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1、测量的误差和不确定度测量的误差和不确定度 测量是物理实验的基础 测量结果应包括数值 单位和对测量结果精确程度的 评价 不确定度 以电阻测量为例 测量对象 数值 不确定度 单位 含义 R 的真值有相当大 例如95 的可能 概率 位于区间 909 9 910 7 之内 1 测量分为直接测量和间接测量 直接测量 由仪器直接读出测量结果的 间接测量 由直接测量结果通过公式计算 而得出结果的 2 例 测量铜柱的密度时 我们可以用米尺量出它的 高h和直径d 算出体积 然后用天平 称出它的质量M 算出密度 这里铜柱的高 h 直径 d 和质量 M是直接测得量 体积V和密度 是间接测得量 3 误差的定义 分类和
2、性质误差的定义 分类和性质 误差公理 测量总是存在误差的 误差普遍存在 误差定义 推论 1 真值不可确知 2 误差不可确知 误差虽然不可确知 但我们可以分析误差的主要来 源 尽可能消除或减小某些误差分量对测量的影响 把它控制在允许范围之内 对于最终不能消除的误差 分量 我们还可以估计出它的限值或分布范围 对测 量结果的精确程度作出合理的评价 4 误差分类误差分类 系统误差 测量值对真值的偏离 包括大小和方向 总是相同的 具有恒定性 不能用增加测量次数的方 法使它减小 偶然误差 由大量 微小 不可预知的因素引起 具有随机性 服从统计律 产生原因 系统误差 如仪器误差 方法误差 人员误差 偶然误差
3、 如实验条件和环境因素的起伏 估读数 的偏差 测量对象的不稳定 5 系统误差的处理系统误差的处理 已定系统误差 设法消除 或修正 测量结果 测得值 或其平均值 已定系统误差 如电表 螺旋测微计的零位误差 伏安法测电阻时电表内 阻引起的 误差 未定系统误差 估计其限值 仪器的允差 归入B类不确 定度参与对测量结果的评价 如仪器误差 6 B B类不确定度的估算类不确定度的估算 仪 器 名 称量 程最小分度值最 大 允 差 钢板尺 150 mm 500 mm 1000 mm 1 mm 1 mm 1 mm 0 10 mm 0 15 mm 0 20 mm 游标卡尺 125 mm0 02 mm 0 05
4、mm 0 02 mm 0 05mm 螺旋测微器 千分尺 0 25 mm0 01 mm 0 004 mm 七级天平 物理天平 500g0 05g 0 08g 接近满量程 0 06g 1 2量程附近 0 04g 1 3量程附近 普通温度计 精密温度计 水银 0 100 0 100 1 0 1 1 0 2 电表 级别 量程 数字万用电表 7 电流表 量程30mA 0 5级 仪器误差 举例 8 偶然误差的处理偶然误差的处理 偶然误差的特点 统计规律性 小误差出现的概率大 大误差出现的概率小 具 有单峰性 正 负误差对称分布 具有抵偿性 处理方法 取多次测量的平均值为测量结果 的最佳估计值 研究其分布
5、找出其特征 值 归入A类不确定度 参与对测量结果的 评价 9 偶然误差的分布偶然误差的分布 偶然误差一般服从正态分布 可用概率密度函数 来描述 概率密度函数为 1 当测量次数 时 所有测量值的算术平均值就等于真值 所以增加测量次数可以减小偶然误差 2 称为标准差 是 中的参数 反映误差的离散程度 10 3 置信区间 与置信概率 置信水平 的关系 11 偶然误差的处理方法 假定系统误差已消除 对同一个物理量进行n次测量 测得 的值为xi i 1 2 n 1 用多次测量的算术平均值作为x0的估计值 2 用算术平均值的标准差 作为 的估计值 按贝塞耳公式求出 测量结果可以表述为 12 为了估计测量结
