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1、2019-2020年高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积 文 空间几何体的三视图1.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(B)解析:由题意知,选项A,C中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项D中所给几何体的侧视图不符合要求.故选B.2.(xx福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(A)(A)圆柱(B)圆锥(C)四面体(D)三棱柱解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选A.3.(xx湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,
2、0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)(A)和(B)和(C)和(D)和解析:在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为,俯视图为.故选D.4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥ABCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选D.空间几何体的表面积与体积5.(xx新课标全国卷)九章
3、算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(B)(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛解析:设圆锥底面半径为r,因为米堆底部弧长为8尺,所以r=8,r=(尺),所以米堆的体积为V=()25(立方尺),又1斛米的体积约为1.62立方尺,所以该米堆有1.6222(斛),选B.6.(xx新课标全国卷)一个正方体被一个平面
4、截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截去了正方体的一个角.设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为V1=111=,故剩余部分的体积为V2=,所求比值为=.7.(xx河北沧州质检)已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则其俯视图的面积为(B)(A)+2(B)2+4(C)2+6(D)+4解析:三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥,因为V=a24+2aa4=a2(+2)=,所以a2=4,所以俯视图的面积为a2+2aa=2+4,故选B
5、.8.(xx大庆市二检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A)(A)32+4(B)24+4(C)12+ (D)24+解析:该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为2,2,3,球的半径为1,故其表面积为222+234+412=32+4,故选A.多面体与球的切接问题9.(xx东北三校联合二模)一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为(B)(A)16(B)9(C)4(D)解析:由三视图可知立体图形如图所示.由三视图知顶点A在底面BCD上的射影E为BD中点,AE底面
6、BCD,BCCD,BC=CD=2,BD=2,AE=2,设O为外接球球心,AO=R,OE=2-R,则AB=,在RtBOE中R2=(2-R)2+()2,得R=,因为S=4R2,所以此三棱锥外接球的表面积为9.10.(xx甘肃兰州第二次监测)已知长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上,若球O的表面积为16,且ABADAA1=12,则球心O到平面ABCD的距离为(B)(A)1(B)(C)(D)2解析:设外接球O的半径为R,则4R2=16,所以R=2,由题意知长方体的对角线为球的直径,又ABADAA1=12,设AD=x,AB=x,AA1=2x,则x2+(x)2+(2x)2=42,解得x
7、=,球心O到平面ABCD的距离为AA1=x=,选B.11.(xx江西上饶三模)从点P 出发的三条射线PA,PB,PC两两成60角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP=,则球的体积为(C)(A)(B)(C)(D)解析:设OP交平面ABC于O,由题得ABC和PAB为正三角形,所以OA=AB=AP,因为AOPO,OAPA,所以=,=,=,所以OA=1,即球的半径为1,所以其体积为13=.选C.12.(xx东北三校第一次联合模拟)三棱柱ABCA1B1C1各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,ACB=120,CA=CB=2,AA1=4,则这个球的表面积为.解析:在ABC中,ACB=120,CA=C
8、B=2,由余弦定理可得AB=6,由正弦定理可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O,球心为O,在RtOAO中,球半径R=4,故球的表面积为S=4R2=64.答案:64 一、选择题1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(D)解析:根据几何体的三视图知识求解.由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是选项D.2.(xx河南模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是(D)解析:根据正视图与侧视图的形状和几何体的体积是,知底面积是,所以底面是一个半径为1的四分之一圆,故选
9、D.3.(xx河南六市第二次联考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是(B)(A)2 cm3(B) cm3(C)3 cm3(D)3 cm3解析:由三视图可知几何体如图所示,其侧面PCB与底面垂直,且PCB为边长为2的正三角形,底面为直角梯形,上底为1,下底为2,高为2,所以四棱锥的体积为V=(1+2)22=.4.(xx赤峰模拟)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为(B)(A)(B)2(C)4(D)解析:三棱锥的正视图如图所示,所以该三棱锥的正视
10、图面积=22=2.故选B.5.(xx太原市高三模拟)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是扇形,则该几何体的体积为(B)(A)4(B)2(C)(D)解析:由正视图可知该几何体的高为H=3,其俯视图如图,OA=OB=2,AC=,ACOB,所以AOB=,弧AB的长为,所以扇形面积为S=2=,所以几何体的体积为V=3=2.选B.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(B)(A)6+(B)7+(C)8+(D)7+2解析:由三视图可知该几何体是底面为直角梯形(梯形上底长为1,下底长为2,高为1),高为1的直棱柱,故其表面积为112+(1+2)12+12+1=7+.故选B.7.(xx黑龙
11、江高三模拟)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都如图所示.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是(B)(A)(B)3(C)4(D)6解析:由三视图可知,该四面体是正方体的一个内接正四面体,且正方体的棱长为1,所以内接正方体的对角线长为,即球的直径为,所以球的表面积为S=4()2=3,故选B.8.(xx辽宁沈阳高三一模)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱的长都为3,顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(B)(A)9(B)21(C)33(D)45解析:如图,因为所有棱的长都为3,所以OO1=,OA即为其外接球的半径R,又AO1=3=,
12、所以R2=O+A=()2+()2=,所以S球=4R2=21.故选B.9.(xx河南六市联考)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,四边形ABCD为直角梯形,上底为2,下底为4,高为2,且OA,AB,AD两两垂直,OA=2,所以该几何体的体积为V=2=4.选D.10.(xx郑州第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为(C)(A)32(B)32(C)64(D)64解析:设三棱锥的高为h,则根据三视图可得所以x2+y2=128,因为x0,y0,所以x2+y22x
13、y,所以xy64,当且仅当x=y=8时取“=”号,故xy的最大值为64.选C.11.(xx广西南宁二模)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为(B)(A)24(B)6(C)4(D)2解析:依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥ABCD,其中AB平面BCD,AB=,BC=CD=,BD=2,将该三棱锥补成一个正方体,则有(2R)2=()2+()2+()2=6,所以R=,所以外接球的表面积为S=4R2=4()2=6.选B.12.(xx唐山市一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(C)(A)4(B)21+(C)3+12(D)+12解析:根据三视图可知该几何体是正
14、六边形截得的正方体下方的几何体,因为正方体的棱长为2,所以根据分割的正方体的2个几何体的对称性得,S1=622=12,正六边形的面积为6()2=3,所以该几何体的表面积为12+3.选C.二、填空题13.(xx广西南宁二模)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等且=,则的值是.解析:设两个圆柱的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则由题意知,=,又2r1h1=2r2h2,所以=,把代入可得,=,所以=()2=()2=.答案:14.(xx辽宁沈阳高三一模)已知某多面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此多面体最长的一条棱长为.解析:由三视图知,该几何体是一个四棱锥,如图所示,其底面是直角梯形,AD
