爱因斯坦引力场方程及精确解

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1、十堰 大学学报 自然 科学版 年第 期 爱 因 斯坦引 力场 方程 及精确解 范秀英 一 一 七 广义相对论的基本观 点是时空结 构取 决于物质的分布及运动 爱因斯坦提出的 场方程即弓 力场的基本运动规律 体现 了 运动的物质及其分布决定周围的时 空性 质 对任意坐标变换场方 程形式 不变 而在 弱场情况下与牛顿 引 力的泊松 方 程对 应 爱因斯坦弓 力场方程实际上包 括 了广义相 对论全部内容 一 爱因斯坦引力场方程的导出 假设 引 力场在尺度上 均匀 是 只依 赖于度规 及一阶 二阶导数的张量 具对称 守恒 在弱场 能量 动量张量 正 比 于 的表达式 一一 二 可得 一 了二辰 一 冬

2、了二辰 一 且边 界上 鲍 有 二 一 二 一 布命互去 一言 台 了 一 丫 为任 意变分 一 得 一 告 一 此 即为无物质时真 空引 力场方程 物质在 弯曲时空 中拉氏函数 一 是 一 一粤 有 占 一 告 入 一 二 常数 入常设为零 这样可得 出爱因斯 坦引力场方程 的形式 由从根本上反 映物 理规律本质的最小作用量原理 可严 格导出 爱因斯坦 引力场方程 设 引 力场与物质的作用量分别是 和 耐 一 令 阿 货 狱 且 如 独立变分 有等一 易 等 一 即物质在弯曲时空 中运动方程 一 告 争 一 益 会 令能 量 动量张量 一 了二厄 尸 孔 孔 二弄不又二厂不亏一一二万 一认

3、一 电 一 一 二 须满足 一 则 为 整个四维时空区域 了二百 几汽 一 二 瓜 由 己 一 得 一丁 蕊 二 二 厂百 盖 一 音 一 瞥 二 二 蕊 一 丫二百 几 再由 的任意性得爱因斯坦引力场方程 为 一 一 爱 因斯坦 引力场方 程及精确解 找 一 万于 乙 兀 一 丁刃尸 七 一 聂 静止时此 项为 场方程 左 边描写 时空几何性质的量 右边描写物质性质的量 二 弓 力场方程的精确解 爱因斯坦场方 程的各种精确 解已由 等人 于 年前后讨论过 用常 密度的一个理想流体球模型求场方程的精 确解由 于 年求得 又 于 年给出了流体球的五种场 方 程的精确解 于 年详细讨论 了求解爱因

4、斯坦场方程的普遍假定 球对称静态存 解 所有 量 对时间导数为零 一 由 中 一 一 是 的函数 一 一 日 中 一 一 一 一一 一 亨 二卜 艺 百 一 一 一一 月卫 乙 一告 一 一 一子 一 鑫 一粤 一 L 白 1 一百g 气g 2 一g 一 g 1 言户 1 1 葺 1 白 9 3 1 3 9 3 3 9 1 3 3 9 33 1 一 1 一 z 1 1一口目 r呈 2 901 gZL 2 g 2 一922 0 一e 0 一e S in ZxZ 1 一万g 一g o夕 1 一 万 饰er 乙 r 里 3 o沱0 0e y0 0 0 一一 g i P呈 00 e 一e 一p 0 一

5、ep Sin ZxZ P璧 g g g g l 一g g 一 告 93 9 3 1 2 9 12 一 92 3 一 一 告 93 3 933一 一 o 一 合 92 9 0 1 一 9 12 一92 一 一告g 9 22 一合9 3 1 9 0 1 一 9 13一93 一 告 g 3 9 3 3 e 了 1 月e s t卫 e s e s e s e s e s e s l e s 1一2 一一 P 一P 一 音 民 r 2一 合 92 1 9 2 1 2 9 12 一 92 1 a l一2 一一 g 1911 1 一 合 一e 一e 1 1 1一少曰 叙 叙 一 一 永下一 了丽 P全 一

