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1、2015年考研数学模拟试题（数学一）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设 ( )f x 在( , ) 内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）.（A）sin ( )f x （B） 0 sin ( )x t f t dt （C） 0 (sin )x f t dt （D） 0 sin ( )x t f t dt解 选择B. 由题设知，sin ( )t f t 为偶函数，故 0 sin ( )x t f t dt 为奇函数.2.设 111 e , 0,( ) 1 e1, 0,xx xf x
2、 x 则 0x 是 ( )f x 的（）.（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点解 选择B. 110 0 1 elim ( ) lim 11 exx x xf x ， 110 0 1 elim ( ) lim 11 exx x xf x ，故 0x 是 ( )f x 的跳跃间断点.3.若函数 ( )f x 与 ( )g x 在( , ) 内可导，且 ( ) ( )f x g x ，则必有（）.（A） ( ) ( )f x g x （B） ( ) ( )f x g x （C） 0 0lim ( ) lim ( )x x x xf x g x （D） 0 0( ) ( )x
3、 xf t dt g t dt 解 选择C. 由函数 ( )f x 与 ( )g x 在( , ) 内可导知， ( )f x 与 ( )g x 在( , ) 内连续， 0 0lim ( ) ( )x x f x f x ， 0 0lim ( ) ( )x x g x g x ，而 0 0( ) ( )f x g x ，故 0 0lim ( ) lim ( )x x x xf x g x .4.已知级数 11( 1)n nn a 和 21 nn a 分别收敛于 ,a b，则级数 1 nn a （）.【C】(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a b(C)必收敛，和为 2a b (D) 必收敛，
4、和为 2a b解 选择D. 由级数 11( 1)n nn a 收敛知，lim 0nn a ，设 11( 1)n nn a ， 21 nn a 1 nn a 的前n项和分别为 , ,n n ns S ，则lim ,limn nn ns a S b ，2 1 2 2k ka a a 1 2 3 4 2 1 2 2 4 2( ) 2( )k k ka a a a a a a a a 2 2k ks S ，故 2 2lim lim( 2 ) 2k k kk k s S a b ， 2 1 2 2 1lim lim( ) 2k k kk k a a b ，所以lim 2nn a b ，级数 1 nn a
5、 收敛，和为 2a b .5.设矩阵A与 1 0 10 2 01 0 1B 相似，则 ( ) ( 2 )r A r A E （）.(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6解 选择A. 矩阵A与B相似，则 2A E 与 2B E 相似，故 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 1 3r A r A E r B r B E .6.设 3 阶方阵 A的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为 1 2 3, , ，令3 1 2(3 , ,2 )P ，则 1P AP （）.（A） 9 0 00 1 00 0 4 （B） 3 0 00 1 00 0 2 （C） 1 0 00 2 00 0
6、3 （D） 1 0 00 4 00 0 9 解 因为 3 1 23 , ,2 分别为A的对应特征值3,1,2的特征向量，故 1P AP 3 0 00 1 00 0 2 .7. 设随机变量X 服从 1,1 上的均匀分布，则X与 e XY （）.（A）不相关 （B）相关 （C）独立 （D）相关且不独立解 选择A. 经计算得， ( , ) ( ,e ) ( e ) e 0X X XCov X Y Cov X E X EXE ， 0XY .8. 设 1, , nX X 是取自正态总体 (0,1)N 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.（A） (0,1)nX N （B） 2 2( 1) ( 1)
