《2012年清北学堂 国庆数学高端班(特训二)数列、不等式、多项式导学(公开)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年清北学堂 国庆数学高端班(特训二)数列、不等式、多项式导学(公开)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京清北学堂教育科技有限公司 电话： 010-88400806,010-88400903 网址： www.topschool.org 1 / 13 一、 数列导学 知识点： （ 1）等差数列 1 1na a n d ma n m d d 为公差 . 12nn n a aS 1 12nnna d +1 -=n n na a a等 差 常 数 +1 22 n n na a a na kn b 2nS An Bn C （ 2）等比数列 11 nna aq nmmaq 11,1(1 ) ,11nnna qS aq qq +1 =nn naa a等 比 常 数2+ 1 2 0n n n na a a a
2、 （ ）nna Aq A n , 1( -1), 1n nqS A q q nS 与 na 关系： 11,1,2n nnSna S S n 112nn k kka a a a ( ) ( ) ( )xaf x f a f t dt （ 3）无穷递缩等比数列各项和公式： S= ).1|0(1lim 11 qqaSa nnn n模拟真题 ： 北京清北学堂教育科技有限公司 电话： 010-88400806,010-88400903 网址： www.topschool.org 2 / 13 题 1： 已知数列 na 满足 1 1a ,1 2nnnaSn , 1n .证明： 1 4 , 1nnS a n
3、 . 解析： 11( 2 ) ( )n n n nn S n a n S S 1 21nnSS 故 nSn是公比为 2 的等比数列 114nnSS 1114 1nnnSSn 4 , 2nann=1 时 , 213, 3aS, 2 1 2 144S a a a 证毕 . 题 2： 正数列 na 满足 : 2311.nniiiiaa 1n.求证 :11nk kak3. 解析： na =n,nk n=k+1 2331111 .2ni k kikka a a 321 1 11k k ka k k a a 2111kka k k a 1110kka k a k 1 1kak 1nniiSa, 321ni
4、ni aS 1 3211nini aS 3 2 21 1 1 1k n n n n n na S S S S S S 112 n n nS a a 2112n n na a S 2 12n n na a S 1 1 1n n n n n na a a a a a 北京清北学堂教育科技有限公司 电话： 010-88400806,010-88400903 网址： www.topschool.org 3 / 13 1 1nnaa 又 1 1a nan 311 3nk k 321 1 111kkk 3 22121 1 1k k kk 3 2 24 1 2 2 1k k k k 3 2 211k k k
5、 k 成立 31221 1 11 11nnkk kkk 2 1 1112 1nn 2232 题 3： 给定正整数 n 和正实数 M，对于满足条件 2211na a M的所有等差数列1, 2 2 1, na a a ，求 1 2 2 1n n nS a a a 的最大值 解析： 11c o s , s i n , 0na r a r r M 1 c o s s i nnn raad 1 ( 1 )( 1 ) 2n nnS n a d ( 1 ) 3 sin c o s2rn ( 1 ) 110 si n , t a n( )23rn arc 10 12 Mn 北京清北学堂教育科技有限公司 电话：
6、 010-88400806,010-88400903 网址： www.topschool.org 4 / 13 题 4： 1 1a ， 1112nnnaa a.求证： 370100 2 10a 解析： 2na 成立 2nnba =1 112( ) 22 n na a 2 112 2 221nnnaaa 221112 22nnnbba2 3122 10b 223 2 12 2 10 2 2bb 4 4211 0 ( 2 2 ) 2 2b 8 7 610 2 2 2110 ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 )b （ 210 310 ） =256 2551110 (2 2)114 380
7、38210 2 2 2 3702 5 6 2 5 511101 0 ( 2 2 )二、不等式 导学 知识点： (1)柯西不等式：若 ia R,ib R,i=1, 2, ., n ，则 .)()( 211212 ni iini ini i baba等号当且仅当存在 R，使得对任意 i=1, 2, ., n , iia=b , 北京清北学堂教育科技有限公司 电话： 010-88400806,010-88400903 网址： www.topschool.org 5 / 13 变式 1：若 ia R,ib R,i=1, 2, ., n ，则 .)()()(212112 niiniini iibaba
8、等号成立条件为 i=1, 2, ., n , iia=b 。 变式 2：设 iia, b 同号且不为 0， (i=1, 2, ., n )，则 .)(1211 niiiniini iibaaba 等号成立当且仅当 1 2 nb =b =.=b . （ 2）平均值不等式：设 1 2 na , a ,.,a R+，记 nH=naaan11121, nG =n naaa21 , An= n aaaQn aaa nnn 2222121 , ， 则 n n n nH G A Q. 即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2= =an. （ 3）排序不等式：若两组实数
9、a1 a2 . an 且 b1 b2 . bn ，则对于b1, b2, ., bn的任意排列 niii bbb , 21， 有 a1bn+a2bn-1+ +anb1ninii bababa 21 21 1 1 2 2 n na b + a b + .+ a b （ 4） 凸函数 fx的根 1x ， 2x ，且 fx单调可得琴生不等式 12 1222f x f x xxf 模拟真题 ： 题 1： 对于所有实数 1x .证明： 221 ( 1 )12 1 1 2xxx x x x x 解析： 1 1 1 12 x x x 21 ta nx x x 由 2( 1 ) 1 1 2 111x x x x
10、xx 2( 1 ) 1 ( 1 ) 1211x xxxx 北京清北学堂教育科技有限公司 电话： 010-88400806,010-88400903 网址： www.topschool.org 6 / 13 所以有： 21 ( 1 ) 1 1 11 1 ( 1 ) 1 12 2 2 211xx x x x x xxx 又因为 2 2 1x x x 所以有： 11122 11xxx x x x 11x x x 所以 221 ( 1 )12 1 1 2xxx x x x x 题 2： 设 a,b,c 都是正实数，证明： 32a b cb c c a a b 解析： 令 a b c s 1ass a
11、s a 同理： 1bss b s b 1css c s c 32a b cb c c a a b 令 1 1 1,a b cm n p 则有： 32n p p m m nm n p m n p n m p m p n 2 2 2 2 2 21 1 1 32m n pm n p m n p n m p m p n 类推： 1aba b a b 3 ?2a b cb c c a a b 43a b c db c d c a d a b d a b c 结论：（ 1） ixR ，1 1n ii ix ns x n 北京清北学堂教育科技有限公司 电话： 010-88400806,010-8840090
12、3 网址： www.topschool.org 7 / 13 （ 2）海伦公式： 12s a b c 相关结论： s x y z sa z ta n11 2ta n ArAz z z s a r 3abcs a s b s c t a n t a n t a n2 2 2a A b B c C rkz x y t a n t a n t a n2 2 2A B Ca b c rk 2 si nt a n t a n t a n2 2 2A B C s ca b c k abc 题 3： 设 1 2 3 . 0nx x x x ，且满足 1 2 3 . 4 0 0nx x x x ， 2 2 2 2 41 2 3 . 1 0nx x x x 求证： 1210xx 解析： 若证 1210xx 只需证 21 2 1 2 1 2 2 1 22 2 3 1 0 0x x x x x x x x x 因为 2 2 2 2 41 2 3 . 1 0nx x x x 且 2 2. 2iix x x i 21 2 2 . nx x x x 又因为 21. 4 0 0nx x x 则原式
