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1、1二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题自主梳理1二项式定理的有关概念(1)二项式定理：( a b)nC anC an1 b1C an kbkC bn (nN *)，这个0n 1n kn n公式叫做_二项展开式：右边的多项式叫做( a b)n的二项展开式项数：二项展开式中共有_项二项式系数：在二项展开式中各项的系数_( k_)叫做二项式系数通项：在二项展开式中的_叫做二项展开式的通项，用 Tk1 表示，即通项为展开式的第 k1 项： Tk1 _.2二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端_的两个二项式系数相等(2)增减性与最大值：
2、当 n 是偶数时，中间的一项二项式系数_取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项二项式系数_、_相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数和：C C C C _，C C C C _，C C C C0n 1n 2n n 0n 2n 4n 偶 n 1n 3n 5n 奇 n_.自我检测1(2011福建)(12 x)5的展开式中， x2的系数等于()A80 B40 C20 D102(2011陕西)(4 x2 x)6(xR)展开式中的常数项是()A20 B15 C15 D203( x y)10的展开式中 x6y4项的系数是()2A840 B840 C210 D2104(2010四川) 6的展开式中的第四项
3、是 _(2 13x)5(2011山东)若( x )6展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为_ax26(2011烟台期末)已知 n 为正偶数，且 n的展开式中第 4 项的二项式系数(x212x)最大，则第 4 项的系数是_(用数字作答)探究点一二项展开式及通项公式的应用例 1已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项(3x 123x)(1)求 n；(2)求含 x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项2变式迁移 1(2010湖北)在( x y)20的展开式中，系数为有理数的项共有43_项探究点二二项式系数的性质及其应用例 2(1)求证：C 2C 3C nC n2n1 ；1n 2n 3n n(
4、2)求 SC C C 除以 9 的余数127 27 27变式迁移 2(2011上海卢湾区质量调研)求 C C C C 的值2n 42n 2kn 2n探究点三求系数最大项例 3已知 f(x)( 3 x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.3x2(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项变式迁移 3(1)在( x y)n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于()A13,14 B14,15C12,13 D11,12,13(2)已知 n，()若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，(12 2x)3求展开式中二项式系数的最
5、大项的系数；()若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项1二项式系数与项的系数是不同的，如( a bx)n (a， bR)的展开式中，第 r1 项的二项式系数是 C ，而第 r1 项的系数为 C an rbr.rn rn2通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数在运用公式时要注意：C an rbr是第 r1 项，而不是第 r 项rn3在( a b)n的展开式中，令 a b1，得 C C C 2 n；令 a1， b1，0n 1n n得 C C C C 0，C C C C C C 2 n1 ，这种由一0n 1n 2n 3n 0n 2n 4n
6、 1n 3n 5n般到特殊的方法是“赋值法” 4二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 C C ，C C ，C C ，C C .(2)如果二项式的0n n 1n n 1n 2n n 2n rn n rn幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大5二项式定理的一个重要作用是近似计算，当 n 不是很大，| x|比较小时，(1 x)n1 nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2011山东实验中
7、学模拟)在 24的展开式中， x 的幂指数是整数的项共有()(x 13x)A3 项 B4 项 C5 项 D6 项2(2011重庆)(13 x)n(其中 nN 且 n6)的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 n等于()A6 B7C8 D93(2011黄山期末)在 n的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开(x2 13x)式中常数项是()A7 B7 C28 D2844(2010烟台高三一模)如果 n的展开式中二项式系数之和为 128，则展开(3x 13x2)式中 的系数是()1x3A7 B7 C21 D215在(1 x)5(1 x)6(1 x)7(1 x)8的展开式中，含 x3的项的系
8、数是()A74 B121 C74 D121二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6(2011湖北)( x )18的展开式中含 x15的项的系数为_(结果用数值13x表示)7(2011济南高三模拟)已知 a (sin tcos t)dt，则 6的展开式中的常0 (x 1ax)数项为_8. 10的展开式中的常数项是_(1 x1x2)三、解答题(共 38 分)9(12 分)(1)设(3 x1) 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4.求 a0 a1 a2 a3 a4；求 a0 a2 a4；求 a1 a2 a3 a4；(2)求证：3 2n2 8 n9 能被 64 整除( nN *)10(1
9、2 分)利用二项式定理证明对一切 nN *，都有 2 n3.(11n)511(14 分)(2011泰安模拟)已知 n (nN *)的展开式中第五项的系数与第三(x2x2)项的系数的比是 101.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含 的项； 32x(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项学案 65二项式定理自主梳理1(1)二项式定理 n1C 0,1,2， nC an kbkkn knC an kbk2.(1)等距离(2) kn 2C1+12-(3)2n2 n1 2 n1自我检测1B(12 x)5的第 r1 项为 Tr1 C (2x)r2 rC xr，令 r2，得 x2的系数为
10、r5 r522C 40.252C设展开式的常数项是第 r1 项，则 Tr1 C (4x)r(2 x)6 r，即r6Tr1 C (1) 6 r22rx2rx6 xC (1) 6 r23rx6 x，3 rx6 x0 恒成r6 r6立 r2， T3C (1) 415.选 C.263A4160x54解析( x )6展开式的通项为 Tr1 C x6 r(1) r( )rx2 rC x63 r(1) r(ax2 r6 a r6)r.a令 63 r0，得 r2.故 C ( )260，解得 a4.26 a652课堂活动区例 1解题导引(1)通项 Tr1 C an rbr是( a b)n的展开式的第 r1 项，
11、而不是rn第 r 项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C ， r0,1,2， n，与 a， b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分rn(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致6解(1)通项公式为 Tr1 C rrn 3x-( 12) 3-C r ，rn(12) 3nx-因为第 6 项为常数项，所以 r5 时，
12、有 0，n 2r3即 n10.(2)令 2，得 r (n6) (106)2，n 2r3 12 12所求的系数为 C 2 .210(12) 454(3)根据通项公式，由题意得Error!令 k (kZ)，则 102 r3 k，10 2r3即 r5 k， rN， k 应为偶数32 k 可取 2,0，2，即 r 可取 2,5,8.所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为C 2x2，C 5，C 8x2 .210(12) 510( 12) 810( 12)变式迁移 16解析展开式的通项 Tr1 C x20 r( y)rr20 43C x20 ryr .r20 43由 0 r20， Z
13、得 r0,4,8,12,16,20.r4所以系数为有理数的项共有 6 项例 2解题导引(1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C C C ，C C ， kC nC 等式子的变形技巧；0n n n 1 kn n kn kn k 1n(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式求余数问题时，应明确被除式 f(x)、除式 g(x)g(x)0、商式 q(x)与余式的关系及余式的范围(1)证明方法一设 SC 2C 3C ( n1)C nC ，1n 2n 3n n 1n n S nC ( n1)C ( n2)C 2C Cn n 1n n 2n 2n 1n nC ( n1)C ( n2)C 2C C ，0n 1n 2n n 2n n 1n得 2S n(C C C C C ) n2n.0n 1n 2n n 1n n S n2n1 .原式得证方法二 C knkn kn n！k！ n k ！ C ， n 1 ！ k 1 ！ n k ！ k 1n kC nC .kn k 1n左边 nC nC nC0n 1 1n 1 n 1 n(C C C ) n2n1 右边0n 1 1n 1 n 1(2)解 SC C C 2 271127 27 278 91
