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1、1第 8 讲 曲线与方程一、选择题1已知两定点 A(1,1)， B(1，1)，动点 P 满足 ，则点 P 的轨迹是()PA PB x22A圆 B椭圆C双曲线 D拋物线解析 设点 P(x， y)，则 (1 x,1 y)， (1 x，1 y)，PA PB 所以 (1 x)(1 x)(1 y)(1 y) x2 y22.PA PB 由已知 x2 y22 ，即 1，所以点 P 的轨迹为椭圆x22 x24 y22答案B2已知点 F ，直线 l： x ，点 B 是 l 上的动点若过 B 垂直于 y 轴的直线与线(14， 0) 14段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是()A双曲线 B椭圆 C圆
2、 D抛物线解析由已知：| MF| MB|.由抛物线定义知，点 M 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线，故选 D.答案D3设圆( x1) 2 y225 的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任一点线段 AQ的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 ()A. 1 B. 14x221 4y225 4x221 4y225C. 1 D. 14x225 4y221 4x225 4y221解析 M 为 AQ 垂直平分线上一点，则|AM| MQ|，| MC| MA| MC| MQ| CQ|5，故 M 的轨迹为椭圆， a ， c1，则 b2 a2 c2 ，52 2
3、14椭圆的标准方程为 1.4x225 4y221答案D4已知点 P 是直线 2x y30 上的一个动点，定点 M(1,2)， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且| PM| MQ|，则 Q 点的轨迹方程是()A2 x y10 B2 x y502C2 x y10 D2 x y50解析由题意知， M 为 PQ 中点，设 Q(x， y)，则 P 为(2 x，4 y)，代入2x y30，得 2x y50.答案D5已知二面角 l 的平面角为 ，点 P 在二面角内， PA ， PB ， A， B 为垂足，且 PA4， PB5，设 A， B 到棱 l 的距离分别为 x， y，当 变化时，点( x， y)的轨
4、迹方程是()A x2 y29( x0)B x2 y29( x0， y0)C y2 x29( y0)D y2 x29( x0， y0)解析 实际上就是求 x， y 所满足的一个等式，设平面 PAB 与二面角的棱的交点是 C，则 AC x， BC y，在两个直角三角形 Rt PAC，Rt PBC 中其斜边相等，根据勾股定理即可得到 x， y 所满足的关系式如图， x24 2 y25 2，即 x2 y29( x0， y0)答案B6在平行四边形 ABCD 中， BAD60， AD2 AB，若 P 是平面 ABCD 内一点，且满足： x y 0( x， yR)则当点 P 在以 A 为圆心， | |为半径
5、的圆上时，实数AB AD PA 33 BD x， y 应满足关系式为 ()A4 x2 y22 xy1 B4 x2 y22 xy1C x24 y22 xy1 D x24 y22 xy1解析如图，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设 AD2.据题意，得 AB1， ABD90， BD . B、 D 的坐标分别为(1,0)、3(1， )， (1,0)， (1， )设点 P 的坐标为( m， n)，3 AB AD 3即 ( m， n)，则由 x y 0，得：AP AB AD PA x y ，Error!AP AB AD 据题意， m2 n21， x24 y22 xy1.答案D3二、填空题7已知圆的方程为
6、 x2 y24，若抛物线过点 A(1,0)、 B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析 设抛物线焦点为 F，过 A、 B、 O 作准线的垂线 AA1、 BB1、 OO1，则|AA1| BB1|2| OO1|4，由抛物线定义得|AA1| BB1| FA| FB|，| FA| FB|4，故 F 点的轨迹是以 A、 B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)答案 1( y0)x24 y238. 如图，点 F(a,0)(a0)，点 P 在 y 轴上运动， M 在 x 轴上运动，N 为动点，且 0， 0，则点 N 的轨迹方程为PM PF PM PN _解析由题意，知 PM
7、PF 且 P 为线段 MN 的中点，连接 FN，延长 FP 至点 Q 使 P 恰为 QF 之中点；连接 QM， QN，则四边形FNQM 为菱形，且点 Q 恒在直线 l： x a 上，故点 N 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l为准线的抛物线，其方程为： y24 ax.答案 y24 ax9如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且AM AB，点 P 在平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1的距离的平13方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点 P 的轨迹方程是_解析过 P 作 PQ AD 于 Q，再过 Q 作
