《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：6.5直接证明与间接证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：6.5直接证明与间接证明（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 直接证明与间接证明 教材基础回顾 1 直接证明 1 综合法 定义 一般地 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的 最后推导出所要证明 的结论成立 这种证明方法叫做综合法 推理论证 框图表示 其中P表示已知条件 已有的定义 定理 公理等 Q表示所要证明的结论 思维过程 由因导果 2 分析法 定义 一般地 从 出发 逐步寻求使它 成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公 理等 为止 这种证明方法叫做分析法 要证明的结论 充分条件 框图表示 其中Q表示要证明的 结论 思维过程 执果索因 得到一个明显显成立的条 件 2 间接证明
2、反证法 一般地 假设原命题 即在原命题的条 件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明 的证明方法 不成立 矛盾 原命题成立 金榜状元笔记 证明方法的应用策略 1 分析法与综合法的应用特点 对较复杂的问题 常常先从结论进行分析 寻求结论与条 件的关系 找到解题思路 再运用综合法证明 或两种方法交叉使用 2 分析法证明的注意点 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即证 只需证 3 利用反证法证明的特点 要假设结论错误 并用假设的命题进行推理 如果没有用假设 命题推理而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 教材母题变式 1 若a b c是不全相等的实数 求证 a2
3、b2 c2 ab bc ca 证明过程如下 因为a b c R 所以a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 又因为a b c不全相等 所以以上三式至少有一个等号不成立 所以将以上三式相加得2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 所以a2 b2 c2 ab bc ca 此证法是 A 分析法 B 综合法 C 分析法与综合法并用D 反证法 解析 选B 由因导果是综合法 2 分析法又称执果索因法 若用分析法证明 已知 a b c 且a b c 0 求证 索的因应该是 A a b 0B a c 0 C a b a c 0D a b a c b c a b c 0 得b a c a
4、 0 c 0 要证 只需证 a c 2 ac0 只需证a a c a c a c 0 只需证 a a c b a c 0 只需证 a c a b 0 3 用反证法证明命题 三角形三个内角至少有一个不大于60 时 应假设 A 三个内角都不大于60 B 三个内角都大于60 C 三个内角至多有一个大于60 D 三个内角至多有两个大于60 解析 选B 三角形三个内角至少有一个不大于60 的对立面为三个内角都大于60 母题变式溯源 题题号知识识点源自教材 1综综合法P85 例1 2分析法P87 例2 3反证证法P91 练习练习 T1 考向一 综合法的应用 高频考点 命 题题 直接证证明与间间接证证明一般
5、考查查以 不等式 数列 解析几何 立体 几何 函数 三角函数为为背景的 证证明题题 一般以解答题题形式出现现 角 度 1 与不等式有关的证证明 2 与数列有关的证证明 典例1 1 2018 宜昌模拟 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 ab bc ca 2 设数列 an 的前n项和为Sn 满足2Sn an 1 2n 1 1 n N 且a1 a2 5 a3成等差数列 世纪金榜导学号12560196 求a1的值 求数列 an 的通项公式 证明 对一切正整数n 有 解析 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca得 a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b
6、 c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 即ab bc ca 当且仅当 a b c 时等号成立 因为 当且仅当 a2 b2 c2 时等号成立 故 a b c 2 a b c 即 a b c 所以 1 2 当n 1时 2a1 a2 4 1 a2 3 当n 2时 2 a1 a2 a3 8 1 a3 7 又因为a1 a2 5 a3成等差数列 所以a1 a3 2 a2 5 解得a1 1 因为2Sn an 1 2n 1 1 所以当n 2时 有2Sn 1 an 2n 1 两式相减整理得an 1 3an 2n 则 即 又因为 2 3 所以 是首项为3 公比为
7、 的等比数列 所以 即an 3n 2n n 1时也适合此式 所以an 3n 2n 由 得 当n 2时 2 即3n 2n 2n 所以 所以 一题多变 例 1 条件不变 证明a2 b2 c2 证明 因为a b c 1 所以1 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 因为2ab a2 b2 2bc b2 c2 2ac a2 c2 所以2ab 2bc 2ac 2 a2 b2 c2 所以1 a2 b2 c2 2 a2 b2 c2 即a2 b2 c2 技法点拨 综合法证明题的一般规律 1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理 方法 即从题设中的已
