有限元第3讲补充平面问题整体刚度矩阵ppt课件.ppt

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1、5 平面问题有限元分析 整体刚度矩阵 曹国华 l整体刚度矩阵 l整体刚度矩阵的特点 l边界条件处理 l计算结果整理 1 前文对单元体进行了分折 得到了单元刚度方程 但要解决问题 还必须进一步建立整个计算模型的整体刚 度方程 完成这一步的关键 在于怎样将单元的刚度矩阵和 节点荷载列阵 分别 组装 成整体刚度矩阵和整体节点荷载 列阵 通过研究任意节点的平衡来建立整体刚度矩阵 该方法 不但比较直观 易懂 而且对怎样编写计算机程序是很有帮 助 整体刚度矩阵 2 整体节点载荷列阵 由各节点所受等效节点力按节点号码以 从小到大的顺序排列组成的列阵 等效节点力是由集中力 表 面力和体积力共同移置构成的 其中

2、集中力包括直接作用在弹 性体上的外力和边界约束力 如支座反力 为了研究整体刚度矩阵的组装过程 先引入两个概念 整体节点位移列阵 由各节点位移按节点号码以从小到大 的顺序排列组成的列阵 整体刚度矩阵 3 式中 不失一般性 仅考虑计算模型中有4个单元 如图所示 四 个单元的整体节点位移列阵为 整体刚度矩阵 4 对每个单元都可以写出相应的单元刚度方程 即单元节点平衡方程 例如 对 号单元 有 式中 号单元中第i i 1 2 3 节点所受力 为了便于组装整体刚度矩阵 将上式以整体节点位移 表示 即 号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵 整体刚度矩阵 5 同理 对于 单元 有 式中 号单元中第i i

3、1 3 4 节点所受力 号单元的扩大刚度矩阵 整体刚度矩阵 6 对于3单元 有 式中 3号单元中第i i 3 2 5 节点所受力 3号单元的扩大刚度矩阵 整体刚度矩阵 7 对于 单元 有 式中 号单元中第i i 3 4 5 节点所受力 号单元的扩大刚度矩阵 整体刚度矩阵 8 对于任意一个节点 可能承受两种力的作用 一种是其 它单元给予该节点的反作用力 另一种是作用在节点上的 等效节点力 对整体而言 前者属于内力 后者属于外力 每个节点在两种力的作用下处于平衡 将各单元刚度方程左边相加 即将各节点所受力相加 由于对于整体而言 单元给予节点的反作用力属于内力 在相加过程中相互抵消 所以各节点所受力

4、相加的结果只 有外力 即等效节点力 从而得到整体节点荷载列阵 如 下 整体刚度矩阵 9 将各单元刚度方程右边相加 从而得到整体刚度矩阵 如下 整体刚度矩阵 10 通过以上分析得 整体节点载荷与整体节点位移之间的 关系式 即结构整体有限元方程 如下 式中 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵 11 整体刚度矩阵组装的基本步骤 1 将单元刚度矩阵中的每个子块放到在整体刚度矩阵中的对应 位置上 得到单元的扩大刚度矩阵 注意对于单元刚度矩阵是 按照局部编码排列的 即对应单元刚度矩阵中的i j m 对于 整体刚度矩阵是按照整体编码排列的 即按节点号码以从小到 大的顺序排列 在组装过程中 必须知道单元节点的局部编码

5、 与该节点在整体结构中的整体编码之间的关系 才能得到单元 刚度矩阵中的每个子块在整体刚度矩阵中的位置 将单元刚度 矩阵中的每个子块按总体编码顺序重新排列后 可以得到单元 的扩大矩阵 例如在图中 单元 的局部编码为i j m 对应 整体编码为1 3 4 然后将单元 刚度矩阵中的每个子块按总 体编码顺序重新排列后 可以得到单元的扩大矩阵 注意有些 书籍中将局部编码表示为1 2 3或1 2 3等 2 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵 整体刚度矩阵 12 通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则 1 结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加 整体 刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度

6、矩阵子矩阵的集成 2 当整体刚度矩阵中的子矩阵 中r s时 该节点 节点r 或s 被哪几个单元所共有 则 就是这几个单元的刚度矩阵 中的子矩阵 的相加 如 应该是单元 中对应子矩阵 的集成 即 整体刚度矩阵 13 3 当 中 时 若rs边是组合体的内边 则 就是共用该 边的两相邻单元刚度矩阵中的子矩阵 的相加 如13边为单元 和 的共用边 则 4 当 中r和s不同属于任何单元时 则 0 如节点r 1和 s 5不同属于任何单元 此时 0 整体刚度矩阵 14 15 上述组装基本步骤和规则具有普遍意义 对于不同类型 不同形式的单元 只是相应节点的子矩 阵的阶数 节点自由度 节点自由度 可能不同 至于

