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1、 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 第2章 时域离散信号和系统的 频域分析 2 1 引言 2 2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2 3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式 2 4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 2 5 序列的Z变换 2 6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 1 引言 1 时域分析方法 2 频率分析方法 信号和系统的两种分析方法 本章讲述离散序列的傅里叶变换和z变换 学习信号 与系统的频域分析法 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2 2 1 用
2、DTFT Discrete Time Fourier Transform 缩写字母表 示 2 2 1 序列傅里叶变换的定义 DTFT成立的充分必要条件是 序列x n 满足绝对可和 的条件 即满足下式 2 2 2 单位阶跃序列u n 不满足上式 故其傅里叶变换不 能用定义式直接计算 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 为求DTFT的反变换 用 乘 2 2 1 式两边 并在 内对 进行积分 得到 因此 式中 2 2 4 证明 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 例 2 2 1 设x n RN n 求x n 的DTFT 解 2 2 5 设N 4 幅度与相位随 变化曲线如图2 2 1所示
3、第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 0 图 2 2 1 R4 n 的幅频与相频曲线 图 2 2 1 1 序列R4 n N 4 0 4 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X M为整数 2 2 6 2 2 2 序列傅里叶变换的性质 1 DTFT的周期性 n取整数 因此下式成立 在定义式中 结论 序列的傅里叶变换是频率 的周期函数 周期 是2 在 0 2 4 点上表示x n 的直流分量 是最高频率 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X c n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 线性 那么 设 2 2 7 式中a b为常数
4、 设X e j DTFT x n 那么 2 2 8 2 2 9 3 时移与频移 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 4 DTFT的对称性 1 共轭对称与共轭反对称以及它们的性质 如果序列xe n 满足下式 xe n x e n 2 2 10 则称xe n 为共轭对称序列 将上式两边n用 n代替 并取共轭 得到 x e n xer n jxei n 将xe n 用其实部与虚部表示 xe n xer n jxei n 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 因此得到 xer n xer n 2 2 11 xei n xei n 2 2 12 结论 共轭对称序列 的实部是偶函数 而虚部是奇函
5、 数 类似地 可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo n x o n 2 2 13 并且有 xor n xor n 2 2 14 xoi n xoi n 2 2 15 结论 共轭反对称序列的实部是奇函数 而虚部是偶 函数 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 实部是偶函数 虚部是奇函数 例 2 2 2 试分析x n e j n的对称性 解 将x n 的n用 n代替 再取共轭得到 x n e j n 因此 x n x n 即 x n 是共轭对称序列 将x n 展成实部与虚部 得到 x n cos n j sin n 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 离散时间序列的DTFT的对称性
6、 对于一般序列可表示成 x n xe n xo n xr n jxi n 2 2 18 2 2 19 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 对应的频域函数X ej 也有和上面类似的概念和结论 X ej Xe ej Xo ej XR ej jXI ej 式中Xe ej 与Xo ej 分别称为共轭对称部分和共轭反对 称部分 它们满足 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X DTFT的对称性 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 例 的DTFT为 证明 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 3 实序列的对称性 如果h n 是实序列 其频率函数的共轭反对称部 分 Ho e j DTFT
7、j hi n 为零 故其DTFT只有共轭对称部分He ej 即 H ej He ej 而共轭对称部分He ej 由下式求出 He ej H ej H e j 2 所以 H ej He ej H ej H e j 2 由此推出 H ej H e j 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 结论 实序列的傅立叶变换是共轭对称的 而且 频域函数的实部是偶函数 而虚部是奇函数 用公式表示为 HR ej HR e j HI ej HI e j 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 4 因果实序列的确定 实序列h n 可如下分解 h n he n ho n 其中 he n h n h n 2 ho
8、n h n h n 2 如果h n 是实因果序列 按照上面两式he n 和ho n 可以用下式表示 0 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 实因果序列h n 也可分别用he n 和ho n 表示为 h n he n u n 2 2 29 h n ho n u n h 0 n 2 2 30 2 2 31 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 例 2 2 3 x n anu n 0 a 1 求其偶函数xe n 和奇 函数xo n 解 x n xe n xo n 0 0 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 1 0 4 0 4 5 10 15 例2 2 3图 第2章 时域离散信号和系统
