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1、弹性金属板在交变电磁场下的振动分析1.引言在电磁场环境中工作的弹性构件，因受到电磁场等因素的干扰，一般都会产生相应的振动，从而影响着系统的运行。国内外相关学者在这方面作了不少的研究。大家在铁磁介质磁弹性理论模型的建立上做了大量的工作，比较典型的有：Y.H.Pao和C.S.Yeh采用了公理化的方法，通过预先引入了Maxwell应力张量，在考虑非线性变形及非线性耦合后导出了作用在铁磁体上磁体力与边界磁力的磁弹性力学模型：F.C.Moon，A.C.Eringen和国内学者周又和等建立了一些关于铁磁介质电磁弹性力学的理论模型。一些学者从电磁热弹性理论的基本方程出发，推导了良导体在磁场作用下的耦合振动方
2、程。阐述了导出了麦克斯韦尔应力张量和电磁动量形式耦合动力学方程的意义，对几个电磁固体耦合动力学的典型问题进行了分析。在给出了电磁固体耦合方程的基础上，对磁场中弹性圆柱、弹性螺管和短路下电接触触头的振动问题进行了研究。磁弹性振动方面的早期研究中，学者们曾一度主要集中在各参数对振动频率的影响上。采用Maxwell应力张量研究了简支梁式板在横向磁场中的振动问题，在忽略涡电流与材料内部磁场相互影响的情况下，导出了磁场中梁式板的振动复频率及临界磁场值的近似表达式。给出了考虑磁化和涡电流与力学效应耦合影响的情况下，横向磁场中自由振动导电铁磁梁式板的基本方程，并讨论了电导率、磁化率和板厚等参数以及支承条件对
3、振动频率及临界磁场的影响。我在本文中通过电动力学方程与电磁力表达式等基本方程，推导了导电薄板电动力学方程和电磁力表达式，并进一步导出薄板的非线性磁弹性振动微分方程和非线性振动方程。2薄板的电动力学方程Maxwell电磁方程组是研究电磁现象的最基本方程，电磁学定律的微分形式被称为 Maxwell方程组。考虑材料为非极化、非磁化的良导电体，在图1(图中h为板厚)所示笛卡儿直角坐标系(x,y,z)下导电薄板内部介质各电磁量满足的麦克斯韦(Maxwell)方程为：磁通量守恒定律： （2.1）Gauss定律： （2.2）Faraday电磁感应定律： （2.3）广义Ampere定律： （2.4） （2.5
4、）电磁本构关系式： （2.6） （2.7）式中为电磁应强度矢量为磁场强度矢量，为电流密度矢量为电位移矢量，为电场强度适量为导体内部各点的位移矢量，为导电率，为真空介电常数，为真空磁导电率，t为时间变量，算子。图 1-1 直角坐标系中的薄板当薄板在外磁场环境下运动时，体内的各电磁量可写为： （2.8）式为为扰动后激发产生的各电磁矢量。并令： （2.9）而板内各点的位移可表示为： （2.10）式中分别为中面内点位移量，。这样，联立（2.3），（2.,4）和（2.7）式，并进行线性化处理（略去扰动电磁间和电磁量，位移量间的二次及以上项），并认为外加磁场不随磁场空间坐标变化，可得： （2.11）再将上
5、面三式分别对z从和进行积分，最终得到如下导电薄板的电动力方程： （2.12）式中，分别为表面处的扰动磁感应强度值。3.薄板的电磁力表达式变形运动物体在电磁场中所受洛伦兹力（单位体积电磁力）的矢量表达式为： （3.1） 由此，利用式，并考虑式，则在线性处理的基础上沿z从进行积分最终得到薄板单位面积上的所受的电磁力和力矩表达式为：（3.2）4.薄板的非线性磁弹性振动方程考虑机械场与电磁场的相互耦合作用，采用基尔霍夫基本假设，应用虚功原理可得到电磁场环境下导电薄板的非线性磁弹性振动方程为：（4.1）式中为相应的中面内力，为弯曲内力为机械载荷，为材料密度，算子。物理方程为： （4.2）几何方程： （4
