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1、定积 分 第一节 定积分的概念与性 质 a bx y o A 曲边边梯形由连续连续曲线线 y f x f x 0 x轴轴与两条直线线x a x b所围围成 实实例1 求曲边边梯形的面积积 一 问题 的提出 y f x a bx y xo a b y o 用矩形面积积近似取代曲边边梯形面积积 显显然 小矩形越多 矩形总总面积积越接近 曲边边梯形面积积 四个小矩形 九个小矩形 曲边边梯形如图图所示 在区间间 a b 内插入若 干 个分点 a x0 x1 x2 xn 1 xn b oa xi 1 i xi xn 1 b x y x1 把区间间 a b 分成 n 个 小区间间 xi 1 xi 长长 度
2、为为 xi xi xi 1 在每个小区间间 xi 1 xi 上任取一点 i 以 xi 1 xi 为为底 f i 为为高的小矩形面 积为积为 Ai f i xi n A f i xi i 1 当分割无限加细 记小区间的最大长度 或者 x x max x1 x2 xn 趋近于零 x 0或者 0 时 曲边边梯形面积积的近似值值 为为 曲边边梯形面积积为为 A lim f i xi n 0 i 1 实实例2 求变变速直线线运动动的路程 设设某物体作直线线运动动 已知速度v v t 是 时间间时间间 隔 T1 T2 上 t 的一个连续连续 函数 且 v t 0 求物体在这这段时间时间 内所经过经过 的路
3、 程 思路 把整段时时间间分割成若干小段 每小段上 速度看作不变变 求出各小段的路程再相加 便 得到路程的近似值值 最后通过过对对时时间间的无限细细 分过过程求得路程的精确值值 1 分割T 1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2 ti ti ti 1 si v i ti 部分路程值值某时时刻的速度 2 求和 n s v i ti i 1 max t1 t2 tn 3 取极限 s lim v i ti n 0 i 1 路程的精确值值 定义义 设设函数 f x 在 a b 上有界 在 a b 中任意插入 记记 x max x1 x2 xn 如果不论论对对 a b 若干个分点 a x x x x
4、 x b 012n 1n把区间间 a b 分成n个小区间间 各小区间间的长长度依次 为为 xi xi xi 1 i 1 2 在各小区间间上 任取 一点 i i xi 作乘积积 f i xi n 并作和S f i xi i 1 i 1 2 二 定积分的定义 怎样样的分法 也不论论在小区间间 xi 1 xi 上 a 积积分下限 f x dx I lim f i xi b n 0 i 1 被 积积 函 数 被 积积 表 达 式 积积 分 变变 量 a b 积积分区 间间 点 i 怎样样的取法 只要当 x 0 时时 和S 总总 趋趋于 确定的极限I 我们们称这这个极限 I 为为函数 f x 在区间间
5、a b 上的定积积分 记记 为为 积积分上限 积积分 和 注意 1 积积分值仅值仅 与被积积函数及积积分区间间有关 而与积积分变变量的字母无关 a bb f x dx a f t dt a f u du b 2 定义义中区间间的分法和 i 的取法是任意的 3 当函数 f x 在区间间 a b 上的定积积分存在时时 称 f x 在区间间 a b 上可积积 当函数 f x 在区间间 a b 上连续连续 时时 称 f x 在区间间 a b 上可积积 定理1 定理2设设函数 f x 在区间间 a b 上有界 且 只 有 有 限 个 第 一 类类的 间间断 点 则则 f x 在区间间 a b 上可积积
6、三 存在定理 f x 0 a f x dx A b 曲边边梯形的面积积 f x 0 a f x dx A 曲边边梯形的 面积积 的负值负值 b A1 A2 A3 A4 A4A2 A3 f x dx A 1 b a 四 定积分的几何意义 几何意义义 它是介于 x 轴轴 函数 f x 的图图形及两 条 直线线 x a x b 之间间的各部分面积积的 代数和 在 x 轴轴上方的面积积取正号 在 x 轴轴 下方的面 积积取负负号 例1 利用定义计义计 算定积积分x dx 1 0 2 解 将 0 1 n等分 分点为为x i i 1 2 n n i 小区间间 xi 1 xi 的长长度 xi 取 i xi
7、i 1 2 n i 1 2 n n 1 n f i xi i 1 i x i i 1 n 2 x x i 1 2 i i n ni 1 n 2 i 1 n i 2 n 3 i 1 n 1 6 1n n 1 2n 1 n 3 1 1 2 1 16 n n x 0 n x dx 1 0 2 x i i n 0 i 1 lim 2 n lim 1 1 1 2 1 1 n n 6 3 五 定积分 的性 质 证证 a f x g x dx n b lim f i g i xi 0 i 1 lim f i xi lim g i xi nn 0 i 1 0 i 1 a f x dx a g x dx 此性质
8、质可以推广到有限多个函数作和的情况 bb bbb 性质质1 a f x g x dx a f x dx a g x dx a kf x dx k a f x dxk bb 为为常数 证证 a kf x dx lim kf i xi b n 0 i 1 lim k f i xi nn i 1 0 k lim f i xi 0 i 1 k a f x dx b 性质质 2 a b cb f x dx a f x dx c f x dx 补补充 不论论 a b c的相对对位置如何 上式总总成立 例 若 a 则则 a b c c f x dx a f x dx b f x dx cb a b f x
