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1、第6章 带通随机信号 1 6 1 希尔伯特变换 与解析信号 n一 希尔伯特变换 n设有一个实值函数 它的希尔伯特变换记 作 或 2 希尔伯特变换的单位冲激响应及其传递函数 证明 由傅立叶变换的性质 若 则 3 n希尔伯特逆变换 n证明 4 n希尔伯特变换相当于一个正交滤波器 5 n二 希尔伯特变换的性质 n性质1 实确定信号连续两次希尔伯特变换 n证明 6 性质2 卷积后的希尔伯特变换 证明 7 n性质3 H变换前后信号能量 功率不变性 n性质4 H变换不影响广义平稳随机信号的相关 函数与功率谱 8 n性质5 广义平稳随机信号与其H变换的互相关 函数的关系 n证明 9 n性质6 H变换前后广义
2、平稳随机信号的正交性 10 n证明 n性质7 高频窄带信号的H变换 n性质8 实偶函数的希尔伯特变换为实奇函数 11 n证明 12 n性质9 实奇函数的希尔伯特变换为实偶函数 13 解析信号 n一 实随机信号的解析信号 n定义 给定任一实随机信号 定义一复随 机信号 是 的希尔伯特变 换 是 的复解析信号 14 n二 实随机信号的解析信号特性 n性质1 确定实信号与其解析信号谱间的关系 n证明 15 n性质2 实随机信号与其解析信号功率谱间关系 n证明 16 n性质3 实随机信号与其解析信号的自相关函数 间的关系 n证明 17 n性质4 解析信号的均值函数 n性质5 工程信号的FT谱的实部与虚
3、部都是 域的希尔伯特变换对 18 6 2 复随机信号 n定义 若X t 和Y t 是两个实随机信号 则 Z t X t jY t 是复随机信号 n1 均值函数 n2 自相关函数 19 n自相关函数性质 1 同一时刻的自相关函数值 2 共轭对称性 20 n证明 n 3 自相关函数的幅值 n3 协方差函数 21 n可以证明 n且 22 n4 相关系数 n5 互相关系数 有两个复随机信号U t Z t n可以证明 23 n6 互协方差函数与互相关函数 i 若 则Z t U t 互不相关 ii 若 则Z t U t 相互正交 24 平稳性与功率谱 n平稳性 n性质1 n性质2 25 n功率谱仍满足维纳
4、 辛钦定理 n复随机信号X t 经过线性系统输出Y t 26 n例 假定复指数信号 其中 和 为实随机变量 且彼此独立 假定 的均方 值为 在 上均匀分布 讨论 n 1 它的广义平稳性与功率谱 n 2 它通过冲激响应为 的系统后 输出Y t 的自相关函数 n解 27 nX t 广义平稳 28 6 3 带通信号与调制 n定义 若随机信号x t 的功率谱密度满足 则x t 称带通随机信号 29 30 n带通随机信号的时间表达式 包络中心频率相位 31 n而 n称为低频带限正交分量 32 n 的性质 X t 是实平稳随机信号 均值为0 证明 33 n证明 34 n证明 35 n同理可证 36 n证明
5、 37 n同理可证 38 39 40 41 42 43 44 45 基带信号的复数表示 n基带信号 n已调信号 46 调制与解调 n解调 47 6 4 窄带高斯信号 n基本概率分布 48 n性质1 若平稳窄带高斯信号 的均值为零 方差 为 则它的同相分量 和正交分量 彼 此独立 并具有相同的高斯分布 49 n性质2 若平稳窄带高斯信号 方差为 则它们的包络 和相位 在同一时 刻上 彼此独立 并分别服从瑞利与均匀分 布 50 n性质3 若平稳窄带高斯信号 方差为 则它的包络平方 服从参数 的指数分布 51 6 5 窄带高斯噪声中的高频信号 n合成信号及其基本分布 52 n给定 的条件下的各种概率分布 n合成信号 的同相分量 与正交分量 在同一时刻上 是彼此独立的 并具有不同 均值 相同方差的高斯分布 53 合成信号的包络与相位分布 n包络服从莱斯分布 54
