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1、利用垂线段最短解决最值问题模型一垂线段最短如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值 .通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短【典型例题】1.如图，在 RtABC 中，C90，AD 是 BAC 的平分线，点 E 是 AB 上任意一点若 AD5，AC4，则 DE 的最小值为 ()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6答案：A .当 DEAB 时，DE 最小，此时 DE = CD，在 RtACD 中，根据勾股定理易得 CD = 3 .2.如图，在 ABC 中，ABAC5，BC
2、 边上高 AD4，若点 P 在边 AC 上 ( 不含端点 ) 移动，则 BP 长的最小值为 _答案：24/5 .如图，延长 CA，过点 B 作 BPCA 于点 P，此时 BP 的长最小 .在等腰 ABC 中根据 “三线合一” 的性质可知 BD = CD = 3 ,SABC = 1/2 BP AC = 1/2 AD BC，可得 BP = 24/5 . （等积求距）3.如图，点 A 坐标为 (2，0)，点 B 在直线 yx4 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 坐标为_答案：（1，-3）.如图，当 AB直线 yx4 时，此时线段 AB 最短 .设直线 AB 的解析式为 y = kx + b （k
3、 0）, ABBB，KBB = 1，（KBB 为直线 yx4 的斜率 ）KAB KBB = - 1 ，（两条直线垂直斜率乘积为 -1）KAB = - 1 ， 即 k = -1 , 直线 AB 的解析式为 y = -x + b , 点 A（-2,0）在直线 AB 上， 0 = 2 + b , 解得 b = -2 , 直线 AB 的解析式为 y = -x - 2 .联立直线 y = x - 4 , 解方程可得 B（1，-3）.模型二胡不归问题“胡不归” 问题即点 P 在直线 l 上运动时的 “ PAkPB ( 0 k k 1，可转化为 “ m ( PA + k/m PB ) ” 的最值 , 此时
4、0 k/m 1.(1) 本题若要求 “ 2AMBM ” 的最小值，你会吗？请求解答案：63 .(2) 本题若要求 “AMBMCM” 的最小值，你会吗？请求解答案：63 .AMBMCM 最小时，此时点 M 为 ABC 的“费马点”，所以 AMBMCM = BD = 2 3 / 2 6 = 63 .2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2 + bxc 的图象经过点 A(1，0)、B(0，3 )、C(2，0)，其对称轴与 x 轴交于点 D .若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 1/2 PBPD 的最小值为_答案：33 / 4 .如图1/2 PBPD = PD + 1/2 PB 的最小值为 DE，则 PBE = 30，可解得 DE = 33 / 4 .