6、粤 g g L 1 g 1 一g ll L 山 一 合 g g 0一 g 1 一g 1 一 告 g 29 P 3一 告 9 1 9 3 1 g 3一93 3 1 l 一百e 一 e o e一yao 一告9 1 9 3 1 3 g 3 一 93 3 一告 15 n 卜 人 万 一心自 58 十堰大学学报 自然科学版 一 9 9 4 年第 3期 一 1 1 三 s一二歹g 一 气 g 1 3 十g一 3 3 一9 33 l夕 白 备 a y l 一 音 民 专 民 2 1 万g一 Lg 十9 23 3 一9 33 少 一sin6eos6 1 1 1 一百 o 一 万 一 万叩0 3一 音 90 1

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8、 arzehild 球坐标中 p 一ZlnX Zln r 对于真空静止球对称解 对时间的导 数为零 T叙 0 G I一O l 1 一百 户0一 万 o了o少 J 1 检 工座1戈八 找k 一万g i 一U 乙 一1 e卜 合 1 1 音 十 专 化简有 一一一一 R R 专 IYI一 专 一 1 一 一 合 一 合 民一专 a 民 专 1 二 a 1 八 一万 Jl十 一一 万 11火a o一11少 U 乙 r 生 合 y 1一 令 一 警 a l 一yl 一O R 3 s in 2 6R 2 2 1 1 找 拌 十 眺一万a 十 石一 万a 一e 冬 丫 一 一 乙 一 合 y 一 一 专

9、yl l一 专 一 y 一 a y 入一eo nst 代 得 l一e一ra 二o 1 1 十万 了 一万户 R 飞 一 R 1一 音 飞 一 合 一 一专民一 其余为 O G 一 一 奋 所一合几yl e一 即 re 一 一1 一 re一一r一Zm 乘 e一a得e一 一ra e一 1 即d re 一 d r 由 得 卜 Z m e 一e e火1 一 少 T y 民 1一 2 3 八 e 一 L户00十丁户 任 改变时间坐标函数即使 入一0 得 G爹一 G弓一e 一 专 一 专 12一 合 1 1 l 1 一万 一万p 一万 以lpl 个 边界处连 续的解 是 Sehw arzehild 解 即

10、在边界处 r a 有 一 59 一 爱因斯 坦引力场方程及 精确解 Znz z一 l 了一厂 一十 上寸 XX 一一 P 一 兀一 C n o一 p r 一 e 一 e 一 一 Zu u 一 半 其 压 强 和密度都须满足约束条件 能 量一一 动量张量的迹是正的 即P二P C 3 光速 c 为极值 信号传播速度 C d p d p二CZ 令C 一l 引力常数G 1 则理想 流体密度 p 与其压强P及能量 动量张量间的关 系为P T名 P 一 T I 一 T 22一 一 T 三 爱因斯坦场方程新精确解 可通过球对称和态的位形分类 由简 单关系式对应参 数 n 的每一个积分 值 能给出场方程新精确

11、解 由于解的物理相关性 压强 和密度都 曰 二 丫 Podp认 甘 是有限的正值 令及贷均应沿其中 心向外 门r卜 J 一以 p d p 门 曰 一 目 直到其结构表面而减小 均方程线元为 fdsZ g d t Z g k d xk d x k l二l 2 3 人9 0 一e g l x 一e 一 g 2 一 r L g 3 3 一rZsin 6 g 1 0 k护l 式 中 y a 是 的函数 作 为其结果的场方 程为 下1 1 l 一 8 T 一 8祥一 一 幸 含 一含 二 1 尸 1 1 一 8兀T 二一8兀T且 8 兀P e一 资y 舟 一 一 一 2 4 吕兀Pl一2 zdz ex

12、dx x 一erZ 一 e 李 Q x Z一f x aX Q X 一 1 Zx 1 Zn一n x Z j x i十x i n 一 x f x 一 1 x x仁l n l x z一FK 一F l F e一乒 x 一 x l x 一 2 1 n 1 x n 一丁 X 一dx x Z 1 1 z x 一 此对 n 任何值极易求解 n 一1 n一1 n一2 I JI去 之二二 一土二 十 上二二一一之二二止二一一二二 x x 2 n 一 1 n一 2 n一3 十 一 x 1 3 一 刁 d x 1 n一l x 一 一1 1 对此积分前两项 n 十1 1 二 J x一 厂亩兰 d x 1 n一1 x 一