6、.3）式中：为拉伸刚度，为弯曲刚度，E为弹性模量，v为泊松系数。联立（2.12），（3.2）及（4.1）式及物理，几何方程，即构成完整的描述薄板运动的非线性电磁弹性基本方程组。作为两种特殊情况，分别讨论纵向和横向磁场环境中班的磁弹性振动方程。当仅为纵向磁场时，电磁力（力矩）的表达式将简化为： （4.4）将式，并考虑相应的几何，物理方程和电动力学方程，可得到如下以位移形式表示的纵向磁场中板的磁弹性振动方程组： （4.5）式中微分算子为：。当仅为横向磁场时，电磁学（力矩）的表达式将简化为： （4.6）同样，将式带入并考虑相应的几何，物理方程和电动学方程，可以得到如下以位移形式表示的横向磁场环境中板
7、的磁弹性振动方程组： （4.7）5.电磁场中弹性板的非线性振动方程对于外加磁场环境中受法向机械载荷作用的导电金属薄板，考虑机械场与电磁场的相互耦合作用，在前面的基础上只考虑几何非线性的影响，可得直角坐标系Oxyz下薄板磁弹性控制振动方程 （5.1）式中为相应方向的中面内力，为法向电磁力和机械力，为电磁力矩，w为板中面内各点沿坐标z方向的位移，为弯曲刚度，微分算子，E为弹性模量，v为泊松系数。为材料密度，h为板厚，t为时间变量。考虑材料为线性各向同性的良导电体，在略去磁化因素影响情况下，电磁场与机械场相互作用而在体内产生的洛仑兹力矢量表达式为： （5.2）式中为电流密度矢量，为电磁感应强度矢量在
8、式的基础上，根据薄板薄壳的电磁弹性假设和线性化方法，略去扰动后激发产生的电磁量和弹性位移量间的二阶及以上项，积分后得到作用于板单位面积上的电磁力及力矩表达式为： （5.3）式中为电磁场强度矢量，为电导率。对与稳恒横向磁场中受机械动载作用的x方向两端简支梁式传到薄板，其位移不随y变化，这样将电磁力的表达式带入（5.1）式中，并考虑到几何和物理方程，可推得横向磁场中梁式板的非线性振动方程为： （5.4）设满足两端简支边界条件梁式板的关于方程(5-4)式的解具有如下形式： （5.5）式中为板沿x向的长度，其中为t的时间函数。 图5-1 横向磁场中的金属板将（5.5）式代入（5.4）式中，采用Cale
9、rkin法，进行无量纲处理后，得到梁式板的振动方程为： （5.6） 其中和表示对求导，式中，,无量纲量，。参 考 文 献1 刘延柱，陈文良，陈立群. 振动力学.北京，高等教育出版社.20062 徐芝纶. 弹性力学. 北京:高等教育出版社, 2003:10-213 王少杰，毛骏健. 大学物理学.上海，同济大学出版社.20034 胡宇达，白象忠. 磁场中圆柱壳体的轴对称振动. 工程力学, 1999,16(5):47-525 王璋奇, 施传立, 杨以涵. 导体板电磁弹性振动的一般方程. 华北电力学院学报, 1995,22(1):57-636 徐健学. 麦克斯韦尔电磁应力张量和电磁固体耦合动力学. 上海交通大学学报,1990,24(6):16-227 胡宇达. 磁场中理想传导薄板的非线性磁弹性一般方程. 非线性动力学学报,1999,6(4):338-3428 郑晓静, 刘信恩. 铁磁导电梁式板在横向均匀磁场中的动力特性分析. 固体力学学报, 2000,21(3):243-2509 胡宇达, 姜鑫, 刘跃伟. 横向磁场中机械载荷作用梁式薄板的非线性主共振. 振动与冲击, 2006,25(4):88-90