8、知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列中间推理 最后 导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 同源异考 金榜原创 命题点1 与不等式有关的证明 1 设a b c都是正数 求证 证明 因为a b c都是正数 所以 都是正数 所以 2c 当且仅当a b时等号成立 2a 当且仅当b c时等号成立 2b 当且仅当a c时等号成立 三式相加 得2 2 a b c 即 a b c 当且仅当a b c时等号成立 命题点2 与数列有关的证明 2 已知a1 1 an 2an 1 1 n 2 世纪金榜导学号12560197 1 证明 an 1 是等比数列并求通项an 2 证明
9、证明 1 因为an 2an 1 1 所以an 1 2 an 1 1 又 因为a1 1 a1 1 2 0 所以数列 an 1 是以2为首项 2 为公比的等比数列 所以an 1 2n即an 2n 1 2 因为 所以 考向二 分析法的应用 典例2 2016 全国卷 已知函数f x M为不等式f x 2的解集 1 求M 2 证明 当a b M时 a b 1 ab 解析 1 当x 时 f x x x 2x 2 解得 1 x 当 x 时 f x x x 1 时 f x 2x 2 解得 x 1 综上可得 M x 1 x0 即a2b2 1 a2 b2 则a2b2 2ab 1 a2 2ab b2 则 ab 1
10、2 a b 2 即 a b ab 1 一题多变 1 若本例 2 中a b 1 证明 证明 要证 只需证 只需证a b 1 ab 0 即证 a 1 1 b 1 b 1 所以a 1 0 1 b 0 即 a 1 1 b 0 证明 证明 因为a 0 所以要证 只需证 即证2a 2 2 4 a 1 只需证 a 1 即证a a 2 a 1 2 即证0 1 而00 证明 世纪金榜导学号12560198 证明 要证 a 2 只需证 2 因为a 0 所以 2 0 所以只需证 即2 2 8 4 只需证a 2 因为a 0 a 2显然成立 所以原不等式成立 2 已知各项均不相等的等差数列 an 的前四项和为14 且a
11、1 a3 a7恰为等比数列 bn 的前三项 世纪金榜导学号12560199 1 分别求数列 an bn 的前n项和Sn Tn 2 记数列 anbn 的前n项和为Kn 设cn 求证 cn 1 cn n N 解析 1 设公差为d 则 解得d 1或d 0 舍去 a1 2 所以an n 1 Sn 又因为a1 2 d 1 所以a3 4 即b2 4 所以等比数列 bn 的首项为b1 2 公比q 2 所以bn 2n Tn 2n 1 2 2 因为Kn 2 21 3 22 n 1 2n 故2Kn 2 22 3 23 n 2n n 1 2n 1 得 Kn 2 21 22 23 2n n 1 2n 1 所以Kn n
12、 2n 1 则cn 要证明cn 1 cn n N 只需证cn 1 cn 0 即证 显然成立 所以cn 1 cn n N 考向三 反证法的应用 典例3 等差数列 an 的前n项和为Sn a1 1 S3 9 3 世纪金榜导学号12560200 1 求数列 an 的通项an与前n项和Sn 2 设bn n N 求证 数列 bn 中任意不同的三 项都不可能成为等比数列 解析 1 由已知得 所以d 2 故an 2n 1 Sn n n 2 由 1 得bn n 假设数列 bn 中存在三项bp bq br p q r互不相等 成等比数列 则bq2 bpbr 即 q 2 p r 所以 q2 pr 2q p r 0
13、 因为p q r N 所以 所以 pr p r 2 0 所以p r 这与p r矛盾 所以数列 bn 中任意不同 的三项都不可能成为等比数列 误区警示 利用反证法证明问题时 要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证 明的定理 否则 将出现循环论证的错误 技法点拨 反证法的应用策略 1 反证法的适用范围 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法求证 2 反证法关键 是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设 矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等方面 同源异考 金榜原创 1 实数a b c不全为0等价于 A a b c均不为0 B a b c中至
14、多有一个为0 C a b c中至少有一个为0 D a b c中至少有一个不为0 解析 选D 不全为0 的含义是至少有一个不为0 2 设 an 是公比为q的等比数列 世纪金榜导学号12560201 1 推导 an 的前n项和公式 2 设q 1 证明数列 an 1 不是等比数列 解析 1 设 an 的前n项和为Sn 则Sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qSn a1q a1q2 a1qn 1 a1qn 两式相减得 1 q Sn a1 a1qn a1 1 qn 当q 1时 当q 1时 Sn a1 a1 a1 na1 所以 2 假设数列 an 1 是等比数列 则 a1 1 a3 1 a2 1
15、2 即a1a3 a1 a3 1 2a2 1 因为 an 是等比数列 公比为q 所以a1a3 a2 a1q a3 a1q2 所以a1 1 q2 2a1q 即q2 2q 1 0 q 1 2 0 q 1 这与已知q 1矛盾 所以假设不成立 故数列 an 1 不是等比数列 核心素养系列 三十九 逻辑推理 不等式证明中的核心素养 通过不等式的证明掌握逻辑推理的基本形式 表述论证的过程 能理解数学知识之 间的联系 对式子进行等价变形 进而通过证明不等式 体验逻辑推理的核心素养 典例 若a b c是不全相等的正数 求证 证明 要证 只需证lg lg abc 只需证 abc 因为a b c是不全相等的正数 所以 所以显然有 abc成立 原 不等式得证