7、组装整 体刚度矩阵的规律仍是相同的 正是因为有了这种组装规律 使得有限元法能够很方便地应用电子计算机进行计算 16 例 如图所示有限元模型 弹性模量为 厚度为 为 简化计算取 求整体刚度矩阵 17 单单元编编号 整体编码编码1 2 32 4 55 3 23 5 6 局部编码编码i j mi j mi j mi j m 以整体编码编码 表示的单单元 刚刚度矩阵阵子 块块 解 该模型中共有6个节点 4个单元 各单元的信息如表所示 各单元信息 18 同上例类似的分析 得 根据单元刚度矩阵的性质 可知 若3单 元5 3 2 则 整体刚度矩阵中的各子块是对所有单元相应的子块 求和得到的 实际只是对相关单

8、元求和 其中各子块 矩阵均为2行 2列 整体刚度矩阵用子块矩阵可以表示为 19 上式中任意一子块矩阵均为2行 2列 在计算过程中 无 需将每个单元刚度矩阵进行扩大 只需判断整体刚度矩 阵子块的下标 然后利用组装整体刚度矩阵的一般规则 进行计算 如 由图形可知 节点2由单元 和 所共有 则 20 由图形可知 25边为单元 和 的共用边 则 由图形可知 节点1 5不同属于任何单元 则 采用同样的方法进行计算 得到整体刚度矩阵为 21 22 整体刚度矩阵简单算例2 已知平面矩形结构 边长为1 E 1 t 1 NU 0 25 约束及外载形式如图所示 假定划分为 两个单元 23 单元1节点总码 1 2

9、4 单元2节点总码 3 4 2 逆时针排列 单元1刚度矩阵为 K22 24 单元2刚度矩阵与单元1相同 注意单刚中的k33块 在整体中为K22 K22 单刚来说为K33 25 单元2节点 2 3 4顺序 单元刚度矩阵为 26 单元1刚度矩阵扩充到整体刚度矩阵为 27 单元2刚度矩阵扩充到整体刚度矩阵为 K22 28 29 作业 如图所示有限元模型 弹性模量为 厚度 为简化计算取 E 1 t 1 求整体刚度矩阵 30 4 是奇异矩阵 在排除刚体位移后 它是正定阵 3 是稀疏矩阵 非零元素呈带状分布 用有限元方法分析复杂工程问题时 节点的数目比较多 整体刚度矩阵的阶数通常也是很高的 那么在进行计算

10、时 如果存储整体刚度矩阵的全部元素 将会浪费较大的资源 降低计算效率 如果根据整体刚度矩阵的特点进行编写程 序 可以大大节省资源 并提高计算效率 因此有必要了解 和掌握整体刚度矩阵的特点 整体刚度矩阵具有以下几个显 著的特点 1 是对称矩阵 2 中主对角元素总是正的 整体刚度矩阵的特点 31 1 是对称矩阵 由单元刚度矩阵的对称性和整体刚度矩阵的组装过程 可知整体刚度矩阵必为对称矩阵 利用对称性 在计算 机编写程序时 只存储整体刚度矩阵上三角或下三角部分 即可 2 中主对角元素总是正的 例如 刚度矩阵 中的元素 表示节点2在x方向产生单位 位移 而其它位移均为零时 在节点2的x方向上必须施加的

11、 力 表示节点2在y方向产生单位位移 而其它位移均为零 时 在节点2的y方向上必须施加的力 很显然在此情况下力 的方向应该与位移方向一致 故应为正号 32 3 是稀疏矩阵 非零元素呈带状分布 如果遵守一定的节点编号规则 就可使矩阵的非零元素都 集中在主对角线附近呈带状 整体刚度矩阵中的子矩阵 只 有当下标s等于r或者s与r同属于一个单元时才不为零 这就说 明 在第r双行中非零子矩阵的块数 应该等于节点r周围直接 相邻的节点数目加1 可见 中元素一般都不是填满的 是稀 疏矩阵 且非零元素呈带状分布 以下图所示的单元网格为例 其整体刚度矩阵中的非零子 块 每个子块为2行2列 的分布情况如下图所示

