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1、1简单的线性规划问题导学目标： 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决自主梳理1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)判断不等式 Ax By C0 所表示的平面区域，可在直线 Ax By C0 的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证 Ax By C 的正负当 C0 时，常选用_对于任意的二元一次不等式 Ax By C0(或0 时， Ax By C0 表示直线 Ax By C0_的区域； Ax By C0 表示的平面区域时，其边界直线应为虚
2、线；画不等式Ax By C0 表示的平面区域时，边界直线应为实线画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界” 、原点定“域” 2线性规划的有关概念(1)线性约束条件由条件列出一次不等式(或方程)组(2)线性目标函数由条件列出一次函数表达式(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题(4)可行解：满足_的解( x， y)(5)可行域：所有_组成的集合(6)最优解：使_取得最大值或最小值的可行解3利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)作出目标函数的等值线(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定
3、_自我检测1(2011北京东城 1 月检测)在平面直角坐标系中，若点(2， t)在直线x2 y40 的上方，则 t 的取值范围是()A(，1) B(1，)C(1，) D(0,1)2不等式( x2 y1)( x y3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()3(2010重庆)设变量 x， y 满足约束条件Error!则 z3 x2 y 的最大值为()A0 B2 C4 D64(2010浙江)若实数 x， y 满足不等式组Error!且 x y 的最大值为 9，则实数 m 等于()A2 B1 C1 D25(2010天津河西高三期中)已知实数 x， y 满足Error!则 z2 x y 的
4、最大值为_.2探究点一不等式组表示的平面区域例 1画出不等式组Error!表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出 x， y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？变式迁移 1(2011安庆模拟)在平面直角坐标系中，有两个区域 M、 N， M 是由三个不等式 y0， y x 和 y2 x 确定的； N 是随 t 变化的区域，它由不等式 t x t1 (0 t1)所确定设 M、 N 的公共部分的面积为 f(t)，则 f(t)等于()A2 t22 t B. (t2) 212C1 t2 D t2 t12 12探究点二求目标函数的最值例 2(2010天津)设变量 x， y 满足约束条件Error
5、!则目标函数 z4 x2 y 的最大值为()A12 B10 C8 D2变式迁移 2(2010山东)设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z3 x4 y 的最大值和最小值分别为()A3，11 B3，11C11，3 D11,3探究点三线性规划的实际应用例 3某公司计划 2010 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分和 200 元/分假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和0.2 万元问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益
6、最大，最大收益是多少万元？变式迁移 3(2010四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时，可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时，可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B产品获利 50 元甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱3B甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱C甲车间加工原料 18 箱
7、，乙车间加工原料 50 箱D甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱数形结合思想的应用例 (12 分)变量 x、 y 满足Error!(1)设 z4 x3 y，求 z 的最大值；(2)设 z ，求 z 的最小值；yx(3)设 z x2 y2，求 z 的取值范围【答题模板】解由约束条件Error!作出( x， y)的可行域如图所示由Error! ，解得 A .(1，225)由Error! ，解得 C(1,1)由Error!，解得 B(5,2)4 分(1)由 z4 x3 y，得 y x .43 z3当直线 y x 过点 B 时， 最小， z 最大43 z3 z3 zmax453214.6
8、 分(2) z ， z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率yx y 0x 0观察图形可知 zmin kOB .9 分25(3)z x2 y2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin| OC| ， dmax| OB| .2 z29.12 分2 29【突破思维障碍】1求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是： 画 出 可 行 域明 确 目 标 函 数z的 几 何 意 义 结 合 图 形找 最 优 解 求 目 标 函数 的 最 值2常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1) 表示点( x， y)与原点(0,0)的距离；x2 y2表示
9、点( x， y)与点( a， b)的距离 x a 2 y b 2(2) 表示点( x， y)与原点(0,0)连线的斜率；yx表示点( x， y)与点( a， b)连线的斜率y bx a这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键【易错点剖析】本题会出现对(2)(3)无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不4知道从目标函数表示的几何意义入手解题1在直角坐标系 xOy 内，已知直线 l： Ax By C0 与点 P(x0， y0)，若Ax0 By0 C0，则点 P 在直线 l 上方，若 Ax0 By0 C0 时，最优解是将直线 ax by0 在可行域内向上平移到端
10、点(一般是两直线交点)的位置得到的，当b0，将点 C(7,9)代入 z 得最大值为 21.(4 分)(2)z x2 y210 y25 x2( y5) 2表示可行域内任一点( x， y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是| MN|2 .(8 分)92(3)z2 表示可行域内任一点( x， y)与定点 Q 连线的斜率的两y ( 12)x 1 ( 1， 12)倍，因此 kQA ， kQB ，74 38故 z 的范围为 .(12 分)34， 7211解设桌子、椅子分别买 x 张、 y 把，目标函数 z x y，(2 分)把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为Error!(6 分)由Error! 解得Error!所以 A 点的坐标为 .(2007， 2007)由Error! 解得Error!所以 B 点的坐标为 .(9 分)(25，752)10所以满足条件的可行域是以 A 、 B 、(2007， 2007) (25， 752)O(0,0)为顶点的三角形区域(如图)(12 分)由图形可知，目标函数 z x y 在可行域内的最优解为B ，但注意到 xN *， yN *，故取Error!(25， 752)故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择(14 分)