6、果的可靠程度 测量结果应写成 不确定度 是概率意义上对测量结果精确程度的评价 表示测量结果是一个范围 它表示待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内 关键是找出 置信区间与置信概率的关系 若置信概率为100 则相应的 就称为极限误差 用 表示 写作 不确定度不确定度 13 也常用标准差 表示 写作 这时置信概率就为68 3 要完整地表示一个物理量 应该有数值 单位 不确定度这三个要素 相对误差和相对不确定度 常用相对不确定度估计相对误差的大小 14 例 测得两个物体的长度为 其相对不确定度分别为 两者不确定度相等 但相对不确定度后者大 1个数量级 注 不确定度一般取1 2位有效数字 15 不
7、确定度分类 不确定度分为两类 A 类分量 多次重复测量时 可用统计学方法 计算的 分量 常指标准差 B 类分量 用其他方法估算的分量 比如仪器 的允差或极限误差 总不确定度是这两类分量的方和根合成 16 A A类不确定度类不确定度 A的计算的计算 计算标准偏差 计算算术平均值的标准差 17 单次测量的几种情况 1 仪器精度较低 2 对测量的准确程度要求不高 3 受测量条件限制 单次测量只能考虑B类分量 即仪器的允差或 极限误差 表达式 若要在 与 间换算 单次测量的不确定度单次测量的不确定度 18 直接测量的数据处理程序直接测量的数据处理程序 求测量数据的平均值 修正已定系统误差 例如初读数x
8、0 得 求算术平均值的标准偏差 根据所用仪器得 B 仪 e 将极限误差换算为标准差 由 A B合成总不确定度u 给出直接测量的最后结果 19 例 用一级螺旋测微计测某一圆柱体的直径d共6次 测量值如下表 螺旋测微计的初读数为 0 003mm 螺旋测微计的仪器误差为 仪 0 004mm 求测量结果 解 1 求直径 d 的算术平均值 对已定系统误差进行修正 2 计算A类不确定度 i123456 Di mm 8 3458 3488 3448 3438 3478 344 20 3 计算B类不确定度 4 合成不确定度 5 测量结果为 21 设被测量y可写成m个直接测量量 的函数 通过直接测量已得 则 或
9、 22 适用条件 1 各直接测量量 互相独立 2 各直接测量量 的已定系统误差已 被消除或修正 23 常用函数的不确定度合成公式 24 间接测量的数据处理程序间接测量的数据处理程序 1 求出各直接测量量 xi 的平均值 和 总 不确定度 2 求y的平均值 3 据 求出 或 3 用 求出 或先用 求出 再求 4 完整表示出y的结果 25 例 已知金属环的外径 内径 高 求环的体积V 并正确表示测量结果 解 环体积公式为 1 环体积的最可靠值为 2 首先将环体积公式两边同时取自然对数后 再求全微分 26 则相对不确定度为 3 不确定度为 4 环体积的测量结果为 V 9 44 0 08 cm3 9
10、436应与0 08取齐 故将9 436修约为9 44 27 有效位数的概念 测量结果用且只用它的有效位数表示 不确定度决定有效位数 具体为 不确定度的有效位数取1位 测量结果的末位与 不确定度末位对齐 测量结果的有效位数越多 其相对不确定度越小 精确度越高 例 0 0123与1 23与123的有效位数都是3位 0 01230有效位数是4位 最右边的 0 是有效位数 不可以省略不写 2 22 2数值的数值的有效位数及其运算规则有效位数及其运算规则 28 记 例1 光速C 30万公里每秒 不正确的写法 C 300000km s C 30km s 正确的写法 C 3 0 105km s 3 0 10
11、8m s 例2 电子电量 e 1 602189 10 19 C 科学记数法 29 仪器的读数规则 1 刻度式仪表 在最小分度值后要估读一位 2 数字显示仪表 直接读取仪表的示值 3 游标类量具 读到游标分度值的整数倍 有效位数的运算规则 30 4舍6入5凑偶 1 要舍弃的数字小于5时 舍去 2 要舍弃的数字大于5时 进1 3 要舍弃数字刚好是5 凑偶 例 保留3位有效位数 则 9 8249 9 82 9 82571 9 83 9 8250 9 82 数值的修约规则 31 运算过程多保留1至2位 最终结果的有效位数由不确定度决定 要点 1 避免运算过程引入不必要的 舍入误差 2 最终结果按有效位