9、的频域分析 X 设 y n x n h n 则 Y e j X e j H e j 2 2 32 5 时域卷积定理 第二 对于线性时不变系统输出的DTFT等于输入信 号的DTFT乘以单位脉冲响应DTFT 该定理表明 第一 两序列卷积的DTFT 等于两序列的DTFT的 乘积 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 设 y n x n h n 6 频域卷积定理 2 2 33 则 7 帕斯维尔 Parseval 定理 帕斯维尔定理告诉我们 信号时域的总能量等于频 域的总能量 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 1 非周期序列的傅里叶变换 DTFT 2 周期序列的傅里叶变换 DTFT 先将周期
10、序列表示成傅里叶级数 DFS 再求 傅里叶级数的傅里叶变换 DFT 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式 2 3 1周期序列的离散傅里叶级数 设是以N为周期的周期序列 离散傅里叶级数DFS Discrete Fourier Series 定义为 2 3 6 式和 2 3 7 式称为一对DFS 是以N为周期的 2 3 6 2 3 7 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 3 7 式表明将周期序列分解成N次谐波 第k个 谐波频率为 k 2 N k k 0 1 2 N 1 幅度为 其基波分量的频率是2 N 幅度是 第2章 时域离散信号
11、和系统的频域分析 X 重要公式 k m n 均为整数 比较 证 明 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 解 按照 2 3 6 式 例 2 3 1设x n R 4 n 将x n 以N 8为周期 进 行周期延拓 得到如图 2 3 1 a 所示的周期序列 周期为8 求 的DFS 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 其幅度特性 如图2 3 1 b 所示 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 1 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 4 图 2 3 1 例2 3 1图 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 傅里叶变换 离散非周期
12、周期连续 周期序列的离散傅立叶级数 离散周期 周期离散 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 例2 2 1与例2 3 1比较 时域 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 1 非周期离散信号 周期离散信号 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 当 时 两者相同 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 4 0 4 频域 连续周期信号 离散周期信号 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 1 非周期序列的傅里叶变换 DTFT 2 周期序列的傅里叶级数 DFS 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 总结 四种傅里叶变换的比较 四类信号 1 非周期连续信号 2 周期连续信号
13、3 非周期离散信号 4 周期离散信号 对应这四类信号分别有四种形式的傅里叶变化 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 1 非周期连续时间信号的傅里叶变换 非周期连续时间信号 的傅里叶变换对如下 时域的非周期性导致频域的连续性 时域的连续性 导致频域的非周期性 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 周期连续时间信号的傅里叶变换 周期为 的周期性连续时间信号 的傅里叶变换对 如下 时域的周期性导致频域的离散化 时域的连续性导致 频域的非周期性 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 非周期离散时间时间 信号的傅里叶变换变换 就是前面讨论讨论 的序列傅里叶变换变换 DTFT 序列傅里叶
14、变换变换 公式重 写如下 3 非周期离散时间信号的傅里叶变换 时域的非周期性导致频域的连续性 时域的离散性导 致频域的周期性 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 4 周期离散时间信号的傅里叶变换 时域的周期性导致频域的离散性 时域的离散性导致 频域的周期性 这就是离散傅立叶级数 DFS 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 1 非周期序列的傅里叶变换 DTFT 2 周期序列的傅里叶变换 DTFT 先将周期序列表示成傅里叶级数 DFS 再求 傅里叶级数的傅里叶变换 DFT 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 3 2 周期序列的傅里叶变换表示式 利用 可以计算任意周期序列的DT
15、FT 将 当作常数 用冲激函数表示 的傅里叶变换 先将周期序列 展成傅里叶级数 证明 其中 且 为有理数 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 周期序列 的傅里叶变换为 将 代入 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 3 10 式中 将 k 与 rN 合并 得 是 的离散傅里叶级数 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 单位阶跃序列的傅里叶变换 上式两边做DTFT 得 整理得 单位阶跃序列不满足 绝对可和条件 不能 直接用定义计算傅里 叶变换 表2 3 2 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 对第一式进行DTFT 得到 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 例 2 3
16、 2求例2 3 1中周期序列的DTFT 将例2 3 1中得到的 代入 2 3 10 式中得到 解 有限长序列 N 4 的DTFT 比较周期序列的级数 DFS k 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 1 0 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 例 2 3 3令 2 0为有理数 求其 DTFT 解 将 用欧拉公式展开 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 上式表明cos 0n的DTFT 是在 0处的单位冲 激函数 强度为 且以2 为周期进行延拓 如图 2 3 4所示 图 2 3 4 cos 0n的DTFT 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 2 4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 时域离散信号 数值上 x n x t t nT xa nT 采样信号 模拟信号 FT DTFT FT 1 5节 2 4节 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 这里t与 的域均在 之间 2 4 1 2 4 2 模拟信号xa t 的一对傅里叶变换式用下面公式描 述 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 X 连续信号和采