12、图中阴影 部分表示该子块不为零 其它子块部位均为零 33 34 35 显然 带状刚度矩阵的带宽取决于单元网格 中相邻节点号码的最大差值D 把半个斜带形区 域中各行所具有的非零元素的最大个数叫做刚度 矩阵的半带宽 包括主对角元 用B表示 如下 B 2 D 1 通常的有限元程序 一般都利用刚度矩阵的对 称和稀疏带状的特点 在计算求解中 只存储上 半带的元素 即所谓的半带存储 因此 在划分 完有限元网格进行节点编号时 要采用合理的编 码方式 使同一单元中相邻两节点的号码差尽可 能小 以便节省存储空间 提高计算效率 36 对于同样的有限元单元网格 按照图 a 的 结点编码 最大的半带宽为 按照图 b

13、的结点编码 最大的半带宽为B 按照图 c 的结点编码 最大的半带宽为B a b c 2 10 6 1 10 B 2 10 4 1 14 2 10 2 1 18 37 4 是奇异矩阵 在排除刚体位移后 它是正定阵 无约束的弹性体 或结构物 的整体刚度矩阵是奇异的 不存在逆矩阵 即关于位移的解不唯一 这是因为弹性体在 外力的作用下处于平衡 外力的分量应该满足三个静力平衡 方程 这反映在整体刚度矩阵中就意味着存在三个线性相关 的行或列 所以是个奇异阵 不存在逆矩阵 例如 设弹性 体在外力的作用下处于平衡 这时相应的解为 然后在给 予弹性体以刚体位移而相应的节点位移 这时 仍是问 题的解 因为刚体位移

14、不会破坏平衡 注 当排除刚体位移后 整体刚度矩阵是正定矩阵 38 前文已经提到在排除刚体位移后 整体刚度矩阵是正 定的 方程才可求得唯一解 排除刚体位移可以通过引入 边界约束条件来实现 这里介绍两种比较简单的引入已知 位移的方法 1 代入法 2 乘大数法 边界条件 39 1 代入法 该方法保持方程组仍为2n 2n系统 仅对整体刚度矩阵 和整体载荷列阵进行修正 下面以一个只有四个方程的简 单例子加以说明 方程如下 假定系统中节点位移 则当引入这些节 点的已知位移之后 方程就变成 40 若 则 然后 用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移 显 然 其解答仍为原方程的解答 在手算时 可直接将零位移

15、约束所对应的整体刚度矩阵中的 行和列直接划去 使得整体刚阵的维数变小 更便于手算 41 2 乘大数法 将 中与指定的节点位移相对应的主对角元素乘上一个 大数 同时将 中的对应元素换成指定的节点位移值 该大 数与节点位移相对应的主对角元素三者的乘积 若把此方法 用于上面的例子 则方程就变成 该方程组的第一个方程为 解得 这种方法就是使 中相应行的修正项远大于非修正项 42 1 代入法 2 乘大数法 在以上的两种方法中 代入法接近人工解法 虽然 该方法比较直观 但该方法对刚度矩阵改变较多 程序 效率不高 乘大数法对刚度矩阵改变较少 工作量较小 但相乘的 大数 若取得过大 求解时会发生 溢出 若取得

16、太小则会引起较大的误差 43 对于三节点三角形单元 单元内各点的应力值相等 算 出的应力一般作为单元形心处的应力 由于单元应力为常数 整个结构的应力场呈阶梯状 在单元之间不连续 而工程 上往往更加关心边界和节点上的受力情况 因此 必须对所 得到的应力再次进行处理 得到更加合理的应力场 并得到 所需点上的应力值 这里介绍两种简单的方法 一种方法称为节点平均法 即把环绕某一节点的各单元的应力加以平均作为该节点的应 力值 例如图中节点3的应力为 计算结果整理 44 为了使通过这样平均得来的应力比较接近实际情况 要求环绕节点的各单元尺寸不应相差太大 这种做法 对 内节点比较好 对边界点则可能很差 因此 边界节点处的应力不宜直接由单元应力平均来 获得 而要根据内节点的应力构造插值函数推算出来 例 如图中边界点1的应力 可以先用节点平均法求得节点2 3 4处的应力 在构造相应的插值函数推算边界点1的应 力 如常用的抛物线插值公式如下 计算结果整理 45 另一种方法称为单元平均法 即把两相邻单元的应力加 以平均 用以表示公共边界中点的应力 为了由这样平均所 得到的应力具有较好的精度 两相邻单元的面积