7、n S n （C） ( 1)nX t nS （D） 21 21 (1, )n iinX F nX解 选择D. 由一个正态总体的抽样分布知A，B，C都正确， 2 2 2 21 1 (1), ( )n iiX X n ，但是它们不独立，不能推出 21 21 (1, )n iinX F nX .二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设函数 ( , )f x y 具有连续偏导数，且 2( ,2 3 4)f x x x x ， (1,3) 2xf ，则(1,3)yf .解 答案为 1 . 方程 2( ,2 3 4)f x x x x 两边对x求导，得2 2( ,2
8、3 4) ( ,2 3 4) (4 3) 1x yf x x x f x x x x ，令 1x ，得 (1,3) (1,3) 1x yf f ，故 (1,3) 1yf .10.微分方程 (e 1) 1xy y 的通解为 .解 答案为 ee (1 e )xxy C . (e 1) (e 1)e e x xdx dxy dx C e e e e ee ( e e ) e (e ) e (1 e )x x x x xx x x xdx C C C .11.设 2 0 cosnnx a nx ，则 2a .解 答案为1. 22 02 cos2 1a x xdx 12.设S为锥面 2 2 (0 1)z
9、 x y z 外侧，则 S y dydz .解 答案为0. S关于yoz面反向对称，y关于x为偶函数，故 0S ydydz .13.设A为n阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组 0Ax 的通解为 .解 答案为 T(1,1, ,1)k ，k为任意常数. 由题设知， *( ) 1r A ， ( ) 1r A n ， ( ) 1n r A 且 *AA A E O ，故 *A 的列向量 T(1,1, ,1) 是 0Ax 的基础解系.14.设随机变量X 与Y相互独立，且都服从正态分布 (0,1)N ，则 max( , ) 0P X Y .解 答案为34 . max( , ) 0 1 max( ,
10、 ) 0 1 0, 0P X Y P X Y P X Y 2 31 0 0 1 (0) 4P X P Y .三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题满分9分）设 ( , )u f x z ，而 ( , )z z x y 是由方程 ( )z x y z 所确定的隐函数，其中 f 具有连续偏导数，而具有连续导数，求du.解 取全微分 x zdu f dx f dz ， ( )( ) ( ) 1 ( )dx z dydz dx z dy y z dz dz y z ，故 ( )1 1z zx f fdu f dx dyy y .16. （本题满分1
11、0分）设 ( )f x 在( , ) 上连续，且 0 ( )e costx nf x t dt x .求 ( )f x ； 设 (0)na f ，求级数 111 2 nnn a 的和.解 令u x t ，则 00 0( )e ( )e e ( )et x u x ux xn n n nxf x t dt f u du f u du ，故 0e ( )e cosx uxn nf u du x ，即 0 ( )e e cosu xx n nf u du x ，上式两边对x求导，得 1( )e e cos e sinx x xn n nf x x xn ，即 1( ) cos sinf x x xn
12、 . 1(0)na f n ，级数 1 11 1 11 12 2nn nn na n ，1 10 01 1 1( ) 1 1 1 1 ln(1 ), 11n x xnn nxs x x x dx x dx x x xn x 11 1 11 ( ) 1 ln22 2 2nnn a s .17. （本题满分10分）设球体 2 2 2 2 ( 0)x y z az a 的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数 0k ），求球体的质量M 及球体绕z轴旋转的转动惯量 zI .解 由题设知，球体上任一点的密度 2 2 2( , , ) kx y z x y z ，球体的质量 2 2 2( , ,
13、) kM x y z dV dVx y z 2 2 cos 2 220 0 0 4sin 3a kd d r dr kar .转动惯量 2 22 2 2 2 2( )( ) ( , , )z k x yI x y x y z dV dVx y z 2 2 cos 3 3 420 0 0 16sin 35ad d kr dr ka .18. （本题满分 11 分）设函数 ( )f x 在 2,4 上连续，在 (2,4) 内可导，且4 23(2) ( 1) ( )f x f x dx ，证明：存在 (2,4) ，使得 2 ( )( ) 1ff .证 令 2( ) ( 1) ( )F x x f x ，则 2( ) 2( 1) ( ) ( 1) ( )F x x f x x f x ，由积分中值定理知，存在 3,4c ，使得4 2 23(2) ( 1) ( ) ( 1) ( )f x f x dx c f c ，即 (2) ( )F F c ，由 罗 尔 定 理 知 ， 存 在 (2, )
