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1、1空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直自主梳理1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量(2)相等向量：方向_且模_的向量(3)共线向量定理对空间任意两个向量 a， b(b0)， ab 的充要条件是_推论如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是： taOP OA 其中 a 叫直线 l 的方向向量， tR，在 l 上取 a，则可化为AB _或 (1 t) t .OP O
2、P OA OB (4)共面向量定理如果两个向量 a， b 不共线，那么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对( x， y)，使 p xa yb，推论的表达式为 x y 或对空间任意一点 O 有，MP MA MB _或 x y z ，其中 x y z_.OP OP OA OB OM 2空间向量基本定理如果三个向量 a， b， c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组 x， y， z，使得 p_，把 a， b， c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a， b，在空间任取一点 O，作 a， b，则_叫做向
3、量OA OB a 与 b 的夹角，记作_，其范围是_，若 a， b ，则称 a 与 2b_，记作 a b.两向量的数量积已知两个非零向量 a， b，则_叫做向量 a， b 的数量积，记作_，即_(2)空间向量数量积的运算律结合律：( a )b_；交换律： ab_；2分配律： a(b c)_.4空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则 ab_.(2)共线与垂直的坐标表示设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则 a b(b0)_，_，_，a b_ (a， b 均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式
4、设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则|a| _，aacos a， b _ .ab|a|b|若 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2， c2)，则| |_.AB 自我检测1若 a(2 x,1,3)， b(1，2 y,9)，且 a b，则()A x1， y1 B x ， y12 12C x ， y D x ， y16 32 16 322(2011青岛月考)如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点，若 a， b， c，则下列向量中与 相等的向量是()A1B1 A1D1 A1A B1M A a b c B. a b
5、c12 12 12 12C. a b c D a b c12 12 12 123(2011广州调研)在平行六面体 ABCDA B C D中，已知 BAD A AB A AD60， AB3， AD4， AA5，则| |_.AC 4有下列 4 个命题：若 p xa yb，则 p 与 a、 b 共面；若 p 与 a、 b 共面，则 p xa yb；若 x y ，则 P、 M、 A、 B 共面；MP MA MB 若 P、 M、 A、 B 共面，则 x y .MP MA MB 其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D45 A(1,0,1)， B(4,4,6)， C(2,2,3)， D(10,14,17
6、)这四个点_(填共面或不共面)3探究点一空间基向量的应用例 1已知空间四边形 OABC 中， M 为 BC 的中点， N 为 AC 的中点， P 为 OA 的中点， Q为 OB 的中点，若 AB OC，求证： PM QN.变式迁移 1如图，在正四面体 ABCD 中， E、 F 分别为棱 AD、 BC 的中点，则异面直线 AF 和 CE 所成角的余弦值为_探究点二利用向量法判断平行或垂直例 2(2011合肥调研)两个边长为 1 的正方形 ABCD 与正方形 ABEF 相交于AB， EBC90，点 M、 N 分别在 BD、 AE 上，且 AN DM.(1)求证： MN平面 EBC；(2)求 MN
7、长度的最小值变式迁移 24如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB ， AF1， M 是2线段 EF 的中点求证：(1) AM平面 BDE；(2) AM面 BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例 3(2011泉州月考)如图，平面 PAC平面 ABC， ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形， E， F， O 分别为 PA， PB， AC 的中点， AC16， PA PC10.(1)设 G 是 OC 的中点，证明 FG平面 BOE；(2)在 AOB 内是否存在一点 M，使 FM平面 BOE？若存在，求出点 M 到 OA， OB 的距离；若不存在，说明理由
8、变式迁移 3已知在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC2 a， BB13 a， D 为 A1C1的中点， E 为 B1C 的中点(1)求直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦值；(2)在线段 AA1上是否存在点 F，使 CF平面 B1DF？若存在，求出 AF；若不存在，请说明理由51向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法2利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、
9、面之间的位置关系(3)根据运算结果解释相关几何问题(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1下列命题：若 A、 B、 C、 D 是空间任意四点，则有 0；AB BC CD DA | a| b| a b|是 a、 b 共线的充要条件；若 a、 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、 B、 C，若 x y z (其中OP OA OB OC x、 y、 zR)则 P、 A、 B、 C 四点共面其中假命题的个数是()A1 B2 C3 D42.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心， M、 N 分别是棱
10、DD1、 D1C1的中点，则直线 OM()A既垂直于 AC，又垂直于 MNB垂直于 AC，但不垂直于 MNC垂直于 MN，但不垂直于 ACD与 AC、 MN 都不垂直3(2011绍兴月考)如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1底面 ABC， AB BC AA1， ABC90，点E、 F 分别是棱 AB、 BB1的中点，则直线 EF 和 BC1所成的角是()A45 B60C90 D12064设点 C(2a1， a1,2)在点 P(2,0,0)、 A(1，3,2)、 B(8，1,4)确定的平面上，则 a 等于()A16 B4 C2 D85在直角坐标系中， A(2,3)， B(3，2)，
11、沿 x 轴把直角坐标系折成 120的二面角，则 AB 的长度为()A. B2 C3 D42 11 2 2二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6.(2011信阳模拟)如图所示，已知空间四边形 ABCD， F 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，若 ( )，则 _.EF AB DC 7(2011铜川模拟)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：( ) ；( ) ；A1D1 A1A AB BC BB1 D1C1 ( )2 ；( ) .AD AB DD1 B1D1 A1A DD1 其中能够化简为向量 的是_(填所有正确的序号)BD1 8(2011丽水模拟)如图所示， PD
12、 垂直于正方形 ABCD 所在平面， AB2， E 为 PB 的中点，cos ， DP AE ，若以 DA， DC， DP 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为33_三、解答题(共 38 分)9(12 分)如图所示，已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1上，点 F 在 CC1上，且 AE FC11.(1)求证： E、 B、 F、 D1四点共面；(2)若点 G 在 BC 上， BG ，点 M 在 BB1上， GM BF，垂足为 H，求证： EM平面23BCC1B1.710(12 分)(2009福建)如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD平面 ABCD， NB平面 ABCD，且 MD NB1， E为 BC 的中点(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；(2)在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由11(14 分)(2011汕头月考)如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、 N 分别是AB、 CD 的中点(1)求证： MN AB， MN CD；(2)求 MN 的长；(3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值8学案 45空间向量及其运算自主梳理1(1
