《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 8.2 空间几何体的表面积与体积导学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 8.2 空间几何体的表面积与体积导学案 理（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1空间几何体的表面积与体积导学目标： 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力自主梳理1多面体的表面积(1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则 S 直棱柱侧 _.(2)设正 n棱锥底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h，则 S 正棱锥侧_.(3)设正 n棱台下底面边长为 a，周长为 c，上底面边长为 a，周长为 c，斜高为h，则S 正棱台侧 _.(4)设球的半径为 R，则 S 球 _.2几何体的体积公式(1)柱体的体
2、积 V 柱体 _(其中 S为柱体的底面面积，h 为高)特别地，底面半径是 r，高是 h的圆柱体的体积 V 圆柱 r2h.(2)锥体的体积 V 锥体 _(其中 S为锥体的底面面积，h 为高)特别地，底面半径是 r，高是 h的圆锥的体积 V 圆锥 r2h.13(3)台体的体积 V 台体 _(其中 S，S 分别是台体上、下底面的面积，h为高)特别地，上、下底面的半径分别是 r、r，高是 h的圆台的体积 V 圆台 h(r2rrr 2)13(4)球的体积 V 球 _(其中 R为球的半径)自我检测1已知两平行平面 ， 间的距离为 3，P，边长为 1的正三角形 ABC在平面 内，则三棱锥 PABC的体积为(
3、)A. B.14 12C. D.36 342(2011唐山月考)从一个正方体中，如图那样截去 4个三棱锥后，得到一个正三棱锥 ABCD，则它的表面积与正方体表面积的比为()A. 3 B. 23 2C. 6 D. 63 63设三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，P，Q 分别是侧棱 AA1，CC 1上的点，且PAQC 1，则四棱锥 BAPQC的体积为()A. V B. V16 142C. V D. V13 124(2011平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A9 B10 C11 D12 5(2011陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是()A8 B8
4、23 3C82 D.23探究点一多面体的表面积及体积例 1三棱柱的底面是边长为 4的正三角形，侧棱长为 3，一条侧棱与底面相邻两边都成 60角，求此棱柱的侧面积与体积变式迁移 1(2011烟台月考)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A 1在底面 ABC上的射影为 BC的中点，则三棱柱的侧面面积为_探究点二旋转体的表面积及体积例 23如图所示，半径为 R的半圆内的阴影部分以直径 AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中BAC30)及其体积变式迁移 2直三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA 12，BAC120，则此球的表面积等
5、于_探究点三侧面展开图中的最值问题例 3如图所示，长方体 ABCDA 1B1C1D1中，ABa，BCb，CC 1c，并且 abc0.求沿着长方体的表面自 A到 C1的最短线路的长变式迁移 3(2011杭州月考)如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC 1 .P是 BC1上一动点，则 CPPA 1的最小值是2_1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割” 、 “
6、补”的技巧，化复杂几何体为4简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5分，共 25分)1(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328 17C488 D80172已知一个球与一个正三棱柱
7、的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 ，323则这个三棱柱的体积是()A96 B16 C24 D483 3 3 33已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，长为定值的线段 EF在棱 AB上移动(EFbc0，abacbc0. 故最短线路的长为 .a2 b2 c2 2bc变式迁移 35 2解析将BCC 1沿 BC1线折到面 A1C1B上，如图所示连接 A1C即为 CPPA 1的最小值，过点 C作 CD垂直 A1C1延长线交于 D，BCC 1为等腰直角三角形，CD1，C 1D1，A 1DA 1C1C 1D7.A 1C 5 .A1D2 CD2 49 1 2课后练习区1 C由三视图知该几
8、何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为 4的正方形；上底面是长为 4、宽为 2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为 2，下底长为 4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为 4，长为 .所以 S 表 4 224 (24)42 12 1712424 2488 .17 172 D由 R3 ，R2.正三棱柱的高 h4.设其底面边长为 a，43 323则 a2，a4 .13 32 310V (4 )2448 .34 3 33 D4. B5 C将三视图还原成几何体的直观图如图所示它的四个面的面积分别为 8,6,10,6 ，故最大的面积应为 10.266 7解析取底面中心为 O，AF 中点为 M，连接
9、 PO、OM、PM、AO，则 POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM ，3PM .4 3 7S 侧 6 2 6 .12 7 77. 153解析围成圆锥筒的母线长为 4 cm，设圆锥的底面半径为 r，则 2 r 2 4，14r1，圆锥的高 h .42 12 15V 圆锥 r2h (cm3)13 15382 R2解析方法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为 ，则圆柱高为 2Rcos ，圆柱底面半径为 Rsin ，S 圆柱侧 2 Rsin 2R cos 2 R2sin 2.当 sin 21 时，S 圆柱侧 最大为 2 R2，此时，S 球表 S 圆柱侧 4 R22 R22 R2.方法二设圆柱底面半径
10、为 r，则其高为 2 .R2 r2S 圆柱侧 2 r2 ，R2 r2S 圆柱侧 4 .R2 r24 r2R2 r2令 S 圆柱侧 0，得 r R.22当 00；22当 RrR时，S0.22当 r R时，S 圆柱侧 取得最大值 2 R2.22此时 S 球表 S 圆柱侧 4 R22 R22 R2.方法三设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 ，R2 r2S 圆柱侧 2 r2 4 R2 r2 r2 R2 r24 2 R2(当且仅当 r2R 2r 2，即 r R时取“”)r2 R2 r22 2211当 r R时，S 圆柱侧 最大为 2 R2.22此时 S 球表 S 圆柱侧 4 R22 R22 R2.9解设
11、圆柱的底面半径为 r，母线长为 h，当点 C是弧 的中点时，三角形 ABC的面积为 r2，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为ABr2h，三棱锥 A1ABC的体积为 r2h，四棱锥 A1BCC1B1的体积为 r2h r2h r2h，圆柱的13 13 23体积为 r2h，(10 分)故四棱锥 A1BCC1B1与圆柱的体积比为 23 .(12分)10(1)证明取 BC的中点 E，连接 AE，DE，EF，ABC 与DBC 都是边长为 4的正三角形，AEBC，DEBC.又 AEDEE，BC平面 AED.又 AD面 AED，BCAD.(6 分)(2)解由已知得，AED 为等腰三角形，且 AEED2 ，设
12、ADx，F 为棱 AD的中3点，则 EF ，12 (12x)2SAED x ，(8 分)12 12 x24 1448x2 x4V SAED (BECE) (0x4 )，13 1348x2 x4 3当 x224，即 x2 时，V max8，6该四面体存在最大值，最大值为 8，(11 分)此时棱长 AD2 .(12分)611(1)证明由多面体 ABFEDC的三视图知，三棱柱 AEDBFC中，底面 DAE是等腰直角三角形，DAAE2，DA平面 ABFE，面 ABFE，ABCD 都是边长为 2的正方形(3 分)连接 EB，则 M是 EB的中点，在EBC 中，MNEC，且 EC平面 CDEF，MN平面 CDEF，MN平面 CDEF.(6分)(2)解DA平面 ABFE，EF平面 ABFE，EFAD.又 EFAE，AEADA，EF平面 ADE.又 DE平面 ADE，EFDE，(8 分)四边形 CDEF是矩形，且平面 CDEF平面 DAE.12取 DE的中点 H，连接 AH，DAAE，DAAE2，AH ，且 AH平面 CDEF.(12分)2多面体 ACDEF的体积 V SCDEFAH13 DEEFAH .(14分)13 83