13、 一 1 一 l 一 一 育L l n 1 x 戈n十 由位形内任一点的 e下 和 e一 一 的已知值 求出其压 强 密 度 粤值 尸 霏 值 常数A C y 1 2 1 叨一a l 一二 厂a一分一 花丁一 4乙r 一 2 一 8二T忿一一 8 二P 1 a l l 一一 下 一e 一一一万少 气J少 F一r r 假定 y 的值由 e了二 A l十 cr nn 为参数 对于来自任何位形区域的红移都有简单关 系 且含有 e 的简单表示式帮助人们计算 弓 力场中超相对论粒子的轨迹 K 值 可通 过其边界条件P r 一 e7 一1一Zu定由Pr 一 二o 有 xl ea u n一 Zn l 从 e

14、7 一 1 一 Zu 可求出 A一 1一 Zn 1 u n n 1一 Zu 一 对 n 一1 解恒等于T olman 第四解 n 2 解同A d l er1974 年认尚仑过 的 在其中心处 粤具最大值 F 粤之值随 r 值的增加而减小 F 豁 二本 dp 占 今 1 1 一 1 一 曰阱 入 而 汀 寸 一比 兀 现伟 山 叨 1 出 1 八 乙少月 一e 一 a 气气 十 艾一 任乙r e 一 不适用 于中子 星 叨1 叨2叨1 l 又 二 叶 一丁 一 只一一 二少十 下 乙任乙Tr r 对 n 3 的所有值 冬的值随 r 增大 尸 代入 l 2 3 导出 一 60 一 而减小 中心与表

15、 面密度最大比值孕 4 5 尸 十堰大学学报 自然科学 版 1994年第3期 论氧化性与还原性的相对强弱 何爱 平 在中学化学的教学过 程中 常常见到如下试题 有 下列四个反应 Zx 一 y Z 一Zy 一 x Zy 一十z 22 十y 22 一 w Z Zw 一 十z Zx 一 2 2 一 22 一 x Z 列 出氧化剂的氧化性 由强到弱的顺序 还原剂的还原性由强到弱的顺序 这是一类根据氧 化还原反应来判断氧化剂的氧化性或还原剂 的还 原性强弱的试题 解答这类试题的难度 大 涉及的知识面广 易答错 那么怎样正确地解答这类试题 判断氧化性或还原性强弱的 一般原则和方法是什么 影响氧化性或还原性

16、相对强弱的因素有哪些 对此 笔者谈谈自 己的看 法 一 判断物质氧化性与还原性相对强弱的基本原理 判断某一氧化还原反应能否向正 反应方向进行 必须综合考虑焙变和嫡变两种因素 在恒温恒压下 G H一 T S 1 从 1 式中可以看出 么G 由两个都与反应进行方向有关的因素 H 和 S 组成 热力学研 究指出 反 应的进行趋向于使 体系的能量达到 最低值 即能量最低原理 使体系混乱度达 到最大程度 即嫡增原理 热力学 定律指出 自由焙 变 是等温等压条件下过程方向的判据 即 若 G 0 反应是非自发进行 G一 反应处于平衡 对 一 4 中心 舞 一1解有规律 豁 孕 最大值仍为一有限数 F s 对 一5 所有 值均有粤在中心有最 尸 大值随 性 二 二 口 dp p 二 千 r声目刀日 l J 口吠 月 上上万丁 万 飞且多夸还光1二卜 U尸 尸 所有各解 其密度将沿中心向外降小 牛顿引力定律研究天体相互作用迈了 一步 爱因斯坦理论真实地深刻反映在追 求真理的无穷尽征途中向前跨进一步 通 过场 方 程求出规律 已知T u 可求 g 相 当于物质运 动决定时空结构 或已 知g u 求 出R