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1、2019-2020年高三暑假自主学习测试数学（理）试题含解析参考公式：样本数据的方差，其中一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.已知集合，则 . 2.设，向量且，则= 3.设复数满足(为虚数单位），则= .【答案】【解析】试题分析：由，得，所以.考点：复数的四则运算，复数模的概念.4.若，则的最小值为 5.样本数据18，16，15，16，20的方差 .6.已知双曲线的离心率为2，则的值为 _ _7.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为_ _.【答案】 9T1 i3 While T 10 TT +i ii+2 End While Print i8.已知函数,其中是取自集合的
2、两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_9.已知实数满足不等式组，则的最大值是 【答案】【解析】试题分析：不等式表示的平面区域如图所示为四边形及其内部，的几何意义为直线在轴上的截距，由图可知，当直线经过点时，截距最大，解方程得，所以.考点：简单的线性规划.10.已知函数，则满足的的取值范围是_11.如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，点到的距离之比为，则三棱锥和的体积比 .【答案】12.已知是直线上一动点，是圆的两条切线，切点分别为若四边形的最小面积为2，则= 13.已知函数和的图象的对称轴完全相同，则的值是 【答案】2【解析】试题分析：由两函数的图象的对称轴完全相同知，图象的一条对称轴为，所以
3、，得，所以.考点：三角函数的图象与性质.14.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为_. 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知向量，其中为的内角（）求角的大小；（）若，且，求的长【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）对进行化简，可求的值，进而求出角；（）先求16.（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，分别是的中点，（）求证：平面；（）求证：平面平面【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】试题分析：（）要证线面平行，先找线线平行；（）要证线面垂直，先证线面垂直，于是需找出图形中的线线垂直关系，以方便
4、于证明面面垂直.试题解析：（）取中点，连， 又， 所以平面 12分又平面，所以平面平面 14分考点：直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理.17.（本小题满分14分）设数列的前项和为，对任意满足，且（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和考点：等差数列、等比数列.18.（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通已知，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为 （）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；（）求排
5、管的最小费用及相应的角 故有， 4分所以 5分 8分（）设(其中)，19.（本小题满分16分） 已知椭圆的长轴两端点分别为，是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使，交于点，交于点 （）如图（1），若，且为椭圆上顶点时，的面积为12，点到直线的距离为，求椭圆的方程； （）如图（2），若，试证明：成等比数列得，即 9分由三点共线，及，得，即 11分20.（本小题满分16分）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数” （）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围
6、【答案】（）是，理由详见解析；（）；（）【解析】试题分析：（）判断方程是否有解；（）在方程有解时，通过分离参数求取值范围；（）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.试题解析：为“局部奇函数”等价于关于的方程有解5分从而在有解即可保证为“局部奇函数” 11分令， 1 当，在有解，附加题注意事项：1本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟2请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效3答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置21.【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤 （本小题满分10分）已知：如图，点在上，平分，交于点求证：为等腰直角三角形ACPBOB选修42：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵【答案】【解析】试题分析：先用待定系数法求出，再求出.试题解析：设矩阵的逆矩阵为，则， 1分即C选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为试求曲线和的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系D选修45：不等式选讲 （本小题满分10分）设实数满足，求证：22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等（）求曲线的方程； （）设，是轴上的两点，过点分别作轴的垂线，与曲线分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了同样，可由确定了现已知，求的值【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）根据抛物线的定义及标准方程求解；（）先由求，再由求.23.（本小题满分10分）设为实数，我们称为有序实数对类似地，设为集合，我们称为有序三元组如果集合满足，且，则我们称有序三元组为最小相交（表示集合中的元素的个数） （）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（）由集合的子集构成的所有有序三元组中，令为最小相交的有序三元组的个数，求的值【答案】（）详见解析；（）7680.【解析】