8、QH A1D1于 H，连接PH、 PM，可证 PH A1D1，设 P(x， y)，由| PH|2| PM|21，得x21 1，化简得 y2 x .(x13)2 y2 23 19答案 y2 x23 1910. 曲线 C 是平面内与两个定点 F1(1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则 F1PF2的面积不大于 a2.12其中，所有正确结论的序号是_4解析 曲线 C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么 a1，与条件不符；曲线 C 关于原点对称，这点显然正确，
9、如果在某点处| PF1|PF2| a2，关于原点的对称点处也一定符合| PF1|PF2| a2；三角形的面积 S F1F2P2 ，很显然a22S F1F2P |PF1|PF2|sin F1PF2 |PF1|PF2| .所以正确12 12 a22答案 三、解答题11.如图，已知 F(1,0)，直线 l： x1， P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且 .求动点 P 的轨迹 C 的方程PQ解 法一：设点 P(x， y)，则 Q(1， y)，由 ，得( x1,0)(2， y)( x1， y)(2， y)，化简得 C： y24 x.法二：由 ，QF得 ( )0，( )( )0，
10、PPQFP 2 20.| | |.点 P 的轨迹 C 是抛物线，由题意，轨迹 C 的方程为 y24 x.12设椭圆方程为 x2 1，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， O 为坐标原点，y24点 P 满足 ( )，点 N 的坐标为 ，当直线 l 绕点 M 旋转时，求：OP 12OA OB (12， 12)(1)动点 P 的轨迹方程；(2)| |的最大值，最小值NP 解(1)直线 l 过定点 M(0,1)，当其斜率存在时设为 k，则 l 的方程为 y kx1.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由题意知， A、 B 的坐标满足方程组Error!消去 y 得(4 k2
11、)x22 kx30.则 4 k212(4 k2)0. x1 x2 ， x1x2 .2k4 k2 34 k25P(x， y)是 AB 的中点，则由Error!消去 k 得 4x2 y2 y0.当斜率 k 不存在时， AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程，故 P 点的轨迹方程为4x2 y2 y0.(2)由(1)知 4x2 2 ， x(y12) 14 14 14而| NP|2 2 2 2(x12) (y 12) (x 12) 1 16x243 2 ，(x16) 712当 x 时，| |取得最大值 ，16 NP 216当 x 时，| |取得最小值 .14 NP 1413在平面直角坐标系 xOy 中，
12、椭圆E： 1( a0， b0)经过点 A ，且点x2a2 y2b2 (62， 2)F(0，1)为其一个焦点(1)求椭圆 E 的方程；(2)设随圆 E 与 y 轴的两个交点为 A1， A2，不在 y 轴上的动点 P 在直线 y b2上运动，直线 PA1， PA2分别与椭圆 E交于点 M， N，证明：直线 MN 通过一个定点，且 FMN 的周长为定值解(1)根据题意可得Error!可解得Error!椭圆 E 的方程为 1.x23 y24(2)由(1)知 A1(0,2)， A2(0，2)， P(x0，4)为直线 y4 上一点( x00)， M(x1， y1)，N(x2， y2)，直线 PA1方程为
13、y x2，直线 PA2方程为 y x2，点 M(x1， y1)，2x0 6x0A1(0,2)的坐标满足方程组Error!可得Error!点 N(x2， y2)， A2(0，2)的坐标满足方程组Error!可得Error!由于椭圆关于 y 轴对称，当动点 P 在直线 y4 上运动时，直线 MN 通过的定点必在 y 轴上，当 x01 时，直线MN 的方程为 y1 ，令 x0，得 y1 可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定43(x 32)6点为 B.则直线 BM 的斜率 kBM ，直线 BN 的斜率y1 1x12x20 63 x20 1 6x03 x20 9 x206x0kBN ， kBM kB
14、N，即 M， B， N 三点共线，故直线 MN 通过y2 1x2 2x20 5427 x20 118x027 x20 9 x206x0一个定点 B(0，1)，又 F(0，1)， B(0,1)是椭圆 E 的焦点， FMN 周长为| FM| MB| BN| NF|4 b8，为定值14已知向量 a( x， y)， b(1,0)，且( a b)( a b)3 3 3(1)求点 Q(x， y)的轨迹 C 的方程；(2)设曲线 C 与直线 y kx m 相交于不同的两点 M、 N，又点 A(0，1)，当| AM| AN|时，求实数 m 的取值范围解(1)由题意得 a b( x ， y)， a b( x ， y)，( a b)( a3 3
