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1、典型的整数线性规划问题 一 背包问题 有一徒步旅行者要带一背包 设对背包的总重量 限制为b千克 今有n种物品可供选择 已知第j种 物品每件重量为aj千克 使用价值为cj 问旅行者 应如何选取这些物品 使得总价值最大 整数线性规划及0 1规划 令xj表示第j种物品的装入件数 模型建立 整数 线性 规划 模型 IP 典型的整数线性规划问题 二 投资问题 今有一笔资金 设金额为b个单位 可以投资的发 展项目有n个 要求对每个发展项目的的投资单位 数必须是非负整数 且只考虑两种决策 要么投 资 要么不投资 若对第j个发展项目投资 所花 资金为aj 已知对第j个发展项目每投资一单位可 获利cj个单位 问
2、如何投资才能使总利润最大 令xj表示对第j个发展项目的投资数量 模型建立 整数 线性 规划 0 1 模型 IP 如果生产某一类型汽车 则至少要生产80辆 那么最优的生产计划应作何改变 例1 汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车 已知各类型每辆车对钢 材 劳动时间的需求 利润及工厂每月的现有量 小型 中型 大型 现有量 钢材 吨 1 5 3 5 600 劳动时间 小时 280 250 400 60000 利润 万元 2 3 4 制订月生产计划 使工厂的利润最大 整数线性规划及0 1规划 设每月生产小 中 大型 汽车的数量分别为x1 x2 x3 汽车厂生产计划 模型建立 小型 中型 大型 现有
3、量 钢材 1 5 3 5 600 时间 280 250 400 60000 利润 2 3 4 线性 规划 模型 LP 模型 求解 3 模型中增加条件 x1 x2 x3 均为整数 重新求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 632 2581 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64 516129 0 000000 X2 167 741928 0 000000 X3 0 000000 0 946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0 000000 0 731183 3 0 000000 0 003226 结果为
4、小数 怎么办 1 舍去小数 取x1 64 x2 167 算出目标函数值z 629 与 LP最优值632 2581相差不大 2 试探 如取x1 65 x2 167 x1 64 x2 168等 计算函数 值z 通过比较可能得到更优的解 但必须检验它们是否满足约束条件 为什么 IP可用LINDO直接求解 整数规划 Integer Programming 简记IP gin 3 表示 前3个变量 为整数 等价于 gin x1 gin x2 gin x3 IP 的最优解x1 64 x2 168 x3 0 最优值z 632 max 2x1 3x2 4x3 st 1 5x1 3x2 5x3 600 280 x
5、1 250 x2 400 x3 60000 end gin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 632 0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64 000000 2 000000 X2 168 000000 3 000000 X3 0 000000 4 000000 模型求解 IP 结果输出 其中3个子模型应去掉 然后 逐一求解 比较目标函数值 再加上整数约束 得最优解 方法1 分解为8个LP子模型 汽车厂生产计划 若生产某类汽车 则至少生产80辆 求生产计划 x1 x2 x3 0 或 80 x1 80 x2 150 x3 0 最优值z
6、610 LINDO中对0 1变量的限定 int y1 int y2 int y3 方法2 引入0 1变量 化为整数规划 M为大的正数 可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 610 0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80 000000 2 000000 X2 150 000000 3 000000 X3 0 000000 4 000000 Y1 1 000000 0 000000 Y2 1 000000 0 000000 Y3 0 000000 0 000000 若生产某类汽车 则至少生产80辆 求生产计划 x1 0 或 80
7、x2 0 或 80 x3 0 或 80 最优解同前 NLP虽然可用现成的数学软件求解 如LINGO MATLAB 但是其结果常依赖于初值的选择 方法3 化为非线性规划 非线性规划 Non Linear Programming 简记NLP 实践表明 本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时 才能得到正确的结果 若生产某类汽车 则至少生产80辆 求生产计划 x1 0 或 80 x2 0 或 80 x3 0 或 80 丁的蛙泳成绩退步到1 15 2 戊的自由泳成绩进 步到57 5 组成接力队的方案是否应该调整 如何选拔队员组成4 100米混合泳接力队 例2 混合泳接力队的选拔 甲乙丙丁戊 蝶泳1
