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1、1 概率方法在不等式证明中的应用研究摘 要： 不等式的证明方法是多种多样的，本文就利用概率论的思想来证明不等式给出了解题方法，把概率论的思想渗透到不等式的证明中，有助于拓宽接替思路，提高解题能力，理解数学各科间的紧密联系，通过利用概率论的基本性质，随机概率模型，函数的凸凹性，论述不等式证明中的一些概率方法，总结应用概率论的思想证明不等式的方法与技巧。关键词： 概率 随机变量 凸函数 jensen 不等式Probability method in inequality proof applied research Baidan Anhui Normal university mathematic
2、s and computer science institute Abstract: The inequality proof method is many and varied, this article using the theory of probability thought proved that the inequality has given the problem solving method, seeps the theory of probability thought to the inequality proof, is helpful in expands repl
3、aces the mentality, sharpens the problem solving ability, understood that mathematics during various branches the close relation, through the use theory of probabilitys basic property, the stochastic probabilistic model, function convex-concave, in the elaboration inequality proofs some probability
4、method, summarizes the applied probability thought proof inequality method and the skill. Key word: Probability Random variable convex function jensen inequality 引 言概率思想广泛应用于其它学科， 用概率方法来解决不等式证明的问题， 是概率论研究的重要课题之一。 概率方法灵活多样， 只要概率模型构造恰当， 它可以应用于多种数学问题中。 不等式证明中一些不太好解决的问题， 用概率知识去解是很方便的， 这样我们就能在不等式证明中找到概率的
5、应用。 这样的探讨对概率论的发展具有很大意义，对教学工作者的教学也有着一定的作用。针对不同的不等式问题， 构造适当的概率模型十分重要， 用概率方法来证明一些不等式， 不但可以简化证明， 而且可以为学习高等属性提供概率论背景， 有机结合不同学科之间的关系。 概率方法在不等式证明中的应用一直为众多学者所2 关注， 许多学者在这方面做了大量的研究工作， 本文在前人研究工作的基础上对此进行归纳总结。1 构造概率模型证明不等式有些不等式的证明往往比较复杂 , 而且具体的直观含义也比较抽象 . 如果能够建立起适当的概率模型 , 赋以一些随机事件或随机变量的具体含义 , 再利用概率论的理论加以证明 , 则常
6、常能使证明过程得到简化 . 同时还可以为抽象的数学问题提供具体的概率背景 , 沟通各数学分支之间的联系 . 1.1 构造离散型概率模型证明不等式例 1 （ holder 不等式） 设 （ x 1i , , imx ） ,i=1, ,n 是 n 组正数， 0jp ,j=1, ,n,且 1.1 npp . 则nnpmjpmjjpmjjpnjmjpjpj xxxxx11211121 .2121(1) 证明 设离散型随机变量 的概率分布为P（ = ia ） = ip ， ia 0,i=1,2, ,n 则 = inii ap1 . 因为 lnx 是（ 0， + ）上的上凸函数，故有Ln(inii ap1
7、 )=ln( ) ln =inii ap1ln=ln(npnp aa .11 ) 即有npnp aa .11inii ap1 (2) 现取mjjj xxa1111 /， mjnjnjn xxa1/, 以此代入（ 2） ，得nimjijijipmjnjpmjjpnjpjpjxxpxxxxxnn1111 121 .121上式两端关于 j 求和，得：3 1.11 1111211121niinimj ijijipmjnjpmjjpnjpjpjmj pxxpxxxxxnn所以结论成立 .(2) 式是赫尔德不等式的最一般的形式事实上 , 对任一对共扼指数： p1,q1,111 qp,w 我们只要在（ 2）
8、式中取n=2, qppp 1,1 21qjjpjj xxxx 21 , j=1,1, m 便得到赫尔德不等式的最常用的形式：qmjqjpmjpjmjjj yxyx11111 (3) 特别，当 p=q=2时 , (3) 式就是著名的许瓦兹 (Schwarz) 不等式 : 211221121miimiimiii yxyx例 2 设 0ija ，且满足niija111njija ，又设 1x ， nx 是 n 个非负实数，iy =njjij xa1 ,i=1, ,n 则21121niiy21121niix证明 设离散型随机变量 的概率分布为：P( = jx )= ija ,j=1,2, ,n 则 =