9、dx a f x dx b f x dx cc cb a f x dx c f x dx 定积积分对对于积积分区间间具有可加性 性质质3假设设a c b 性质质4 1 dx b a dx b a b a 则则 a f x dx 0 b a b 证证 f x 0 f i 0 i 1 2 n xi 0 n f i xi 0 i 1 max x1 x2 xn i i n 0 i 1 f x lim f x dx 0 b a 性质质5如果在区间间 a b 上 f x 0 例 1比较积较积分值值 e dx 和 x 2 0 xdx 的大小 2 0 解令 f x e x x x 2 0 f x 0 e x
10、x dx 0 0 2 e dx x 2 0 xdx 0 2 于是 e dx x 2 0 xdx 2 0 可以直接作出答案 性质质5的推论论 1 如果在区间间 a b 上 f x g x 证证 f x g x g x f x 0 a g x f x dx 0 a g x dx a f x dx 0 b bb 于是f x dx bb a g x dx a 则则f x dx g x dx a b bb a a f x dx f x dx a b b a a b 证证 f x f x f x f x dx f x dx f x dx b a bb a a 即f x dx f x dx b a a b
11、说说明 f x 在区间间 a b 上的可积积性是显显然的 性质质5的推论论 2 设设M 及m分别别是函数 证证 a m f x M a mdx a f x dx a Mdx bbb m b a f x dx M b a b a 此性质质可用于估计计积积分值值的大致范围围 曲边边梯形的面积积 夹夹在两个矩形之 间间 则则m b a f x dx M b a b f x 在区间间 a b 上的最大值值及最小值值 性质质 6 解 f x sin x x x 2 x 2 f x x cos x sin x cos x x tan x 0 x 42 f x 在 上单单调调下降 4 2 故 x 为为极大点
12、 x 为为极 小点 42 例2 不计计算定积积分 估计计 的大小 dx x sin x 2 4 2 4 2 4 M f 2 2 m f 2 4 2 b a 244 2 sin x dx 2 2 4 4 1 2 sin x dx 2 x 2 x 证证 性质质7 Th5 1 定积积分第一中值值定理 如果函数 f x 在闭闭区间间 a b 上连续连续 则则在积积分区间间 a b 上至少存在一个点 f x dx M b a m b a 1 m b a f x dx M b a b a 由闭闭区间间上连连续续函数的介值值定理 知 使 a f x dx f b a a b 积积分中值值公式 b 在区间间
13、a b 上至少存在一个点 使f x dx 1 f b a b a f x dx f b a b a a b 积积分中值值公式的几何解释释 在区间间 a b 上至少存在一 xoa b 个点 使得以区间间 a b 为为 即 y f 以曲线线 y f x 底边边 为为曲边边的曲边边梯形的面积积 等于同一底边边而高为为 f 的一个矩形的面积积 Th5 2 推广的积积分第一中值值定理 如果函数 f x g x 在闭闭区间间 a b 上连续连续 且 g x 在闭闭区间间 a b 上可积积且不变变号 则则在积积分区间间 a b 上至少存在一个点 使 f x g x dx f g x dx当g x 1时 即为
14、 Th5 1 bb aa 六 积分上限函数及其导数 设设函数 f x 在区间间 a b 上连连续续 并且设设 x 为为 a b 上的一点 考察定积积分 a x x f x dx a f t dt 记记 x a f t dt x 积积分上限函数 如果上限x 在区间间 a b 上任意变动变动 则则对对 于 每一个取定的x 值值 定积积分有一个对应对应 值值 所以 它在 a b 上定义义了一个函数 ax xb x y f t dt o 定理 如果 f x 在 a b 上连续连续 则积则积 分上限的函 数 x f t dt 在 a b 上具有导导数 且它的导导 x a 数是f t dt f x a x
15、 b x dx d x a 证证 x x x x a x x x a f t dt a f t dt x x x x x x a f t dt x x x xb f t dtf t dt f t dt x a x x x x a x f t dt x x 由积积分中值值定理得 f x x 0 x f x lim limf x 0 x 0 x x f x o x x x a x y x 计计算下列导导 数 t 2e t t t cosx x x dt dx dx d edt dx d edt d 1 1 1 2 2 2 3 2 1 补补充如果 f t 连续连续 a x b x 可导导 则则F x
16、 f t dt 的导导数F x 为为 b x a x 证证F x f t dt a x b x 0 0 f t dt 0 b x 0 f t dt a x F x f b x b x f a x a x f t dt f b x b x f a x a x F x dx b x a x d 例1求 lim x 0 2 1 cos x 2 x edt t 解 e t d 1 cos x 2 dt dx dt cos x t 2 1 e dx d cos x cos2 x e sin x e cos2 x x 2 1 cos x lim x 0 2 dt e t 2x 2 sin x e cosx lim x 0 1 2e 0 0 分析 这这是型不定式 应应用洛必达法则则 定理2 原函数存在定理 如果 f x 在 a b 上连连续续 则积则积分上限的 函 数 x 原函数 f t dt 就是 f x 在 a b 上的一个 x a 定理的重要意义义 1 肯定了连连续续函数的原函数是存在的 2 初步揭示了积积分学中的定积积分与原函数之 间间的联联系 定理 3 微积积分基本公式 如果F x 是连续