12、数的规则进行修约 归根到底 不确定度决定有效 位数 有效位数的运算规则 32 例 已知 求 并正确表示测量结果 解 1 注意应取 3 1416 参与运算 2 注意多算出1位 最后再作修约 3 V 9 44 0 08 cm3 注意最终结果的正确表达 33 1 两数相加 减 其和 差 的有效位数的最后 即最右 一位与 两数中最后一位位数高者相同 如 11 4 3 56 15 0 75 10 350 65 十分位 十分位 个位 个位 2 两数相乘 除 其积 商 的有效位数与两数中有效位数少者相 同 如 98 2003 2 0 105 2 000 0 991 2 02 二位 二位 三位 三位 注 正确
13、数不适用上述规则 常数应取足够的有效位数参与运算 简化的运算规则 34 3 3 实验数据的列表与作图实验数据的列表与作图 3 1 3 1 数据列表数据列表 3 2 3 2 作图法处理实验数据作图法处理实验数据 35 3 1 3 1 数据列表数据列表 所有实验数据都要用列表的方法记录 例 表1 伏安法测电阻实验数据 36 作图可形象 直观地显示出物理量之间的函数关系 可用来求某些物理参数 作图规则 以伏安法测电阻实验为例 表1 伏安法测电阻实验数据 要用坐标纸作图 根据坐标分度值和数据范围 确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度 坐标轴的标注 所代表的物理量的名称
14、单位 分度值等 标出数据点 连成光滑曲线 标注图题及必要的说明 3 2 3 2 作图法处理实验数据作图法处理实验数据 37 I mA U V 8 00 4 00 20 00 16 00 12 00 18 00 14 00 10 00 6 00 2 00 0 2 004 006 008 0010 001 003 005 007 009 00 电阻伏安特性曲线 38 利用所绘直线作有关计算 I mA U V 8 00 4 00 20 00 16 00 12 00 18 00 14 00 10 00 6 00 2 00 0 2 004 006 008 0010 001 003 005 007 009
15、 00 A 1 00 2 76 B 7 00 18 58 由图上A B两点可得被测电阻R为 39 不当图例展示 n nm 1 6500 500 0 700 0 1 6700 1 6600 1 7000 1 6900 1 6800 600 0 400 0 玻璃材料色散曲线图 图1 曲线太粗 不 均匀 不光滑 应该用直尺 曲 线板等工具把实 验点连成光滑 均匀的细实线 40 n nm 1 6500 500 0 700 0 1 6700 1 6600 1 7000 1 6900 1 6800 600 0 400 0 玻璃材料色散曲线图 改正为 41 图2 I mA U V 0 2 00 8 00 4
16、 00 20 00 16 00 12 00 18 00 14 00 10 00 6 00 2 00 1 003 00 电学元件伏安特性曲线 横轴坐标分度选取 不当 横轴以3 cm 代 表1 V 使作图和读图都 很困难 实际在选择坐标 分度值时 应既满足有效 数字的要求又便于作图和 读图 一般以1 mm 代表 的量值是10的整数次幂或 是其2倍或5倍 42 I mA U V o 1 002 003 004 00 8 00 4 00 20 00 16 00 12 00 18 00 14 00 10 00 6 00 2 00 电学元件伏安特性曲线 改正为 43 定容气体压强 温度曲线 1 2000 1 6000 0 8000 0 4000 图3 P 105Pa t 60 00140 00100 00o120 0080 0040 0020 00 图纸使用不当 实际作图时 坐标原点的 读数可以不从 零开始 44 定容气体压强 温度曲线 1 0000 1 1500 1 2000 1 1000 1 0500 P 105Pa 50 0090 0070 0020 0080 0060 0040 0030
