《【步步高】(广东专用)2015高考数学大一轮复习 8.6 空间向量及其运算导学案 理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【步步高】(广东专用)2015高考数学大一轮复习 8.6 空间向量及其运算导学案 理(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1空间向量及其运算导学目标: 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直自主梳理1空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有_和_的量叫做空间向量(2)相等向量:方向_且模_的向量(3)共线向量定理对空间任意两个向量 a, b(b0), ab 的充要条件是_推论如图所示,点 P 在 l 上的充要条件是: taOP OA 其中 a 叫直线 l 的方向向量, tR,在 l 上取 a,则可化为AB _或 (1 t) t .OP O
2、P OA OB (4)共面向量定理如果两个向量 a, b 不共线,那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对( x, y),使 p xa yb,推论的表达式为 x y 或对空间任意一点 O 有,MP MA MB _或 x y z ,其中 x y z_.OP OP OA OB OM 2空间向量基本定理如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组 x, y, z,使得 p_,把 a, b, c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a, b,在空间任取一点 O,作 a, b,则_叫做向
3、量OA OB a 与 b 的夹角,记作_,其范围是_,若 a, b ,则称 a 与 2b_,记作 a b.两向量的数量积已知两个非零向量 a, b,则_叫做向量 a, b 的数量积,记作_,即_(2)空间向量数量积的运算律结合律:( a )b_;交换律: ab_;2分配律: a(b c)_.4空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若 a( a1, a2, a3), b( b1, b2, b3),则 ab_.(2)共线与垂直的坐标表示设 a( a1, a2, a3), b( b1, b2, b3),则 a b(b0)_,_,_,a b_ (a, b 均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式
4、设 a( a1, a2, a3), b( b1, b2, b3),则|a| _,aacos a, b _ .ab|a|b|若 A(a1, b1, c1), B(a2, b2, c2),则| |_.AB 自我检测1若 a(2 x,1,3), b(1,2 y,9),且 a b,则()A x1, y1 B x , y12 12C x , y D x , y16 32 16 322(2011青岛月考)如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中, M 为 AC 与 BD 的交点,若 a, b, c,则下列向量中与 相等的向量是()A1B1 A1D1 A1A B1M A a b c B. a b
5、c12 12 12 12C. a b c D a b c12 12 12 123(2011广州调研)在平行六面体 ABCDA B C D中,已知 BAD A AB A AD60, AB3, AD4, AA5,则| |_.AC 4有下列 4 个命题:若 p xa yb,则 p 与 a、 b 共面;若 p 与 a、 b 共面,则 p xa yb;若 x y ,则 P、 M、 A、 B 共面;MP MA MB 若 P、 M、 A、 B 共面,则 x y .MP MA MB 其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D45 A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17
6、)这四个点_(填共面或不共面)3探究点一空间基向量的应用例 1已知空间四边形 OABC 中, M 为 BC 的中点, N 为 AC 的中点, P 为 OA 的中点, Q为 OB 的中点,若 AB OC,求证: PM QN.变式迁移 1如图,在正四面体 ABCD 中, E、 F 分别为棱 AD、 BC 的中点,则异面直线 AF 和 CE 所成角的余弦值为_探究点二利用向量法判断平行或垂直例 2(2011合肥调研)两个边长为 1 的正方形 ABCD 与正方形 ABEF 相交于AB, EBC90,点 M、 N 分别在 BD、 AE 上,且 AN DM.(1)求证: MN平面 EBC;(2)求 MN
7、长度的最小值变式迁移 24如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB , AF1, M 是2线段 EF 的中点求证:(1) AM平面 BDE;(2) AM面 BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例 3(2011泉州月考)如图,平面 PAC平面 ABC, ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E, F, O 分别为 PA, PB, AC 的中点, AC16, PA PC10.(1)设 G 是 OC 的中点,证明 FG平面 BOE;(2)在 AOB 内是否存在一点 M,使 FM平面 BOE?若存在,求出点 M 到 OA, OB 的距离;若不存在,说明理由
8、变式迁移 3已知在直三棱柱 ABCA1B1C1中,底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形, AC2 a, BB13 a, D 为 A1C1的中点, E 为 B1C 的中点(1)求直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦值;(2)在线段 AA1上是否存在点 F,使 CF平面 B1DF?若存在,求出 AF;若不存在,请说明理由51向量法解立体几何问题有两种基本思路:一种是利用基向量表示几何量,简称基向量法;另一种是建立空间直角坐标系,利用坐标法表示几何量,简称坐标法2利用坐标法解几何问题的基本步骤是:(1)建立适当的空间直角坐标系,用坐标准确表示涉及到的几何量(2)通过向量的坐标运算,研究点、线、
9、面之间的位置关系(3)根据运算结果解释相关几何问题(满分:75 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1下列命题:若 A、 B、 C、 D 是空间任意四点,则有 0;AB BC CD DA | a| b| a b|是 a、 b 共线的充要条件;若 a、 b 共线,则 a 与 b 所在直线平行;对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、 B、 C,若 x y z (其中OP OA OB OC x、 y、 zR)则 P、 A、 B、 C 四点共面其中假命题的个数是()A1 B2 C3 D42.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中, O 是底面 ABCD 的中心, M、 N 分别是棱
10、DD1、 D1C1的中点,则直线 OM()A既垂直于 AC,又垂直于 MNB垂直于 AC,但不垂直于 MNC垂直于 MN,但不垂直于 ACD与 AC、 MN 都不垂直3(2011绍兴月考)如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1中, AA1底面 ABC, AB BC AA1, ABC90,点E、 F 分别是棱 AB、 BB1的中点,则直线 EF 和 BC1所成的角是()A45 B60C90 D12064设点 C(2a1, a1,2)在点 P(2,0,0)、 A(1,3,2)、 B(8,1,4)确定的平面上,则 a 等于()A16 B4 C2 D85在直角坐标系中, A(2,3), B(3,2),
11、沿 x 轴把直角坐标系折成 120的二面角,则 AB 的长度为()A. B2 C3 D42 11 2 2二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)6.(2011信阳模拟)如图所示,已知空间四边形 ABCD, F 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点,若 ( ),则 _.EF AB DC 7(2011铜川模拟)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,给出以下向量表达式:( ) ;( ) ;A1D1 A1A AB BC BB1 D1C1 ( )2 ;( ) .AD AB DD1 B1D1 A1A DD1 其中能够化简为向量 的是_(填所有正确的序号)BD1 8(2011丽水模拟)如图所示, PD
12、 垂直于正方形 ABCD 所在平面, AB2, E 为 PB 的中点,cos , DP AE ,若以 DA, DC, DP 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为33_三、解答题(共 38 分)9(12 分)如图所示,已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1上,点 F 在 CC1上,且 AE FC11.(1)求证: E、 B、 F、 D1四点共面;(2)若点 G 在 BC 上, BG ,点 M 在 BB1上, GM BF,垂足为 H,求证: EM平面23BCC1B1.710(12 分)(2009福建)如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD平面 ABCD, NB平面 ABCD,且 MD NB1, E为 BC 的中点(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值;(2)在线段 AN 上是否存在点 S,使得 ES平面 AMN?若存在,求线段 AS 的长;若不存在,请说明理由11(14 分)(2011汕头月考)如图所示,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a,点 M、 N 分别是AB、 CD 的中点(1)求证: MN AB, MN CD;(2)求 MN 的长;(3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值8学案 45空间向量及其运算自主梳理1(1