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1、 2019-2020学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷一、选择题1.欧拉公式：因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然指数的底e，圆周率，虚数单位i，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合，则集合A不含无理数的子集共有( )A. 8个B. 7个C. 4个D. 3个【答案】A【分析】依题意，即求集合的子集个数，根据含有个元素的集合的子集个数为计算可得.【详解】解：，、为无理数则求集合不含无理数的子集个数，即求集合的子集个数.因为集合中含有个元素，则其子集有个故选：【点睛】本题考查集合的子集个数的计算，属于基础题.2.某学生5次考试的成绩(单位:分
2、)分别为85，67，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，该学生这次考试成绩的中位数为，则所以平均数：，可知不可能为本题正确选项：【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.3.若，且，则最小值是( )A. 4B. C. 5D. 【答案】C【分析】由条件可得，可得，展开后，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值.【详解】正数，满足，即为，可得
3、，当且仅当，可得最小值为5.故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.“”是圆锥曲线的焦距与实数无关的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A分析】将曲线分为椭圆或双曲线两类，利用椭圆或双曲线的性质列不等式，由此求得的取值范围，进而判断出充分、必要条件.【详解】若圆锥曲线，即为椭圆，则，即焦距与无关.此时，解得.若圆锥曲线为双曲线，则，与无关.此时，解得.所以当时，圆锥曲线的焦距与实数无关.所以“”是圆锥曲线的焦距与实数无关的充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质
4、，考查分类讨论的数学思想方法，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.5.已知数列满足：，则( )A. 16B. 25C. 28D. 33【答案】C【分析】依次递推求出得解.【详解】n=1时，n=2时，n=3时，n=4时，n=5时，.故选：C【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【分析】画出图形的轴截
5、面图，则为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴，利用直角三角形的边角关系计算可得.【详解】解：画出图形的轴截面如图所示，则为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴；依题意，则在中有即椭圆中，故选：【点睛】本题考查了圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题7.如图，在复平面内点P对应的复数，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】B【分析】由题意求得点对应的复数，则其虚部可求【详解】设点对应的向量为，向量绕坐标原点逆时针旋转得到对应的复数为，点对应的复数的虚部为故选：【点睛】本题
6、考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题8.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，若点坐标为，则（ ）A. 0B. 2C. 6D. 10【答案】D【分析】由题得和，和，都关于点对称，所以，再求的值得解.【详解】函数与的所有交点从左往右依次记为、和，且和，和，都关于点对称，如图所示；则，所以.故选D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图像，考查函数的图像和性质，考查平面向量的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且满足若，为函数的导函数，则( )A. B. C. D. 【答案】A【分析】通过数列各项都为正数的等
7、比数列，且，可以求出，而即求数列的前项和，通过错位相减法求出即可【详解】解：设等比数列的公比为，且；或（舍，令，则，得：，即故选：【点睛】本题考查了数列求和，以及导数的运用，综合性较强，属于难题10.已知A,B是半径为的球面上的两点，过AB作相互垂直的两个平面，若截该球所得的两个截面的面积之和为，则线段的长度是A. 4B. C. 2D. 【答案】A【解析】设球心为，两个截面圆的圆心分别为，线段的中点为，则四边形为矩形设圆的半径分别为，则由可得，则选A.11.设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 5【答
8、案】B【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,所以 是直角三角形，且 ,所以由勾股定理，得，得,故选B.【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，分类讨论思想，属于中档题，首先对是的一个四等分点进行分类讨论，经过讨论，只有成立，经过分析，发现证明了 是直角三角形，且，因此可利用勾股定理得到之间的关系，进而得到的值，综合分析发现得到 是直角三角形是解决问题的关键.12.设函数由方程到确定，对于函数给出下列命题：对任意，都有恒成立：，使得且同时成立；对
9、于任意恒成立；对任意，都有恒成立.其中正确的命题共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【分析】分四类情况进行讨论，画出相对应的函数图象，由函数图象判断所给命题的真假性【详解】由方程知，当x0且y0时，方程为y21；当x0且y0时，方程为y21，不成立；当x0且y0时，方程为y21；当x0且y0时，方程为y21；作出函数f（x）的图象如图所示，对于，f（x）是定义域R上的单调减函数，则对任意x1，x2R，x1x2，都有恒成立，正确；对于，假设点（a,b）在第一象限，则点(b,a)也在第一象限，所以，该方程组没有实数解，所以该情况不可能；假设点（a,b）在第四象限，则点(b,
10、a)在第二象限，所以，该方程组没有实数解，所以该种情况不可能；同理点（a,b）在第二象限，则点(b,a)在第四象限，也不可能.故该命题是假命题.对于，由图形知，对于任意xR，有f（x）x，即2f（x）+x0恒成立，正确；对于，不妨令t，则tf（x1）+（1t）f（x2）ftx1+（1t）x20为f（），不是恒成立，所以错误综上知，正确的命题序号是故选：B【点睛】本题主要考查了含有绝对值的函数图象与性质的应用问题，也考查了圆锥曲线的知识与数形结合思想，是中档题二、填空题13.已知是夹角为的两个单位向量，若则_.【答案】1【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求出m的值
11、【详解】已知，是夹角为60的两个单位向量，11cos60而 ，若，则 （）（m）mm1m，则m1，故答案为：1【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题14.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是_【答案】0.7【分析】可以从反面考虑，春节和端午节至少有一个被选中的反面为两个节日都没被选中，用减去两个节日都没被选中的概率即可得到春节和端午节至少有一个被选中的概率【详解】解：设事件春节和端午节
12、至少有一个被选中，则两个节日都没被选中，所以故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的概率计算、考查事件与其对立事件的概率关系、计算原理等知识，属于基础题15.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问前三天走了_里.【答案】336【分析】由等比数例前项和公式即可求解.【详解】由题意得等比数列，公比，解得，.故答案为：点睛】本题主要考查等比数列前项和公式，需熟记公式，属于基础题.16.
13、已知直线是曲线的一条切线，则的取值范围是_.【答案】【分析】根据题意，求出曲线的切线方程，再根据对应关系表示出和值，表示出，再采用构造函数求导的方法可求得的范围【详解】设，切点为，所以，所以令，当时，单调递增；当时，单调递减又，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数切线方程的求法，利用导数来求函数的值域的问题，需熟记曲线切线方程为三、解答题17.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE的长度；
14、（2）求出隧道CD的长度.【答案】（1）（2）分析】（1）由已知在AEF中，由正弦定理即可解得AE的值；（2）由已知可得BAE90，在RtABE中，可求BE的值，进而可求CDBEBCDE的值【详解】（1）由已知可得EF2，F45，EAF604515，在AEF中，由正弦定理得：，即，解得；（2）由已知可得BAE180306090，在RtABE中，所以隧道长度【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.如图，等腰梯形中，E为CD中点，将沿AE折到的位置（1）证明：；（2）当折叠过程中所得四棱锥体积取最大值时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）在平面图中，连BE，DB，设DB交AE于F，要证，转证平面，即证；（2）要使四棱锥体积最大，则需要平面垂直于底
