以 所以 14 例7 如图所示的四边形的面积等于多少 解析 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形 难以 运用公式直接求面积 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换 因此 原来四边形的面积为12 12 144 也可以用勾股定理 把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转 使长为13的两条边重
7、合 此 时三角形OAB将旋转到三角形 OCD的位置 这样 通过旋转后所 得到的新图形是一个边长为12的正方形 且这个正方形的面积就 是原来四边形的面积 15 例 8 如图所示 ABC中 AB 3 BC 5 以AC为 一边向 ABC外作正方形ACDE 中心为O 求 OBC的面积 解析 如图 将 OAB沿着点O顺时针旋转 到达 OCF 的位置 由于OB OF 所以 BOF是等腰直角三角形 且斜边 BF为5 3 8 所以它的面积为 由于 所以 而 所以 那么B C F三点在一条直线上 根据面积比例模型 OBC的面积为 16 17 18 例 11 如图 平行四边形ABCD的对角线交于点O CEF OE
8、F ODF BOE的面积依次是2 4 4和6 求 求 OCF的面积 求 GCE的面积 解析 根据题意可知 BCD的面积为2 4 4 6 16 那么 BCO和 CDO的面积都是16 2 8 所以 OCF的面积为8 4 4 所以 由于 BCO的面积为8 BOE的面积为6 所以 OCE的面积为8 6 2 根据蝴蝶定理 那么 19 例12 如图 长方形ABCD中 BE EC 2 3 DF FC 1 2 三角形DFG的面 积为2平方厘米 求长方形ABCD的面积 解析 连接AE FE 如右图 又因为 因为BE EC 2 3 DF FC 1 2 所以 又因为 所以 所以长方形ABCD的面积是72平方厘米 2
9、0 例13 如图 四边形ABCD是边长为1的正方形 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求阴影部分的面积 解析 如右图所示 连接AC EF 设AF CE的交点为N 在梯形AEFC中 由于EF AC 1 2 根据梯形蝴蝶定理 其四部分的面 积比为1 2 2 4 所以三角形EFN的面积为 那么 四边形的面积为 可知AC EF且AC 2EF 那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1 4 所 以三角形BEF 的面积为1 8 梯形的面积为3 8 而图中四个空白四边形的面积是相等的 所以图中阴影部分的面积 21 例14 如图 已知正方形ABCD的边长为4 F是边BC的中点 E是边CD上的
10、 点 且DE EC 1 3 AF与BE相交于点G 求 解析 连接AE 延长AF与DC的延长线交于点M 又CE 3 所以EM 7 则GB GE AB EM 4 7 因为F是边BC的中点 所以CM AB 4 所以 22 例 15 如图 ABCD为正方形 AM NB DE FC 1cm且MN 2cm 请问四 边形PQRS的面积为多少 解析 由AB CD 有 所以PC 2PM 所以 又 所以 所以 23 24 25 例 18 如图 面积为1的三角形ABC中 D E F G H I分别是AB BC CA 的三等分点 求阴影部分面积 解析 令BI与CD的交点为M AF与CD的交点为N BI与AF的交点为P BI与 CE的交点为Q 连接AM BN CP 设 份 则 份 份 份 求 所以所以 所以 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 ABC面积的 在 ABC中 根据燕尾定理 26 例 18 如图 面积为1的三角形ABC中 D E F G H I分别是AB BC CA 的三等分点 求阴影部分面积 2 求 在 ABC中 根据燕尾定理 所以 同理 所以 同理另外两个五边形面积是 ABC面积的 在 ABC中 根据燕尾定理 所以 所以 27
