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1、第 1 页一、集合：1、定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2、集合与元素的关系：（1）如果 a是集合 A的元素,就说 a属于集合 A，记作 a A；（2）如果 a不是集合 A的元素，就说 a不属于集合 A ，记作 a A。3、常见集合：(1)非负整数集(或自然数集) ：N ；(2)正整数集合： 或 ；(3)整数集合：*NZ，(4)有理数集合：Q；(5)实数集合：R.注意：（1）自然数集 N含有 0；（2）整数集 Z、有理数 Q、实数集 R内排除 0的集合分别表示为： Z*或 Z+、Q*或 Q+、R*或 R+。4、集合三要素：确定性、互异性、无序性。5、集合的分类：（1
2、）有限集含有有限个元素的集合。（2）无限集含有无限个元素的集合。特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作 。6、集合的表示方法：（1）列举法把集合中的元素一一列举出来的方法。如x 1，x 2，x n。（2）描述法： x | p(x) 有时也可写成 x：p(x) 。知识点二：集合之间的关系1、子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A中任意一个元素都是集合 B中的元素，则称集合 A是集合 B的子集。 记作：A B或(B A).性质： A（特别地 ） ； A A ； 若 A B,B C,则 A C。2、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等性质：A=B A B,B A3
3、、真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合 A是集合 B的真子集. BBx记作：A B A B，A B性质：若 A ,则有 A。 如果 A B,B C，那么 A C。规定：空集合是任何集合的子集.4.子集的性质A A，即任何一个集合都是它本身的子集如果 A B，B A，那么 A B =如果 A B，B C，那么 A C 如果 A B，B C，那么 A C二 空集1.不含任何元素的集合叫做空集，记作 .第 2 页2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3.0、0、 与 之间的关系 0 0 0 0 0 三 有限集合的子集的个数1.n个元素的集合有 个子集22.n个元素的集合有 个
4、真子集2-13.n个元素的集合有 个非空子集2-14.n个元素的集合有 个非空真子集2-2知识点三：集合间的基本运算：1、并集：一般地，由所有属于集合 A或集合 B的元素组成的集合，称为集合 A与 B的并集.记作：AB=x| x A,或 x B.性质：AA=A A=A AB=BAA AB ，B AB AB=B A B2、交集：一般地，由属于集合 A且属于集合 B的所有元素组成的集合，称为 A与 B的交集.记作：AB=x| x A,且 x B.性质：AA=A A= AB=BAAB A ，AB B AB=A A B3、全集与补集：设 S是一个集合，A 是 S的一个子集（即 A S） ，由 S 中所
5、有不属于 A的元素组成的集合，叫做 S中子集 A的补集（或余集） 。如果集合 S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。记作：U C SA=x| x S,且 x A性质：C UU= C U=U C U(CUA)=A(C UA)A= (C UA)A=UC U(AB)=(C UA )(C UB) C U(AB)=(C UA )(C UB)说明：“ , ”只能用在元素与集合之间。 “ ”等只能用在集合与集合之间。,一般地，若一个集合有 n个元素，则它有 2n个子集，2 n-1个真子集。一般地，对任意两个有限集合 A,B,有 card(AB)=card(A)+card(B)-
6、card(AB)（集合的个数）。解题方法及要点：1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性” 。如 ： 集 合 ， ， ， 、 、AxyByxCyxABC|lg|lg(,)|lg中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如 ： 集 合 ，xxa| |2301若 ， 则 实 数 的 值 构 成 的 集 合 为BAa第 3 页（ 答 ： ， ， ）103显然，
7、这里很容易解出 A=-1,3.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是-1 或者 3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0,不要把它搞忘记了。3. 注意下列性质： （ ） 集 合 ， ， ， 的 所 有 子 集 的 个 数 是 ；1 212aan n要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 a1来说，有 2 种选择（在或者不在） 。同样，对于元素a2, a3,an,都有 2 种选择，所以，总共有 种选择， 即集合 A 有 个子集。2n当然，我们也要注意到，这 种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况，
8、故真子集个数n为 ，非空真子集个数为1（ ） 若 ， ；B（3）德摩根定律： CCUUUUABAB，有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 ,B4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如 ： 已 知 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为 ， 若 且 ， 求 实 数xaMa50352的取值范围。 （ ， ， ， ， ）335501539222Maa注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 在上单调递减，在 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是 x=1.或者，我说在上 ，也应该马(,1)(1,)上可以想到 m，n
9、实际上就是方程 的 2 个根5、熟悉命题的几种形式、()()().可 以 判 断 真 假 的 语 句 叫 做 命 题 ， 逻 辑 连 接 词 有 “或 ”， “且 ”和 “非 ”若 为 真 ， 当 且 仅 当 、 均 为 真pqpq若 为 真 ， 当 且 仅 当 、 至 少 有 一 个 为 真若 为 真 ， 当 且 仅 当 为 假第 4 页例题分析1、集合a，b，c 的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 2、若 U=1，2，3，4，M=1，2，N=2，3，则 C U（MN）=（ ）A . 1，2，3 B. 2 C. 1，3，4 D. 43、集合 ， ， ，且 ，|,Pxk
10、Z|21,QxkZ|41,RxkZ,aPbQ则有（ ）A、 B、 ababQC、 D、 不属于 P、Q、R 中的任意一个R4、设集合 A=1,a,b,B=a, ,ab,且 A=B，求实数 a、b 的值.25、设全集 U=R，集合 ，或 ，集合 ，或 ，求 , , ,=|2 =|3 1 针对练习一、选择题1、下列四组对象，能构成集合的是（ ）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.下列命题中，正确的有 （ ）空集是任何集合的真子集若 A B，B C，则 A C 任何一个集合均有两个或两个以上的真子集如果凡不属于 B的元素也不属于 A，则 A B（A
11、） （B） （C） （D）第 5 页3、若1，2 A 1，2，3，4，5则满足条件的集合 A的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 94、方程组 的解集是 ( )1xyA .x=0,y=1 B. 0,1 C. (0,1) D. (x,y)|x=0或 y=15、以下六个关系式： ， ， , , ，0Q3.0N,ab是空集中，错误的个数是（ ）2|0,xxZA 4 B、3 C、2 D、1 6、点的集合 M(x,y)xy0是指 ( )A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集7、设集合 A= ，B= ，若 A B，则 的取值范
12、围是 （ ）12xxaaA B C D a112a8、已知 a ， ，则 （ ）=3 =|2A. B. C. D. = 二、填空题9、若 ， ，用列举法表示 B 4,32A,|2AtxB10、集合 A=x| x2+x-6=0, B=x| ax+1=0, 若 BA，则 a=_11、集合 ， ， _.3|或 41|x或 12、已知集合 A=x| , 若 AR= ，则实数 m的取值范围是 20xm13、50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40人，化学实验做得正确得有 31人，两种实验都做错得有 4人，则这两种实验都做对的有 人.三、解答题14、已知集合 M 2， ， ，若 2 ，求 x.= 32+34 2+4 第 6 页15、已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求 m的值三、布置作业1、设全集 U= ，A= ，C A= ，则 = ， = 。2,3a2,bU5ab2、已知集合 ， ，则 等于（ ）=|=2+1， =|=+1， A、(0,1),(1,2) B、(0,1),(1,2) C、y|y=1 或 y=2 D、y|y 13、若集合 1,3,x, 1, , 1,3,x，则满足条件的实数 x有（ ）= = 2 =A、1 个 B、2 个 C、3 个