8、 06 857 21 18 1 10 1 07 4 仰泳1 15 61 06 1 07 81 14 21 11 蛙泳1 27 1 06 41 24 61 09 61 23 8 自由泳58 653 59 457 21 02 4 5名候选人的百米成绩 穷举法 组成接力队的方案共有5 120种 目标 函数 若选择队员i参加泳姿j 的比赛 记xij 1 否则记xij 0 0 1规划模型 cij 秒 队员i 第j 种泳姿的百米成绩 约束 条件 每人最多入选泳姿之一 ciji 1i 2i 3i 4i 5 j 166 857 2787067 4 j 275 66667 874 271 j 38766 484
9、 669 683 8 j 458 65359 457 262 4 每种泳姿有且只有1人 模型求解 最优解 x14 x21 x32 x43 1 其它变量为0 成绩为253 2 秒 4 13 2 MIN 66 8x11 75 6x12 87x13 58 6x14 67 4x51 71 x52 83 8x53 62 4x54 SUBJECT TO x11 x12 x13 x14 1 x41 x42 x43 x44 1 x11 x21 x31 x41 x51 1 x14 x24 x34 x44 x54 1 END INT 20 输入LINDO求解 甲乙丙丁戊 蝶泳1 06 857 21 18 1 10
10、 1 07 4 仰泳1 15 61 06 1 07 81 14 21 11 蛙泳1 27 1 06 41 24 61 09 61 23 8 自由泳58 653 59 457 21 02 4 甲 自由泳 乙 蝶泳 丙 仰泳 丁 蛙泳 丁蛙泳c43 69 6 75 2 戊自由泳c54 62 4 57 5 方案是否调整 敏感性分析 乙 蝶泳 丙 仰泳 丁 蛙泳 戊 自由泳 IP规划一般没有与LP规划相类似的理论 LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的 最优解 x21 x32 x43 x51 1 成绩为4 17 7 c43 c54 的新数据重新输入模型 用LINDO求解 指派 Assignm
11、ent 问题 每项任务有且只有一人承担 每人只能承担一项 效益不同 怎样分派使总效益最大 讨论 甲 自由泳 乙 蝶泳 丙 仰泳 丁 蛙泳 原 方 案 为了选修课程门数最少 应学习哪些课程 例3 选课策略 要求至少选两门数学课 三门运筹学课和两门计算机课 课号课名学分所属类别先修课要求 1微积分5数学 2线性代数4数学 3最优化方法4数学 运筹学微积分 线性代数 4数据结构3数学 计算机计算机编程 5应用统计4数学 运筹学微积分 线性代数 6计算机模拟3计算机 运筹学计算机编程 7计算机编程2计算机 8预测理论2运筹学应用统计 9数学实验3运筹学 计算机微积分 线性代数 选修课程最少 且学分尽量
12、多 应学习哪些课程 0 1规划模型 决策变量 目标函数 xi 1 选修课号i 的 课程 xi 0 不选 选修课程总数最少 约束条件 最少2门数学课 3门运筹学课 2门计算机课 课号课名所属类别 1微积分数学 2线性代数数学 3最优化方法数学 运筹学 4数据结构数学 计算机 5应用统计数学 运筹学 6计算机模拟计算机 运筹学 7计算机编程计算机 8预测理论运筹学 9数学实验运筹学 计算机 先修课程要求 最优解 x1 x2 x3 x6 x7 x9 1 其它为0 6门课程 总学分21 0 1规划模型 约束条件 x3 1必有x1 x2 1 模型求解 LINDO 课号课名先修课要求 1 微积分 2 线性
13、代数 3 最优化方法微积分 线性代数 4 数据结构计算机编程 5 应用统计微积分 线性代数 6 计算机模拟计算机编程 7 计算机编程 8 预测理论应用统计 9 数学实验微积分 线性代数 学分最多 多目标优化的处理方法 化成单目标优化 两目标 多目标 规划 讨论 选修课程最少 学分尽量多 应学习哪些课程 课程最少 以学分最多为目标 不 管课程多少 以课程最少为目标 不 管学分多少 最优解如上 6门课 程 总学分21 最优解显然是选修所 有9门课程 多目标规划 在课程最少的前提下 以学分最多为目标 最优解 x1 x2 x3 x5 x7 x9 1 其它为0 总 学分由21增至22 注意 最优解不唯一
14、 课号课名学分 1微积分5 2线性代数4 3最优化方法4 4数据结构3 5应用统计4 6计算机模拟3 7计算机编程2 8预测理论2 9数学实验3 LINDO无法告诉优化 问题的解是否唯一 可将x9 1 易为x6 1 增加约束 以学分最多为目标求解 多目标规划 对学分数和课程数加权形成一个目标 如三七开 最优解 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x9 1 其它为0 总学分28 课号课名学分 1微积分5 2线性代数4 3最优化方法4 4数据结构3 5应用统计4 6计算机模拟3 7计算机编程2 8预测理论2 9数学实验3 讨论与思考 最优解与 1 0 2 1的结果相同 学分最多 多目标规划 最优解与 1 1 2 0的结果相同 课程最少
