《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 3.2 导数在研究函数中的应用导学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 3.2 导数在研究函数中的应用导学案 理（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1导数在研究函数中的应用0 导学目标： 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值自主梳理1导数和函数单调性的关系：(1)若 f( x)0 在( a， b)上恒成立，则 f(x)在( a， b)上是_函数， f( x)0 的解集与定义域的交集的对应区间为_区间；(2)若 f( x)1.12(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)证明：若 a1.f x1 f x2x1 x2多角度审题 (1)先求导，根据参数 a
2、 的值进行分类讨论；(2)若 x1x2，结论等价于f(x1) x1f(x2) x2，若 x11，故 10，故 f(x)在( a1,1)上单调递减，在(0， a1)，(1，)上单调递增若 a11，即 a2 时，同理可得 f(x)在(1， a1)上单调递减，在(0,1)，( a1，)上单调递增6 分(2)证明考虑函数 g(x) f(x) x x2 ax( a1)ln x x.12则 g( x) x( a1) 2 ( a1)a 1x xa 1x41( 1) 2.a 1由于 10，即 g(x)在(0，)上单调递增，从而当 x1x20 时，有 g(x1) g(x2)0，即 f(x1) f(x2) x1
3、x20，故 1.10 分f x1 f x2x1 x2当 01.f x1 f x2x1 x2 f x2 f x1x2 x1综上，若 a1.12 分f x1 f x2x1 x2【突破思维障碍】(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于 0 或小于 0 的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于 0 的根的情况下，根的大小是分类的标准；(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题1求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求 f( x)，令 f( x)0，求出它在定义
4、域内的一切实根；(3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定 f( x)在各个开区间内的符号，根据 f( x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性2可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点 x0一定满足 f( x0)0，但当 f( x1)0 时， x1不一定是极值点如 f(x) x3， f(0)0，但 x0 不是极值点(2)可导函数 y f(x)在点 x0处取得极值的充要条件是 f( x0)0，且在 x0左侧与右侧 f( x)的符号不同3函数的最
5、大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值4求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2011大连模拟)设 f(x)， g(x)是 R 上的可导函数， f( x)、 g( x)分别为 f(x)、g(x)的导函数，且 f( x)g(x) f(x)g( x
6、)f(b)g(x) B f(x)g(a)f(a)g(x)C f(x)g(x)f(b)g(b) D f(x)g(x)f(a)g(a)2.函数 f(x)的定义域为开区间( a， b)，导函数 f( x)在( a， b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间( a， b)内有极小值点 ()5A1 个 B2 个C3 个 D4 个3(2011嘉兴模拟)若函数 y a(x3 x)在区间 上为减函数，则 a 的取值(33， 33)范围是 ()A a0 B11 D032 32C m D m3 B a D a0，求函数 y f(x)在区间( a1， a1)内的极值答案 自主梳理1(1)增增(2)减减(3)增
7、减2.(1) f( x)0f( x)0(2) f( x)0 f( x)0极大值极小值自我检测1C2.D3.C4.C518解析 f( x)3 x22 ax b，由题意Error! 即Error!得 a4， b11 或 a3， b3.但当 a3 时， f( x)3 x26 x30，故不存在极值， a4， b11， f(2)18.课堂活动区例 1解题导引(1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f( x)0 或 f( x)0，即( x22)e x0，e x0， x220，解得 0， x2( a2) x a0
8、 对 x(1,1)都成立，即 x2( a2) x a0 对 x(1,1)恒成立设 h(x) x2( a2) x a只须满足Error!，解得 a .327(3)若函数 f(x)在 R 上单调递减，则 f( x)0 对 xR 都成立，即 x2( a2) x aex0 对 xR 都成立e x0， x2( a2) x a0 对 xR 都成立( a2) 24 a0，即 a240，这是不可能的故函数 f(x)不可能在 R 上单调递减若函数 f(x)在 R 上单调递增，则 f( x)0 对 xR 都成立，即 x2( a2) x aex0 对 xR 都成立e x0， x2( a2) x a0 对 xR 都成
9、立而 x2( a2) x a0 不可能恒成立，故函数 f(x)不可能在 R 上单调递增综上可知函数 f(x)不可能是 R 上的单调函数变式迁移 1解(1)由题意得 f( x)3 x22(1 a)x a(a2)，又Error!，解得 b0， a3 或 a1.(2)由 f( x)0，得 x1 a， x2 .a 23又 f(x)在(1,1)上不单调，即Error! 或Error!解得Error! 或Error!所以 a 的取值范围为(5， )( ，1)12 12例 2解题导引本题研究函数的极值问题利用待定系数法，由极值点的导数值为0，以及极大值、极小值，建立方程组求解判断函数极值时要注意导数为 0
10、的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为 0 的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值解(1)由题意可知 f( x)3 ax2 b.于是Error! ，解得Error!故所求的函数解析式为 f(x) x34 x4.13(2)由(1)可知 f( x) x24( x2)( x2)令 f( x)0 得 x2 或 x2，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表所示：x (，2) 2 (2,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 单调递增 极大 值 单调递减 极小 值 单调递增因此，当 x2 时，f(x)有极大值 ，2838当 x2 时， f(x)
11、有极小值 ，43所以函数的大致图象如图，故实数 k 的取值范围为( ， )43 283变式迁移 2解(1) f( x) 2 bx1，axError! .解得 a ， b .23 16(2)f( x) ( )1 .23x x3 x 1 x 23x函数定义域为(0，)，列表x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 x1 是 f(x)的极小值点， x2 是 f(x)的极大值点例 3解题导引设函数 f(x)在 a， b上连续，在( a， b)内可导，求 f(x)在 a， b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数 y f(x)
12、在( a， b)内的极值(2)将函数 y f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值解(1)由 f(x) x3 ax2 bx c，得 f( x)3 x22 ax b，当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a b0；当 x 时， y f(x)有极值，则 f 0，23 (23)可得 4a3 b40.由解得 a2， b4，又切点的横坐标为 x1， f(1)4.1 a b c4. c5.(2)由(1)，得 f(x) x32 x24 x5， f( x)3 x24 x4.令 f( x)0，得 x2 或 x ，23 f( x) 时， g(
13、x)0，2 2从而 g(x)在区间( ， )上是增函数2 2由前面讨论知， g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在 x1， ，2 时取得，2而 g(1) ， g( ) ， g(2) .53 2 423 43因此 g(x)在区间1,2上的最大值为 g( ) ，2423最小值为 g(2) .43课后练习区1C2.A3.A4.A5.B63解析 f( x)( )x2 ax 1 ， x2 a x 1 x2 a x 1 x 1 2 x2 2x a x 1 2又 x1 为函数的极值， f(1)0.121 a0，即 a3.7解析观察函数 f(x)的导函数 f( x)的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断8(，3)(6，)解析 f( x)3 x22 mx m60 有两个不等实根，则 4 m212( m6)0， m6 或 m0，故 x2 是函数的极小值点，故 f(x)的极小值为 f(2) ；(8 分)12当 x(2,1)时 f( x)0，当 x(1，)时 f( x)0，得 x2 或 x0，故 f(x)的单调递增区间是(，0)(2，)；由 f( x)0，得 0x2, 故 f(x)的单调递减区间是(0,2)(8 分)(2)由(1)得 f( x)3 x(x2)，令 f( x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时， f( x)、 f(x)的变化情况如下表：x