9、njjij xa1 = iy . 因为 21 x 是下凸函数，故有4 njjiji xay12212212212 1111上式两端关于 i 求和 , 即得 : 21121 12122112 111nijninjjijnii xxay1.2 构造连续型概率模型证明不等式例 3 设 f (x ) 是区间 a, b 上的下凸函数 , 则)()(1)2( xdxfabbafba ) 证明 : 设连续型随机变量的分布密度为baxbaxabx,0,1)(= 21)( badxabxdxxxba而babadxxfabdxabxfdxxxff )(11)()()()(因为 f (x ) 在区间 a, b 上为
10、下凸函数 , 所以 f )( )(f即)()(1)2( xdxfabbafba ) 特别地 , 当 f (x ) = xe 时，有abba eeabe1)(21例 4 设 f(x) 是 a,b 上不恒为零的正实值连续函数 , 则有5 2)cos)(baxdxxf+2)sin)(baxdxxf 2)(badxxf证明 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为，其他）0,)()(baxdxxfxfxgba则 E(cosX)= baxdxxg cos)(=babadxxfxdxxf )(cos)(E(sinX)= baxdxxg sin)(=babadxxfxdxxf )(cos)(E(sin 2 X
11、)= babadxxfxdxxf )(sin)( 2E(cos 2 X)= babadxxfxdxxf )(cos)( 2由 )()(22 XX得 )(sin)(cos)(sin)(cos2222 XXXX即2)cos)(baxdxxf+2)sin)(baxdxxf 2)(badxxf1.3 构造随机型概率模型证明不等式例 5 设函数 x(t)0 在 (0,1) 内连续，且 0 ，则110101 )()( dttxdttx证明 建立随机模型 , 设某仪器向区间 (0,+ ) 内发射 A粒子的时间 T 在 (0, 1) 内均匀分布 , 则其概率密度为 f(t)=1, t (0, 1), 而以 X
12、 (T ) 表记所发射的粒子在 (0, + ) 内的位置 . 再定义函数 g(y)= lny 与 y= cx (x 0, x R ). 因为 g(y)=lny 为凸函数，故有 E(g(y) g(EY), 这里6 g(EY)=ln(EY)=ln(dttfty )()()=ln(10)( dttxc) E(g(Y)=1010)(ln)(ln)()( dttxcdttxdttfyg c故有10)(ln dttxc= E(g(Y) g(EY)= 10)(ln dttxc取 c= 0, 有10)(ln dttx )(ln(110dttx=110)(ln dttx取 c= 0 在 (a,b) 内连续时（仍
13、有 0） ，有1)(1(badttxab（1)(1badttxab其离散形式为 : 设 i 0,i=1, ,n, 0 , 则有ninianan111111 )1()1(例 6 证明Nn nn1 )!1( 2）记1,1,)1(,111 nnNNNnnNNnnN fQPpQfP 从而则的充要条件为Nnnp1)1(=0，若取 kp = 1kk，则有1)11).(311()211(11 nnnnfnnn1 )!1(n nn另一方面注意到：1)1(nnp1)11(n nn 0111n n，所以 1)!1(1n nn ，从而 1)!1(1Nn nn 。在证明不等式的过程中，除了构造适当的概率模型这种方法外
14、，我们还可以利用概率的性质来证明不等式， 包括概率的期望， 方差以及我们常接触和使用的jensen 不等式 . 2 利用概率的性质证明不等式在利用概率性质证明不等式时， 关键要熟悉概率的性质， 在证明时选择适当的性质，在解题中加以灵活运用2.1 利用期望的性质证明不等式例 1 证明niiiniinii banba12211)()(2分析 由数学期望的性质： )( 及当随机变量 与 相互独立时有 )( ，可得 0)(2，从而222。证明 设随机变量随机变量 与 相互独立， 的概率分部为 p( = ia ） = n18 (i=1,2, ,n), 的 概 率 分 部 为 p( = ib ） = n1
15、， (i=1,2, ,n). 则E = n1 niia1 ,E = n1 niib1 ,niian122 1,niibn122 1, 又 因 为222，从而niniiiniinii banban1 122112 )(1)(12即niiininiiiniinii banbanba1221 12211)()()(2例 2 设 0ix (i=1,2, ,n), 则有 nxxxxxx nnn. 2121证明 建立随机模型 , 设随机变量 的概率分布为 p( = ix )= n1, 其中0ix ,i=1,1, ,n. 由数学期望的性质：E(ln ) )ln( , ininii xnxn111lnln1, ).ln(.ln 2121 n xxxxxx nn n, 即 nxxxxxx nnn . 21212.2 利用方差的性质证明不等式例 2 证明 1221)(nnnnnn acac，其中 nc 0且 1nnc=1. 分析 根据随机变量方差公式22 )(D及 0D 可得22)(. 证 明 构 造 随 机 变 量 概 率 分 布 为 p( = na )= nc (n=1,2, , nc 0, 1nnc=1.), 则当 的期望存在时， E = 1nnnac,2= 12nnn ac, 由22)(，9 得1221)(nnnnnn a
